直线平面简单几何体专题练习










直线、平面、 直线、平面、简单几何体
【考点聚焦】 考点聚焦】 考点 1:空间两条直线的位置关系. 考点 2:直线与平面平行与垂直. 考点 3:两平面平行与垂直. 考点 4:空间角与距离. 考点 5:棱柱的概念与性质. 考点 6:棱锥的概念,正棱锥的性质. 考点 7:球的概念、性质. 考点 8:异面直线间的距离、多面体的欧拉公式、简单几何体的面积和体积. 【自我检测】 自我检测】 1、平面的基本性质:公理 1:_____. 公理 2:_______. 公理 3:____. 推论 1:______.推论 2:_____.推论 3:___________. 2、______叫做异面直线.判断异面直线的方法有____、____. 3、平行与垂直的判断(叙述定理的内容) : 直线与直线 平 行 垂 1、定义 2、公理 4 3、线面平行性质定理 4、线面垂直性质定理 5、面面平行性质定理 1、定义 2、线面垂直性质定理 3、三垂线定理及逆定理 4、空间中的角 、 异面直线 角 1、定义: 2、范围: 3、求法: 直线与平面 1、定义 2、判定定理 3、面面平行性质定理 平面与平面 1、定义 2、判定定理及推论 3、线面垂直性质定理



1、定义 2、判定定理 1、2 3、面面垂直性质定理 4、面面平行性质定理 直线与平面 1、定义: 2、范围: 3、求法:

1、定义 2、判定定理

平面与平面 1、定义: 2、范围: 3、求法:

5、空间中的距离 空间中的八种距离:两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、平行直线间的距 离、异面直线间距离、直线到平面距离、两平行平面间的距离、球面上两点间距离. 热点】 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1:位置关系的判断 根据概念、性质和定理进行判断,认定是正确的,要能证明;认定上不正确的,只需
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举反例.注意作图辅助说明. 例 1.设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线.给出下列四 个命题:①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;②若 m ? α,n ? α,m∥β,n∥β,则 α∥β;③若 α 则 ④若 α∩β=l, β∩γ=m, γ∩α=n, l∥γ, m∥n. 则 其中真命题个数是 ( ∥β, ? α, l∥β; l A.1 B.2 C.3 D.4? 思路分析: 思路分析:根据面面平行的判定和性质定理来判断. 解:①显然不对;②要保证 m、n 相交才有 α∥β,此选项不对;③由面面平行性质定 理可知对;④∵l∥γ,β∩γ=m,l ? β,∴l∥m,又 m ? α,∴l∥α,又 α∩β=l 且 l?β,∴l ∥n.从而 l∥m∥n,故④对.最后应选 B.? 点评:本题主要考查空间想象能力,判定定理、性质定理的理解与掌握及简单的推理 论证能力. 演变 1:已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面.给出 下列的四个命题: ①若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α // β ;②若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α // β ; ③若 m ? α , n ? β , m // n ,则 α // β ; ④若 m、n 是异面直线, m ? α , m // β , n ? β , n // α ,则 α // β , 其中真命题是 A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④ )

点拨与提示:解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决. 问题 2:证明空间线面平行与垂直 由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证明思路. 例 1:如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1; 思路分析: (1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线 思路分析: 定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直; (2)证 明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通 过面面平行得到线面平行. 解 法 一 : I) 直 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 , 底 面 三 边 长 AC=3 , ( BC=4AB=5,
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∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴ DE//AC1,∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, ∴ AC1//平面 CDB1; C 解法二: 解法二:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3, BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0, 0) 1(0,0,4) ,C ,B(0,4,0) 1(0,4,4) ,B ,D( 2,0) , ,∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (1)∵ AC =(-3,0,0) BC1 =(0,-4,0) (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- 4) ,∴ DE = C A B y A E z B

3 , x 2

3 ,0,2) AC1 =(-3,0, , 2

1 AC1 ,∴DE∥AC1. 2
转化 转化

点评:2.平行问题的转化: 面面平行 线面平行 线线平行;

主要依据是有关定义及判定定理和性质定理.? 演 变 2 : 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 ,

∠A1 AB = ∠A1 AC , AB = AC , A1 A = A1 B = a , 侧面 B 1 BCC 1 与
底面 ABC 所成的二面角为 120 ,E、F 分别是棱 B1C1、A1 A 的中
o

点 (Ⅰ)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角; (Ⅱ)证明 A1 E ∥平面 B1 FC

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点拨与提示: 点拨与提示: 例 2 在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形, AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC (1)若 D 是 BC 的中点,求证 AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M, 若 AM=MA1,求证 截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; 思路分析: (1)线面垂直 ? 线线垂直; (2)利用面 C 思路分析: 1 面垂直的判断定理证明面面垂直. 证明 (1) ∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C, ∴AD⊥侧面 BB1C1C, ∴AD⊥CC1 (2) 延长 B1A1 与 BM 交于 N,连结 C1N, ∵AM=MA1,∴NA1=A1B1,∵A1B1=A1C1, ∴A1C1=A1N=A1B1, ∴C1N⊥C1B1, ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C ∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C,∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C 点评: (1) 点评: )本题属于知识组合题类,关键在于对题目中条件的 ( 思考与分析,掌握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何巧妙作 辅助线
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源 源 源

C

D A

B

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E M B1 A1







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A

D C D1

B

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A1 C1

B1

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(2)垂直问题的转化:
转化 转化

面面垂直

线面垂直

线线垂直;

演变 3: 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1C1=B1C1=2,D、D1 分别是 AB、A1B1 的 : 中点,平面 A1ABB1⊥平面 A1B1C1,异面直线 AB1 和 C1B 互相垂直 (1)求证 AB1⊥C1D1;(2)求证 AB1⊥面 A1CD; 问题 3:求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方法求值,注意“作、证、 算”的有机统一.解题时注意各种角的范围:异面直线所成角的范围是 0°<θ≤90°,其 方法是平移法和补形法;直线与平面所成角的范围是 0°≤θ≤90°,其解法是作垂线、找 射影;二面角 0°≤θ≤180°,其方法是:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面 法 另也可借助空间向量求这三种角的大小. 例 4:在棱长为 a 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E、F A' F D' 分别是 BC、A′D′的中点 B' C' (1)求直线 A′C 与 DE 所成的角; (2)求直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角; (3)求面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角 A G D 思路分析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所 C B E 成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)解 如图所示,在平面 ABCD 内,过 C 作 CP∥DE,交直线 A' D'
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源 源 源

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B'

C'

A B E C

D

P









AD 于 P,则∠A′CP(或补角)为异面直线 A′C 与 DE 所成的角 在△A′CP 中,易得 A′C= 3 a,CP=DE= 由余弦定理得 cosA′CP=

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

5 13 a,A′P= a 2 2

15 15
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15 15 (2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD 在平面 B′EDF 内的射影在 ∠EDF 的平分线上(如图)又可证明四边形 B′EDF 为菱形(证 明略) ,∴DB′为∠EDF 的平分线, 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ADB′,
故 A′C 与 DE 所成角为 arccos
源 源 源

A' B'

F C'

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源





D'











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A D B E C

在 Rt△B′AD 中,AD= 2 a,AB′= 2 a,B′D= 2 a, 则 cosADB′=
源 源 源

3 3 ,故 AD 与平面 B′EDF 所成的角是 arccos A' 3 3 (3)解 如图,连结 EF、B′D,交于 O 点,显然 O 为 B′D 的中 B' 点, 从而 O 为正方形 ABCD—A′B′C′D 的中心, OH⊥平面 ABCD, 作 则 H 为正方形 ABCD 的中心,再作 HM⊥DE,垂足为 M,连结 OM, A 则 OM⊥DE,故∠OMH 为二面角 B′—DE′—A 的平面角
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

F C' O H E

D'

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在 Rt△DOE 中,OE=

2 3 5 a,OD= a,斜边 DE= a, 2 2 2 OD ? OE 30 则由面积关系得 OM= = a DE 10 OH 30 在 Rt△OHM 中,sinOMH= = OM 6 30 故面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角为 arcsin 6 方法二(向量法)
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
源 源 源

B

M C

D

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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(1) 如图建立坐标系,则 A′(0, 0, a ), C ( a, a, 0), D (0, a, 0), E ( a,

a , 0) 2
A' B'

uuuu r uuur a ? A′C = (a, a, ?a ), DE = (a, ? , 0) 2 uuuu uuur r uuuu uuur r 15 A′C DE r ? cos < A′C , DE >= uuuu uuur = | A′C || DE | 15
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

z

F C'

D'

A B 15 故 A′C 与 DE 所成角为 arccos x 15 (2) ∵∠ADE=∠ADF,∴AD 在平面 B′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 所示 又∵B′EDF 为菱形,∴DB′为∠EDF 的平分线,
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

D E
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

y

C

如下图

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故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ADB′,如图建立坐标系,则

uuu r uuuu r A(0, 0, 0), B′(a, 0, a ), D (0, a, 0) ? DA = (0, ? a, 0), DB′ = (a, ? a, a )

? cos < DA, DB ! >=

DA ? DB ! | DA || DB ! |

=

3 , 3
3 3
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

故 AD 与平面 B′EDF 所成的角是 arccos

(3) 由(1)知 A(0, 0, 0), A′(0, 0, a ), B′( a, 0, a ), D (0, a, 0), E ( a, 所以面 ABCD 的法向量为
源 源 源

a , 0) , 2
源 源 源

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r uuur r m = AA′ = (0, 0, a ), 下面求面 B′EDF 的法向量 n

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a ? uuu r uuur ? ?? ax + 2 y = 0 a a r ? n ⊥ ED 设 n = (1, y , z ) , ED = ( ?a, , 0), EB′ = (0, ? , a ), ? 由 ?? a 2 2 ?n ⊥ EB 1 ?? y + az = 0 ? ? 2
取 z=1,得 n = (1, 2,1) ,

r

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

∴ cos < n, m >=

n?m

| n || m |

=

6 . 6

故面 B′EDF 与面 ABCD 所成的角为 arccos

6 6

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

点评:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强 用平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角,是常用的方法. 演变 4:已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, :

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

1 ∠DAB = 90 o , PA ⊥ 底面 ABCD, PA=AD=DC= AB=1, 是 且 M 2
PB 的中点. (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小. 例 5:在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3) 等于何值时, AE 二面角 D1—EC—D 的大小为

π
4

.

思路分析:本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 思路分析
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本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,要将这些量处于三角形中,最好是直角三角 形,这样有利于问题的解决,此外用向量也是一种比较好的方法. 解法一: (1)证明:∵AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E. (2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 , 故 S ?AD1C =

1 1 3 1 1 ? 2 ? 5 ? = , 而S ?ACE = ? AE ? BC = . 2 2 2 2 2

1 1 S ?AEC ? DD1 = S ?AD1C ? h, 3 3 1 3 1 ∴ × 1 = × h,∴ h = . 2 2 3 ∴ V D1 ? AEC =
(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x

在Rt?D1 DH中,Q ∠DHD1 =

π
4

,∴ DH = 1.

Q 在Rt?ADE中, DE = 1 + x 2 ,∴ 在Rt?DHE中, EH = x,

在Rt?DHC中CH = 3 , 在Rt?CBE中CE = x 2 ? 4 x + 5. ∴ x + 3 = x 2 ? 4 x + 5 ? x = 2 ? 3. ∴ AE = 2 ? 3时, 二面角D1 ? EC ? D的大小为 . 4
解法(二) :以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐 标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) 1(0,0,1) ,D ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0, 2,0) (1) 因为DA1 ? D1 E = (1,0,1) ? (1, x,?1) = 0, 所以DA1 ⊥ D1 E. (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 D1 E = (1,1,?1), AC = (?1,2,0) ,

π

?n ? AC = 0, ? AD1 = (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n = (a, b, c) ,则 ? ?n ? AD1 = 0, ?
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也即 ?

?? a + 2b = 0 ?a = 2b ,得 ? ,从而 n = (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离 ?? a + c = 0 ?a = c = 2 +1? 2 1 = . 3 3

为h =

| D1 E ? n | |n|

点评: 点评:立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计 算,这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些 量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单, 此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样 坐标才比较好写出来. 演变 5: 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 问题 4:与几何体的侧面积和体积有关的计算问题 : 根据基本概念和公式来计算,要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用. 例 6:如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) (A)

2 3

(B)

3 4 (C) 3 3

(D)

3 2

E

M

N

F

C 思路分析:将该几何体分割成一个柱体和两个锥体, 思路分析 D H 然后再利用柱体和锥体的体积公式求它的体积. 解:过 A、B 两点分别作 AM、BN 垂直于 EF,垂足 A B 分别为 M、N,连结 DM、CN,可证得 DM⊥EF、CN⊥EF,多面体 ABCDEF 分为三部分,
多面体的体积 V 为 V ABCDEF = V AMD ?BNC +

VE ? AMD + VF ? BNC ,∵ NF =

1 3 , BF = 1 ,∴ BN = ,作 NH 垂直于点 H,则 H 2 2
2 1 2 , ∴ S ?BNC = ? BC ? NH = , ∴ 2 2 4



BC

的 中 点 , 则 NH =

V F ? BNC =

1 2 2 ? S ?BNC ? NF = , V E ? AMD = V F ? BNC = , 3 24 24
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V AMD ? BNC = S ?BNC ? MN =

2 2 ,∴ V ABCDEF = ,故选 A. 4 3

点评:将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计 算. 演变 6:如图,在体积为 1 的三棱锥 A—BCD 侧棱 AB、AC、AD 上分别取点 E、F、G, 使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1, 记 O 为三平面 BCG、CDE、DBF 的交点,则三棱锥 O—BCD 的体积等于 ( ) A.

1 9

B.

1 8

C.

1 7

D.

1 4

问题 5:翻折与展开 : 要对照翻折(或展开)前后两个图形,分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了, 哪些没有改变. 例 7:如图 1,已知 ABCD 是上.下底边 长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形, 将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2. (Ⅰ)证明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小. OC 思路分析: 由题知可证得 AO⊥平面 OBCO1 , 为 AC 在平面 OBCO1 内的射影, 思路分析: (1) 只要证明 BO1⊥OC 即可; (2)由(1)结论可证明 BO1⊥平面 AOC,由三垂线定理找出二 面角的平面角即可. 解: (I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1, 所以∠AOB 是所折成的直二面角 的平面角,即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1, OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影. 因为 tan ∠OO B = OB = 3 1
OO1

tan ∠O1OC =

O1C 3, = OO1 3

所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而 OC⊥BO1,由 三垂线定理得 AC⊥BO1. (II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1, 知 BO1⊥平面 AOC. 设 OC∩O1B=E,过点 E 作 EF⊥AC 于 F,连结 O1F (如图 3) ,则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影,由三 垂线定理得 O1F⊥AC.所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角. 由题设知 OA=3,OO1= 3 ,O1C=1,

O1
F

C

D O A
图3

E

B

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所以 O1 A =

OA 2 + OO12 = 2 3 , AC = O1 A 2 + O1C 2 = 13 ,

从而 O1 F =

O1 A ? O1C 2 3 = , AC 13
O1 E 13 = . O1 F 4

又 O1E=OO1·sin30°=

3 , 2

所以 sin ∠O1 FE =

即二面角 O—AC—O1 的大小是 arcsin

3 . 4

D 点评: 平面图形的翻折与空间图形的展开近两年的 点评: C 高考中都出现了,通过对图形的翻折与展开,很好地考 M N 查了学生的空间想象能力,体现了解决立体几何问题的 基本思想:空间问题平面化. E A B 演变 7:设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点, DE⊥AB 于 E(如图).现将△ADE 沿 DE 折起,使二面角 A-DE-B 为 45° ,此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰 为点 B,则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于 _________. 专题小结 1、位置关系的判断,根据概念、性质和定理进行判 断,认定是正确的,要能证明;认定上不正确的,只需 举反例.注意作图辅助说明. 2、证明空间线面平行与垂直,是必考题型,解题时要由已知想性质,由求证想判定, 、 即分析法与综合法相结合寻找证明思路. 3、空间图形中的角与距离,先根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三 角形等方法求值,注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所 成角的范围是 0°<θ≤90°, 其方法是平移法和补形法; 直线与平面所成角的范围是 0° ≤θ≤90°,其解法是作垂线、找射影;二面角 0°≤θ≤180°,其方法是:①定义法; ②三垂线定理及其逆定理;③垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小. 4、与几何体的侧面积和体积有关的计算问题,根据基本概念和公式来计算,要重视 、 方程的思想和割补法、等积转换法的运用 5、平面图形的翻折与空间图形的展开问题,要对照翻折(或展开)前后两个图形, 、 分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了,哪些没有改变. 临阵磨枪】 【临阵磨枪 一.选择题 1 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截 面 AB1D1 的距离是( )
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

A 2
特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

8 3 4 3 B C D 3 8 3 4 在直二面角 α—l—β 中,直线 a ? α,直线 b ? β,a、b 与 l 斜交,则(
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

)

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A a 不和 b 垂直,但可能 a∥b B a 可能和 b 垂直,也可能 a∥b C a 不和 b 垂直,a 也不和 b 平行 D a 不和 b 平行,但可能 a⊥b 3 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为 棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( )
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

6 4 3 2 4 正方形 ABCD 边长为 2,E、F 分别是 AB 和 CD 的中点,将正方形沿 EF 折成直二 面角(如图),M 为矩形 AEFD 内一点,如果∠MBE=∠MBC,MB 和平 D A 1 M 面 BCF 所成角的正切值为 ,那么点 M 到直线 EF 的距离为( ) E 2 F
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

A

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π

B

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π

C

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π

D

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π

B

A
特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

2 2

B

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

1

C

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

3 2

D

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

1 2

C B C

5 三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,设平面 A1BC1 与平 ) 面 ABC 的交线为 l,则 A1C1 与 l 的距离为(
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

A

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

10

B

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

11

C

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

2.6

D

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

2.4

6.△ABC 的顶点 B 在平面 a 内,A、C 在 a 的同一侧,AB、BC 与 a 所成 的角分别是 30°和 45°,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5,则 AC 与 a 所成的角为 (A)60° (B)45° (C)30° (D)15°
7.已知 a、b、c 是直线, β 是平面,给出下列命题: ①若 a ⊥ b, b ⊥ c, 则a // c ;②若 a // b, b ⊥ c, 则a ⊥ c ; ③若 a // β , b ?

β , 则a // b ;④若 a 与 b 异面,且 a // β , 则b与β 相交;

⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3

D.4

8、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 AB C1D1 的距离为 (B) A、
1 2

D1 O A1 B1 D A B

C1

B、

2 4

C、

2 2

D、

3 2

9.设地球的半径为 R ,若甲地位于北纬 45° 东经 120° ,乙地位于 南纬 75° 东经 120° ,则甲、乙两地的球面距离为( )

C

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(A) 3R

(B)

π
6

R

(C)

5π R 6

(D)

2π R 3

10.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC- D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为 A. ( C. )

125 π 12

B.

125 π 9

125 π 6

D.

125 π 3

二、填空题 11 设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z ? X ∥Y”为真命题的是_________(填序号) ①X、Y、Z 是直线;②X、Y 是直线,Z 是平面;③Z 是直线,X、Y 是平面;④X、Y、 Z 是平面. 12 已知∠AOB=90°,过 O 点引∠AOB 所在平面的斜线 OC, OA、 分别成 45°、 与 OB 60°,则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于______ 13 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所 成二面角的度数为_________ 14.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为_________ 三、解答题 P 15 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于 底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点 (1)求证 CD⊥PD; F (2)求证 EF∥平面 PAD; A (3)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时,直线 EF⊥平面 PCD? E B 16 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,D、E 分别是 M B A CC1 和 AB1 的中点,点 F 在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3 C F (1)若 M 为 AB 中点,求证 BB1∥平面 EFM; E (2)求证 EF⊥BC; D (3)求二面角 A1—B1D—C1 的大小 17 如图,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形且∠ A1 B1 C1 C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°, (1)证明 C1C⊥BD;
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D C

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3 ,记面 C1BD 为 α,面 CBD 2 为 β,求二面角 α—BD—β 的平面角的余弦值;
(2)假定 CD=2,CC1= (3)当 18

B1 C1 D1

A1

CD 的值为多少时,可使 A1C⊥面 C1BD? CC1

B C D

A

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设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且
以上资料由网络上收集整理而来

A

B D

C









AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°,求 (1)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; (2)异面直线 AD 与 BC 所成的角; (3)二面角 A—BD—C 的大小
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19

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如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=
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π
2

,AB=

1 AD=a, 3
P

∠ADC=arccos

2 5 ,PA⊥面 ABCD 且 PA=a 5 (1)求异面直线 AD 与 PC 间的距离;

(2)在线段 AD 上是否存在一点 F, 使点 A 到平面 PCF 的距离为
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B C 参考答案 1 C 解析 设 A1C1∩B1D1=O1,∵B1D1⊥A1O1,B1D1⊥AA1,∴B1D1⊥平面 AA1O1,故 平面 AA1O1⊥AB1D1,交线为 AO1,在面 AA1O1 内过 A1 作 A1H⊥AO1 于 H,则易知 A1H 长
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6 3

A
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D

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即 是 点 A1 到 平 面 AB1D1 的 距 离 , 在 Rt △ A1O1A 中 , A1O1= A1O1·A1A=h·AO1,可得 A1H=
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2 , AO1=3 2 , 由

4 α 答案 C ? A a 3 2 C 解析 如图, l 上任取一点 P, P 分别在 α、 内作 a′ 在 过 β a' ∥a,b′∥b,在 a′上任取一点 A, A 作 AC⊥l, 过 垂足为 C, AC⊥β, 则 C P 过 C 作 CB⊥b′交 b′于 B,连 AB,由三垂线定理知 AB⊥b′, b' B β b ∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角 3 D 解析 (特殊位置法)将 P 点取为 A1,作 OE⊥AD 于 E,连结 A1E,则 A1E 为 OA1 的射影,又 AM⊥A1E,∴AM⊥OA1,即 AM 与 OP 成 90°角 答案 D 4.A 解析 过点 M 作 MM′⊥EF,则 MM′⊥平面 BCF,∵∠MBE=∠MBC,
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2 2 5 C 解析 交线 l 过 B 与 AC 平行,作 CD⊥l 于 D,连 C1D,则 C1D 为 A1C1 与 l 的 12 13 距离,而 CD 等于 AC 上的高,即 CD= ,Rt△C1CD 中易求得 C1D= =2.6.答案 C 5 5 6、C 解:如图,AE⊥平面 α 于 E,CD⊥平面 α 于 D,EF∥ C AC,EF 交 CD 于 F, 则 ∠ ABE=300, ∠ CBD=450, 由 此 得 A F CD=4,AE=1.5,∴EF=2.5,而 EF=AC=5 ∴∠FED=300,即 AC 与平 面 α 所成的角为 300,∴选(C) E D 7、A 解:①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A) B 8. B 取 连 取 解: B1C1 的中点 M, B1C 交 BC1 于 O ′ , O ′ C1
∴BM′为∠EBC 为角平分线,∴∠EBM′=45°,BM′= 2 ,从而 MN=
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的中点 N,连 MN,则 MN ⊥ BC1 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 OM 平行于平面 ABC1D1.

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则 O 到平面 ABC1D1 距离转化为 M 到平面 ABC1D1 的距离,即 MN= 9.D 10.C

2 ,故选 B 4

解析:连接矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O,则 AO=BO=CO=DO,则 O

为四面体 ABCD 的外接球的圆心,因此四面体 ABCD 的外接球的半径为

5 ,体积为 2

4 5 3 125 π( ) = π .选 C. 3 2 6
11 ②③ 解析 ①是假命题,直线 X、Y、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例,②③ 是真命题,④是假命题,平面 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例
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12

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3 3

解析







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在 OC 上取一点 C,使 OC=1,过 C 分别作 CA⊥OC 交 OA 于 A,

CB⊥OC 交 OB 于 B,则 AC=1, ,OA= 2 ,BC= 3 ,OB=2,Rt△AOB 中,AB2=6,△ABC

3 3 答案 - 3 3 13 60° 解析 设一个侧面面积为 S1,底面面积为 S,则这个侧面在底面上射影的面 1 S S1 2 S 3 = S = 1 ,∴θ = ,设侧面与底面所成二面角为θ,则 cosθ= 积为 ,由题设得 S1 3S1 2 3 S 3
中,由余弦定理,得 cosACB=-
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=60° 14
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答案







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60° 解析
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2 a 2

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以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面体,取 P、

2 a,∴PQ⊥AB, 2 同理可得 PQ⊥CD,故线段 PQ 的长为 P、Q 两点间的最短距离,在 Rt△APQ 中,
Q 分别为 AB、CD 的中点,因为 AQ=BQ= PQ= AQ 2 ? AP 2 = ( 15
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3 2 a 2 2 a) ? ( ) = a.答案 2 2 2







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2 a 2

证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD,∴AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影, ∵CD ? 平面 ABCD 且 CD⊥AD,∴CD⊥PD (2)取 CD 中点 G,连 EG、FG, ∵E、F 分别是 AB、PC 的中点,∴EG∥AD,FG∥PD ∴平面 EFG∥平面 PAD,故 EF∥平面 PAD (3)解 当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45°角时,直线 EF⊥面 PCD 证明 G 为 CD 中点,则 EG⊥CD,由(1)知 FG⊥CD,故∠EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 即∠EGF=45°,从而得∠ADP=45°,AD=AP
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由 Rt△PAE≌Rt△CBE,得 PE=CE 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC,由 CD⊥EG,CD⊥FG,得 CD⊥平面 EFG,CD⊥ EF 即 EF⊥CD,故 EF⊥平面 PCD 16 (1)证明 连结 EM、MF,∵M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点, ∴BB1∥ME,又 BB1 ? 平面 EFM,∴BB1∥平面 EFM (2)证明 取 BC 的中点 N,连结 AN 由正三棱柱得 AN⊥BC, 又 BF∶FC=1∶3,∴F 是 BN 的中点,故 MF∥AN, ∴MF⊥BC,而 BC⊥BB1,BB1∥ME ∴ME⊥BC,由于 MF∩ME=M,∴BC⊥平面 EFM, 又 EF ? 平面 EFM,∴BC⊥EF 连结 A1O 知, 1O⊥面 BCC1B1, A 由点 O 作 B1D 的垂线 OQ, (3)解 取 B1C1 的中点 O, 垂足为 Q,连结 A1Q,由三垂线定理,A1Q⊥B1D,故∠A1QD 为二面角 A1—B1D—C 的平
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面角,易得∠A1QO=arctan 15 17
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(1)证明 连结 A1C1、AC,AC 和 BD 交于点 O,连结 C1O, ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD 又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C 是公共边,∴△C1BC≌△C1DC,∴C1B=C1D ∵DO=OB,∴C1O⊥BD,但 AC⊥BD,AC∩C1O=O ∴BD⊥平面 AC1,又 C1C ? 平面 AC1,∴C1C⊥BD (2)解 由(1)知 AC⊥BD,C1O⊥BD, ∴∠C1OC 是二面角 α—BD—β 的平面角
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在△C1BC 中,BC=2,C1C=

3 ,∠BCC1=60°, 2 3 3 13 ∴C1B2=22+( )2-2×2× ×cos60°= 2 2 4 1 3 ∵∠OCB=30°,∴OB= ,BC=1,C1O= ,即 C1O=C1C 2 2
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作 C1H⊥OC,垂足为 H,则 H 是 OC 中点且 OH= (3)解

3 3 ,∴cosC1OC= 2 3
CD =1 时,平行 CC1
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由(1)知 BD⊥平面 AC1,∵A1O ? 平面 AC1,∴BD⊥A1C,当

六面体的六个面是全等的菱形, 同理可证 BC1⊥A1C, 又∵BD∩BC1=B, 1C⊥平面 C1BD ∴A 18 解 (1)如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC, A 垂足为 H,则 AH⊥平面 DBC, ∴∠ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 由题设 知△AHB≌△AHD,则 DH⊥BH,AH=DH, H ∴∠ADH=45° R B C D (2)∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影,
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∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90° (3)过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH
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为二面角 A—BD—C 的平面角的补角 △HDB 中,HR=

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设 BC=a,则由题设知,AH=DH=

3 a a, BH = ,在 2 2

3 AH a,∴tanARH= =2 4 HR 故二面角 A—BD—C 大小为π-arctan2 19 解 (1)∵BC∥AD,BC ? 面 PBC,∴AD∥面 PBC 从而 AD 与 PC 间的距离就是直线 AD 与平面 PBC 间的距离 过 A 作 AE⊥PB,又 AE⊥BC ∴AE⊥平面 PBC,AE 为所求 在等腰直角三角形 PAB 中,PA=AB=a
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∴AE=

2 a 2

(2)作 CM∥AB,由已知 cosADC= ∴tanADC=

2 5 5

1 1 ,即 CM= DM 2 2

∴ABCM 为正方形,AC= 2 a,PC= 3 a 过 A 作 AH⊥PC,在 Rt△PAC 中,得 AH=

6 3

下面在 AD 上找一点 F,使 PC⊥CF 取 MD 中点 F,△ACM、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90° ∴FC⊥AC,即 FC⊥PC∴在 AD 上存在满足条件的点 F

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【挑战自我】 挑战自我 如 图 , 已 知 PD⊥ 平 面 ABCD , AD⊥DC , AD∥BC , PD∶DC∶BC=1∶1∶ 2 .

P

D A (1)求二面角 D-PB-C 的正切值; (2) AD∶BC 的值是多少时, 当 能使平面 PAB⊥平面 PBC? B C 证明你的结论. 解: 如图, PC 中点 E, DE.∵PD=DC, (1) 取 连 ∴DE⊥PC. 又∵BC⊥DC,BC⊥PD, ∴BC⊥平面 PDC,则面 BPC⊥面 PDC,∴DE⊥面 PBC.过 E 作 EF⊥PB 于 F,连 DF,则由三垂线定理有 DF⊥PB.∴∠DFE=θ 为二面角 D-PB-C 的平面 角.

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设 PD=DC=1,则 BC= 2 ,DE= ∵在 Rt△DEF 中,tanθ=

2 ,PC= 2 .又 2
F G A B

P

DE = 2 EF

θ D

E

∴二面角 D-PB-C 的正切值为 2 (2)AD∶BC=1∶2 时,平面 PAB⊥平面 PBC. 设 PD=1,

C

AD = x 时,平面 PAB⊥平面 PBC,则 DC BC

=1,BC=PC= 2 ,AD= 2 x. 过 A 作 AG⊥PB 于 G 点,∵平面 PAB⊥平面 PBC,∴AG⊥面 PBC,又∵DE⊥面 PBC (已证) ,∴AG∥DE,而 AD∥BC,∴AD∥面 PBC,故 AD∥GE,进而有 GE∥BC,又 E 为 PC 中点,∴G 为 PB 中点,故 GE=

1 2 BC = . 2 2



2x =

2 1 ?x= . 2 2

∴当平面 PAB⊥平面 PBC 时,

AD 1 = BC 2

【答案及点拨】 答案及点拨 演变 1:因为垂直于同一条直线的两平面互相平行,所以①正确;因为垂直于同一平面的 两平面不一定平行,所以②错误;因为当 α 与 β 相交时,若 m、n 平行于两平面的交线, 则 m // n ,所以③错误;因为若 m、n 是异面直线, m ? α , m // β , n ? β , n // α , 当且仅当 α // β ,所以④正确. 演变 2: (Ⅰ)过 A1 作 A1 H ⊥ 平面 ABC ,垂足为 H . 连结 AH ,并延长交 BC 于 G ,于是 ∠A1 AH 为 A1 A 与底面 ABC 所成的角. ∵ ∠A1 AB = ∠A1 AC ,∴ AG 为 ∠BAC 的平分线. 又∵ AB = AC ,∴ AG ⊥ BC ,且 G 为 BC 的中点.因此,由三垂线定理 A1 A ⊥ BC . ∵ A1 A // B1 B ,且 EG // B1 B ,∴ EG ⊥ BC .
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于是 ∠AGE 为二面角 A ? BC ? E 的平面角,即 ∠AGE = 120 .
o

o 由于四边形 A1 AGE 为平行四边形,得 ∠A1 AG = 60 .

(Ⅱ)证明:设 EG 与 B1C 的交点为 P ,则点 P 为 EG 的中点.连结 PF . 在平行四边形 AGEA1 中,因 F 为 A1 A 的中点,故 A1 E // FP . 而 FP ? 平面 B1 FC , A1 E ? 平面 B1 FC ,所以 A1 E // 平面 B1 FC . 演变 3: (1)证明 ∵A1C1=B1C1,D1 是 A1B1 的中点,∴C1D1⊥A1B1 于 D1, 又∵平面 A1ABB1⊥平面 A1B1C1,∴C1D1⊥平面 A1B1BA, 而 AB1 ? 平面 A1ABB1,∴AB1⊥C1D1 (2)证明 连结 D1D,
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∵D 是 AB 中点,∴DD1

CC1,∴C1D1∥CD,

由(1)得 CD⊥AB1,又∵C1D1⊥平面 A1ABB1,C1B⊥AB1, 由三垂线定理得 BD1⊥AB1, 又∵A1D∥D1B,∴AB1⊥A1D 而 CD∩A1D=D,∴AB1⊥平面 A1CD (Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, 演变 4: : ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD. 又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:过点 B 作 BE//CA,且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 2 ,又 AB=2, 所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 在 Rt△PEB 中 BE= 2 ,PB= 5 ,

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∴ cos ∠PBE =

BE 10 = . PB 5

∴ AC与PB所成的角为 arccos

10 . 5

(Ⅲ)解:作 AN⊥CM,垂足为 N,连结 BN. 在 Rt△PAB 中,AM=MB,又 AC=CB,∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM,故∠ANB 为所求二面角的平面角.
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∵CB⊥AC,由三垂线定理,得 CB⊥PC, 在 Rt△PCB 中,CM=MB,所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中,AN·MC= CM ? (
2

AC 2 ) ? AC , 2

3 × 2 2 ∴ AN = = 5 2

6 5

.

AN 2 + BN 2 ? AB 2 2 ∴AB=2,∴ cos ∠ANB = =? 2 × AN × BN 3
2 3

故所求的二面角为 arccos(? ). (Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD. 演变 5: : 又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.

∴ BF = BD 2 + DF 2 = 2 6 .
(Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC,且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC.在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到平面 AEC1F 的距离.



EB BG = 可得, BG = 1, 从而AG = CC1 CG

AB 2 + BG 2 = 17 . 4 17 = 12 17 ,

由∠GAB = ∠MCG知, CM = 3 cos MCG = 3 cos GAB = 3 × CM × CC1 = MC1 3× 12 17 12 17
2

∴ CQ =

=

32 +

4 33 . 11

演变 6:如图,BM 是平面 BCG 与平面 BDF 的交线,CL 是平 面 BCG 与平面 CDE 的交线,则 BM 子 CL 的交点即为 O.作 EG ⊥平面 BCD,LN⊥平面 BCD,OQ⊥平面 BCD,设 A 到平面 BCD 的 高为 h,由题意可知 EK=

A

1 3 3 1 1 CM BL 3 h ,LN= EK = ? h = h ,∵ = = ,∴ 3 5 5 3 5 MG LG 2
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B

E G L F O K N Q M

D
C









CL 7 5 5 1 1 = ∴OQ= LN = ? h = h , CQ 5 7 7 5 7
1 1 ? hS BCD VO ? BCD 3 7 1 ∴ = = ,选(C). 1 VA? BCD 7 hS BCD 3
如左图,在平面 AED 内作 MQ∥AE 交 ED 于 Q,则 MQ⊥ED,且 Q 为 ED 的中点, 演变 7: : 连结 QN,则 NQ⊥ED 且 QN∥EB,QN=EB,∠MQN 为二面角 A-DE-B 的平面角,∴∠ MQN=45°,∵AB⊥平面 BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ= MQN 内作 MP⊥BQ,得 QP=MP=

1 1 AE= 2 EB,在平面 2 2

1 1 EB,故 PB=QP= EB,故 QMN 是以∠QMN 为直角 2 2

的等腰三角形,即 MN⊥QM,也即 MN 子 AE 所成角大小等于 90°

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