辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 数学理试题 Word版含答案


沈阳二中 2013-2014 学年度上学期 12 月小班化学习成果 阶段验收高三(14 届)数学(理科)试题
命题人:高三数学组
说明:1、测试时间:120 分钟

审校人:高三数学组

总分:150 分;

2、客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的对应位置上

第Ⅰ卷(60 分)
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.)
错误!未指定书签。 .设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则

2 ? z2 ? z
D. 1 ? i





A. ? 1 ? i 的所有 a 的集合是 A.{a|1?a?9}

B. ? 1 ? i

C. 1 ? i

错误!未指定书签。 .若非空集合 A={x| 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5 },B={x|3?x?22},则能使 A?B,成立

( B.{a|6?a?9} C.{a|a?9} D.? (



错误!未指定书签。 .函数

f ( x) ? ( x ?1) 2 ?1( x ? 0) 的反函数为
B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 2)



A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ?1( x ? 2)
错误!未指定书签。 .等比数列

{an } 的 前 n 项 和 为 S n , S 5 ? 2, S10 ? 6 , 则
( C.32 D.16 )

a16 ? a17 ? a18 ? a19 ? a20 ?
A.54 B.48

错误!未指定书签。 .已知: a , b 均为正数,

1 4 ? ? 2 ,则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范 a b
( ( ) )

围是

9? ? A. ? ??, ? 2? ?

B. ?0,1?

C. ?? ?,9?

D. ?? ?,8?

错误!未指定书签。 .若 tan ?

? 3 ,则 sin ? cos ? ?
C.





A. ?

3 4

B. 3

3 3

D.

3 4

错 误 ! 未 指 定 书 签 。

. 对 于 任 意 非 零 实 数

a 、 b 、 c 、 d, 命 题



若a ? b, 则ac ? bc

;②

若a ? b, 则ac2 ? bc2

③ 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ;④ 若a ? b, 则 确的个数是 A.1

1 1 ? ;⑤ 若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd . 其 中正 a b
( ) C.3 D.4 ( )

B.2

错误!未指定书签。 .已知平面 ?、?、? ,则下列命题中正确的是

A. ? ? ?,? ? ? ? a,a ? b,则b ? ? B. ? ? ?,? ? ?,则? ∥ ? C. ? ? ? ? a,? ? ? ? b,? ? ?,则a ? b D. ? ∥ ?,? ? ?,则? ? ?
错误!未指定书签。 .已知双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为

60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 , 则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) ( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+ ? ) D.(2,+ ? ) 2 错误!未指定书签。 .若抛物线 y =x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标 为 ( ) A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4


错误!未指定书签。 .函数 f ( x) ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | sin x ? cos x | 的值域是 ( 2 2
B. [ ?

A.[-1,1]

2 ,1] 2 2 ] 2

C. [ ?

1 1 , ] 2 2

D. [ ?1,

错误!未指定书签。 .设函数 f n ( x) ? 1 ? x ?

x2 x3 xn ,其中 n 为正整数,则集 ? ? ? ? ? ? (?1) n 2 3 n
( D.4 个 )

合 M ? x丨f 4 ( x) ? 0, x ? R 中元素个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个

?

?

第Ⅱ 卷(90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
错误!未指定书签。 .在等差数列
2009 ? 2007 ? 2 ,则数 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项的和,且 a1 ? 2 , 2009 2007

S

S

列?

?1? ? 的前 n 项的和是__________? ? Sn ?

错 误 ! 未 指 定 书 签 。. 已 知 点 O 为 ?ABC 的 外 心 , 且 AC ? 4, AB ? 2 , 则

AO ? BC ? ____________.
错误! 未指定书签。 . 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C

相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为___________. 错误!未指定书签。 .连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的 长度分别等于 2 7 、 4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大 值为___________. 三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
错误! 未指定书签。 . (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A ?

1 3

(1)求 sin 2

B?C ? cos 2 A 的值 2

(2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值
错误!未指定书签。 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 {an } 的 前

n 项 和 为 Sn , 已 知

a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2
(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式.
错误!未指定书签。 . (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1

的 菱形 , ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为

OA 的中点?
(Ⅰ )求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ )求点 B 到平面 OCD 的距离?

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 D 的顶点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右 4 3

焦点重合 (1) 求抛物线 D 的方程 (2) 已知动直线 l 过点 P ? 4,0? ,交抛物线 D 于 A, B 两点,坐标原点 O 为 PQ 中点,求证

?AQP ? ?BQP ;
(3) 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存 在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 单调区间; (2)当 x ? ? 0, e? 时,求函数 f ? x ? 的最小值;

1 ? a ln x ( a 为参数) x

( 1? ) ? e ? ( 1? ) (3)求证:
n

1 n

1 n

n ?1

? e ? 2.718 ??????, n ? N ?
*

请考生在第 22—24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
22. (本小题满分 10 分)如图,AB 是⊙ O 的直径,弦 BD、CA 的延长线

相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证:(1) ?DEA ? ?DFA; (2)AB2=BE?BD-AE?AC.

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 23. 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是 ?y ? 2 t ? ? 2

??

sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,点 M (?1, 0) ,直线 l 与 1 ? sin 2 ?

曲线 C 交于 A、B 两点. (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2) 线段 MA,MB 长度分别记为|MA|,|MB|,求 | MA | ? | MB | 的值.

24. (本小题满分 10 分)设关于 x 的不等式 log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? a

(1)当 a ? 3 时,解这个不等式; (2)若不等式解集为 R ,求 a 的取值范围;

沈阳二中 2013-2014 学年度上学期 12 月小班化学习成果 阶段验收高三(14 届)数学(理科)答案
DBCDA DBDCB BA
填空题 13.

n n ?1

14. 6

15. x ? ( y ? 1) ? 18.
2 2

16.

5

解答题 17 . 解: (1)在?ABC中? cos A ?

1 3

? sin 2

B?C 1 ? cos 2 A ? ?1 ? cos( B ? C ) ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2

?

1 1 ?1 ? cos A? ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? ---------------------6 分 2 9

(2)由余弦定理知a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
2 2 4 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 3 3 3

b?c?


9 3 2 时,bc 的最大值是 4 ---------------------------12 分

18 解:(I)由 a1

? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有

a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3
由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,...① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 .....② ② -① 得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又? bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为 2 的等比数列.----6 分 (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 ------------------12 分 2 2 4 4 4

? 数列 {

19 解:方法一(综合法) (1)? CD‖ AB, ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角 (或其补角) 作 AP ? CD于P,

∴CD ? MP 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D ,
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2

∵MD ? MA2 ? AD2 ? 2

,

∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3 ? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 -----------------------6 分 3

∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等 , 连接 OP, 过点 A 作 (2) ∵ AB‖ 平面OCD,
AQ ? OP 于点 Q, ∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,

∵ AQ ? 平面OAP,∴ AQ ? CD 又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长
就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 ? , AP ? DP ? 2 2 2

2 OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 --------------------12 分 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2 2?
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) , 2 2 2

(1)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,

??? ? ???? ? 2 2 ∵ AB ? (1,0,0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ? ???? ? AB?MD 1 ? , ∴cos ? ? ??? ? ???? ? ? ,∴? ? 3 AB ? MD 2
∴ AB 与 MD 所成角的大小为
(2) ∵OP ? (0,

? ---------------------------6 分 3

??? ?

???? 2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) 2 2 2

∴ 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? OD ? 0

??? ?

????

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0,4, 2) 2 2 ?? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2 ??? ? 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? OB ? n 2 ??? ? 2 ? . 所 以 点 B 到 平 面 OCD 的 距 离 为 ∵OB ? (1,0, ?2) , ∴ d ? 3 n 3
-----------------------------12 分 20. 解: (1)抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? p ? 2 。所以抛物线的方程为 y 2 ? 4 x -----------3 分 (2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由于 O 为 PQ 中点,则 Q 点坐标为(-4,0) 当 l 垂直于 x 轴时,由抛物线的对称性知 ?AQP ? ?BQP 当 l 不垂直于 x 轴时,设 l : y ? k ? x ? 4? ,

? 4 ? 2k 2 ? 1? ? y ? k x ? 4 ? ? ? ?x ? x ? ? k 2 x 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1? x ? 16k 2 ? 0 ? ? 1 2 由? k2 2 y ? 4 x ? ? x x ? 16 ? ? 1 2

? k AQ ?

k ? x1 ? 4 ? k ? x2 ? 4 ? y1 y ? , kBQ ? 2 ? x1 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 4

? k AQ ? kBQ ?

k ? 2 x1 x2 ? 32 ? k ? 2 ?16 ? 32 ? ? ?0 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? x1 ? 4?? x2 ? 4?

所以 ?AQP ? ?BQP --------------------------------------------------------------8 分 (3) 设存在直线 m: x ? a 满足题意,则圆心 M ?

? x1 ? 4 y1 ? , ? ,过 M 作直线 x=a 的垂线,垂足 2? ? 2
2 2 2

为 E。设直线 m 与圆的一个交点为 G,则 EG ? MG ? ME .即

EG ? MG ? ME
2

2

2

2

? x ? 4? ? 1
4
2

2

? y12

? x ?4 ? ?? 1 ?a? ? 2 ?

2

? x ? 4 ? ? ? x1 ? 4 ? ? a x ? 4 ? a 2 ? x ? 4 x ? a x ? 4 ? a 2 ? a ? 3 x ? 4a ? a 2 1 ? y12 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ? 1 1 1 4 4
当 a=3 时, EG ? 3, 此时直线 m 被以 AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值 2 3 。因此存在 直线 m:x=3 满足题意。-----------------------------------------------------------12 分
2

1 a ax ? 1 ? ? 2 ,定义域为 ? 0, ??? x2 x x x ?1 当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 ,令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 x
21.解: (1) f ? ? x ? ? ? 所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,1? ------------------------4 分 (2) f ? ? x ? ? ?

1 a ax ? 1 ? ? 2 x2 x x

① 当 a ? 0 时,f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 成立, 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, 所以 f ? x ?

1 1 ? a ln e ? ? a e e 1 1 ② 当 x ? ? 0 ? a ? 0 时, ;令 f ? ? x ? ? 0 ? x ? a a 1 1 (ⅰ )若 e ? ,即 a ? 时,则 f ? ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, e? 成立,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调 a e 1 1 递减,所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ? e ? ? ? a ln e ? ? a e e
在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ? e ? ? (ⅱ )若 0 ?

1 1 1 ? 1? ?1 ? ? e ? a ? 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? , e ? 单调递增,在 x ? 处 a a e ? a? ?a ?

有极小值。所以 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 f ?

1 ?1? ? ? a ? a ln a ?a?

综上,得 f ? x ?min

? ?f ? ?? ?f ? ?

?e? ?

1 1? ? ? a?a ? ? e e? ?

1? 1? ?1? ? ? ? a ? a ln ? a ? ? a? e? ?a?
n ?1

------------------------------------------8 分

? 1? ? 1? (3)对 ?1 ? ? ? e ? ?1 ? ? ? n? ? n?


n

两边取对数,得 n ln n ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? 1 ? ? n ? 1? ln ?1 ? ? n? ? n?

1 1 1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? 。令 x ? 1 ? ,只要证 1 ? ? ln x ? x ? 1?1 ? x ? 2 ? n x n ?1 ? n? n

1 ? x ? 0 ? 的最小值为 f ?1? x 1 1 所以 f ? x ? ? ln x ? ? f ?1? ? 1? x ? 0 ? ? 1 ? ? ln x x x 又因为当 1 ? x ? 2 时,上式等号取不到, 1 所以 1 ? ? ln x ?1 ? x ? 2 ? ------------------------------------① x
证明如下:由(1)知 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? 令 g ? x ? ? x ? ln x ?1?1 ? x ? 2? , 则 g?? x? ? 1?

1 x ?1 ? ? 0 ? g ? x ? 在 ?1, 2? 上是增函数 x x

? g ? x ? ? g ?1? ? 0 ? ln x ? x ?1-----------------------------------------②
所以综合① ② ,得 令 x ? 1?
22 证明:

x ? ln ? x ? 1? ? x, ?1 ? x ? 2 ? x ?1

1 1 ? 1? 1 ,则 ? ln ?1 ? ? ? ,所以原不等式成立-----------------------------------12 分 n n ?1 ? n? n

(1)连结 AD 因为 AB 为圆的直径,所以∠ ADB=90° ,又 EF⊥ AB,∠ EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆 ∴ ∠ DEA=∠ DFA-------------------------------5 分 (2)由(1)知,BD?BE=BA?BF 又△ ABC∽ △ AEF AB AC ∴ ? AE AF 即:AB?AF=AE?AC ∴BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB2 -------------10 分 23.解(1)直线 l 的极坐标方程 2 ? cos(? ?

?
4

) ? ?1 ,

……3 分

曲线 C 普通方程 y ? x 2

……5 分

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 代入 y ? x 2 得 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 ,……8 分 (2)将 ? ?y ? 2 t ? ? 2
| MA | ? | MB |?| t1t 2 |? 2
……10 分

24 解:(1) a ? 3,log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? 3 ? log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? log 2 8

| x | ? | x ? 4 |? 8
当x ? 4 x? x?4?8 得: x ? 6 当0 ? x ? 4 x? 4? x ? 8 不成立 当 x ? 0 ?x ? 4 ? x ? 8 得: x ? ?2 ∴ 不等式解集为 {x | x ? ?2或x ? 6} (2) | x | ? | x ? 4 |?| x ? 4 ? x |? 4 ∴log2 (| x | ? | x ? 4 |) ? log 2 4 ? 2 ∴ 若原不等式解集为 R ,则 a ? 2 -------------------------10 分 -----------------------5 分


相关文档

更多相关文档

辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 数学理试题
辽宁省沈阳二中2014届高三12月月考数学(理)试题
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试 数学理试题 Word版含答案
辽宁省沈阳市实验中学北校2014届高三12月月考 数学(理)试题 Word版含答案
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试 数学文试题 Word版含答案
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 数学文试题 Word版含答案
辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
辽宁省沈阳市实验中学北校2014届高三12月月考 数学(文)试题 Word版含答案
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期10月阶段验收 数学(理科)试题 word版含答案
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 化学试题 Word版含答案
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 化学试题 Word版含答案
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 英语试题
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 数学文试题 Word版含答案
厦门二中2014届高三文科数学函数导数专项练习(四)
辽宁省沈阳二中2014届高三上学期12月月考 数学理试题
电脑版