陕西省渭南市澄城县寺前中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高一(上)期中数 学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选择 一个符合题目要求的选项. 1.已知 A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B 等于( ) A.R B.{y|y≥0} C.{(0,0) 1 1 } D , ( , ) .? 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. C.y=x0 与 与 y=x﹣1 B. 与 )

D.

与 y=x

3.如图所示,U 是全集,A、B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是(

)

A.A∩B B.B∩(?UA)

C.A∪B

D.A∩(?UB) )

4.已知(x,y)在映射 f 下的象是(x+2y 2x﹣y) ,那么(3,1)在 f 下的原象为( A. (﹣3,﹣4) B. (﹣4,﹣6) C. (1,1) D. (1,﹣1)

5.M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3}给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数 ) 关系的有(

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是( ) A.f(﹣2)>f(0)>f(1) B.f(﹣2)>f(1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f(﹣ 2) D.f(1)>f(﹣2)>f(0) 7.根据表格内的数据,可以断定方程 ex﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是( )

1 2 3 2.7 7.3 20.08 2 9 x+2 1 2 3 4 5 A. B. (﹣1,0) (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 8. =x2+2 x+2 在 4]上是减函数, 如果函数 f (x) (a﹣1) (﹣∞, 那么实数 a 取值范围是( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 )

x ex

﹣1 0.37

0 1

9.已知函数

,则

=(

)

A.

B.

C.﹣8 D.8

10.已知 0<a<1,b<﹣1,函数 f(x)=ax+b 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

二、填空题: (本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 11.已知 lg2=a,lg3=b,则 lg18=__________. 12.若 f(2x+1)=x2+1,则 f(0)的值为__________. 13.y=x2﹣5x+6(﹣3≤x≤2)的值域是 __________. 14.已知函数 y=f(x)的定义域是[a﹣2,2a+1],且 f(x)是奇函数,则 a=__________. 15.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(9)=__________.

三、解答题(本大题共 5 小题,总分 50 分) 16.不用计算器求下列各式的值 (1) (2 ) ﹣(﹣9.6)0﹣(3 ) +(1.5)﹣2

(2)lg5+lg2﹣(﹣ )﹣2+(

﹣1)0+log28.

17.若二次函数 f(x)满足 f(2)=﹣1,f(﹣1)=﹣1 且 f(x)的最大值是 8,试确定此 二次函数.

18.已知函数

的定义域为集合 A,y=﹣x2+2x+2a 的值域为 B.

(1)若 a=2,求 A∩B (2)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,已知 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. (1)画出偶函数 f(x)的图象; (2)根据图象,写出 f(x)的单调区间;同时写出函数的值域.

20.已知函数 y= (1)判断函数在区间(1,+∞)上的单调性 (2)求函数在区间是区间[2,6]上的最大值和最小值.

2015-2016 学年陕西省渭南市澄城县寺前中学高一(上) 期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选择 一个符合题目要求的选项. 1.已知 A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B 等于( ) A.R B.{y|y≥0} C.{(0,0) , (1,1)} D.? 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】利用集合的表示法知 A 是函数的定义域,B 是函数的值域,求出 A,B;利用交集 的定义求出交集. 【解答】解:∵A={x|y=x,x∈R}=R, B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0} ∴A∩B={y|y≥0} 故选 B 【点评】本题考查集合的表示法、函数的定义域、值域、集合的运算. 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. C.y=x0 与 与 y=x﹣1 B. 与 )

D.

与 y=x

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】计算题. 【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域,然后判断是否一致,进而化简函数的解析 式, 再比较是否一致, 进而根据两个函数的定义域和解析式均一致, 则两函数表示同一函数, 否则两函数不表示同一函数得到答案. 【解答】解:要判断两个函数是否是同一个函数,需要从三个方面来分析,即定义域,对应 法则和值域, A 选项中,函数 的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) ,函数 y=x﹣1 的定义域

为 R,两个函数的定义域不同; B 选项中,函数两个函数的定义域均为 R,但 =x, =|x|,解析式不同,

C 选项中,函数两个函数的定义域定义域均为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,且解析式均可化为 y=1;

D 选项中,函数

的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,函数 y=x 的定义域为 R,两个

函数的定义域不同; 故选 C. 【点评】本题考查判断两个函数是否是同一函数,在开始学习函数的概念时,这是经常出现 的一个问题,注意要从三个方面来分析. 3.如图所示,U 是全集,A、B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是( )

A.A∩B B.B∩(?UA) C.A∪B D.A∩(?UB) 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【分析】集合韦恩图,判断出阴影部分中的元素在 B 中但不在 A 中即在 B 与 A 的补集的交 集中. 【解答】解:由图知,阴影部分中的元素在集合 B 中但不在集合 A 中, 所以阴影部分所表示的集合是 B∩(?UA) 故选 B 【点评】 本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、 考查韦恩图是研究集合关系的常用工 具. 4.已知(x,y)在映射 f 下的象是(x+2y 2x﹣y) ,那么(3,1)在 f 下的原象为( A. (﹣3,﹣4) B. (﹣4,﹣6) C. (1,1) D. (1,﹣1) 【考点】映射. 【专题】计算题. 【分析】直接由 列式求解 x,y 的值,则(3,1)在 f 下的原象可求. )

【解答】解:由

,解得



∴(3,1)在 f 下的原象为(1,1) . 故选:C. 【点评】本题考查了映射的概念,解答的关键是对映射概念的理解,是基础题. 5.M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3}给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数 ) 关系的有(

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】函数的图象;函数的概念及其构成要素. 【专题】图表型. 【分析】 本题考查的是函数的概念和图象问题. 在解答时首先要对函数的概念从两个方面进 行理解: 一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应, 二 是满足一对一、多对一的标准,绝不能出现一对多的现象. 【解答】解:由题意可知:M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3}, 对于第一个图中,在集合 M 中区间(1,2]内的元素没有像,所以不对; 对于第二个图中,符合多对一的原则,故对; 对于第三个图中,符合一对一的原则,故对; 对于第四个图中,不符合一对一或多对一的原则,如当 x=1 时,有两个 y 值与之对应,故 不对; 故选 C. 【点评】 本题考查的是函数的概念和函数图象的综合类问题. 在解答时充分体现了函数概念 的知识、函数图象的知识以及问题转化的思想.值得同学们体会和反思. 6.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是( ) A.f(﹣2)>f(0)>f(1) B.f(﹣2)>f(1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f(﹣ 2) D.f(1)>f(﹣2)>f(0) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利用函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,即可比较大小. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(﹣2)=f(2) , 又∵f(x)在[0,+∞)上递增, ∴f(﹣2)>f(1)>f(0) . 故选:B. 【点评】本题主要考查大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 7.根据表格内的数据,可以断定方程 ex﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是( ) 1 x 0 1 2 3 ﹣ ex 0.37 1 2.7 7.3 20.08 2 9 x+2 1 2 3 4 5 A. B. (﹣1,0) (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】令 f(x)=ex﹣x﹣2,求出选项中的端点函数值,从而由根的存在性定理判断根的 位置. 【解答】解:由上表可知, 令 f(x)=ex﹣x﹣2, 则 f(﹣1)≈0.37+1﹣2<0, f(0)=1﹣0﹣2=﹣1<0, f(1)≈2.72﹣1﹣2<0, f(2)≈7.39﹣2﹣2>0,

f(3)≈20.09﹣3﹣2>0. 故 f(1)f(2)<0, 故选:C. 【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤,属于基础题. 8. =x2+2 x+2 在 4]上是减函数, 如果函数 f (x) (a﹣1) (﹣∞, 那么实数 a 取值范围是( A.a≤﹣3 B.a≥﹣3 C.a≤5 D.a≥5 )

【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知 对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果. 【解答】解:∵f(x)=x2+2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2 其对称轴为:x=1﹣a ∵函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数 ∴1﹣a≥4 ∴a≤﹣3 故选 A 【点评】本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向, 这是研究二次函数单调性和最值的关键.

9.已知函数

,则

=(

)

A.

B.

C.﹣8 D.8

【考点】函数的值. 【分析】利用分段函数的解析式即可求得 f(f( ) )的值.

【解答】解:∵f(x)=



∴f(

)=

=﹣3, =8.

∴f(f(

) )=f(﹣3)=

故选 D. 【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质,考查对函数解析式的理解与应用,属于基础 题. 10.已知 0<a<1,b<﹣1,函数 f(x)=ax+b 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】指数函数的图像变换. )

【专题】转化思想. 【分析】先考查 y=ax 的图象特征,f(x)=ax+b 的图象可看成把 y=ax 的图象向下平移﹣b (﹣b>1)个单位得到的,即可得到 f(x)=ax+b 的图象特征. 【解答】解:∵0<a<1,b<﹣1, ∴y=ax 的图象过第一、第二象限,且是单调减函数,经过(0,1) , x x f(x)=a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b(﹣b>1)个单位得到的, 故函数 f(x)=ax+b 的图象 经过第二、第三、第四象限,不经过第一象限, 故选 A. 【点评】本题考查函数图象的变换,指数函数的图象特征,体现了转化的数学思想. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分) 11.已知 lg2=a,lg3=b,则 lg18=a+2b. 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】把 18 分解为 2×9,然后直接利用对数的运算性质展开,代入 lg2=a,lg3=b 得答案. 【解答】解:∵lg2=a,lg3=b, ∴lg18=lg(2×9)=lg2+lg9=lg2+2lg3=a+2b. 故答案为:a+2b. 【点评】本题考查了对数的运算性质,是基础的会考题型. 12.若 f(2x+1)=x2+1,则 f(0)的值为 . 【考点】函数的值. 【专题】计算题;换元法. 【分析】先用换元法求得函数 f(x)的解析式,再用为代换解析式中的自变量求解. 【解答】解:令 t=2x+1 ∴x=

∴f(t)=

∴f(0)=

故答案为: 【点评】本题主要考查用换元法求函数解析式和求函数值等问题. 13.y=x2﹣5x+6(﹣3≤x≤2)的值域是 [0,30]. 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【专题】计算题. 【分析】直接利用函数的单调性对函数进行值域的求解

【解答】解:由图可知: 当﹣3≤x≤2 时,函数单调减 即 0≤y≤30 故答案为:[0,30]

【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,还有函数的单调性,属于基础题.

14.已知函数 y=f(x)的定义域是[a﹣2,2a+1],且 f(x)是奇函数,则 a= . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】由奇函数 f(x)的定义可知,定义域[a﹣2,2a+1]关于原点对称,可得答案. 【解答】解:因为奇函数 f(x)的定义可知,定义域[a﹣2,2a+1],关于原点对称, ∴a﹣2+2a+1=0, ∴a= , 故答案为: . 【点评】本题考查函数的奇偶性和定义域,函数具备奇偶性,则其定义域必须关于原点对 称.属基础题. 15.已知幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(9)=3. 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 【专题】计算题. 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析 式,再求 f(16)的值 【解答】解:由题意令 y=f(x)=xa,由于图象过点(2, ) ,



=2a,a=

∴y=f(x)= ∴f(9)=3. 故答案为:3. 【点评】 本题考查幂函数的单调性、 奇偶性及其应用, 解题的关键是熟练掌握幂函数的性质, 能根据幂函数的性质求其解析式,求函数值. 三、解答题(本大题共 5 小题,总分 50 分) 16.不用计算器求下列各式的值 (1) (2 ) ﹣(﹣9.6)0﹣(3 ) +(1.5)﹣2

(2)lg5+lg2﹣(﹣ )﹣2+(

﹣1)0+log28.

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】 (1) 化带分数为假分数, 化小数为分数, 然后把 和 的形式,利用有理指数幂的运算性质化简后通分计算; (2)利用对数的和等于乘积的对数得到 lg5+lg2=1,把 幂的运算性质化简求值. 【解答】解: (1) 化为﹣3﹣1,然后利用有理指数 分别写成 和

=

=

= (2) =

= ;

=1﹣9+1+3=﹣4. 【点评】本题考查了对数的运算性质,考查了有理指数幂的化简与求值,关键是熟记有关的 运算性质,是基础的计算题. 17.若二次函数 f(x)满足 f(2)=﹣1,f(﹣1)=﹣1 且 f(x)的最大值是 8,试确定此 二次函数.

【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】由题意知 x=2 与 x=﹣1 是方程 f(x)+1=0 的两个根,故解决本题宜将函数设为两 根式,这样引入的参数最少,然后再利用函数最值为 8,即 f(x)+1 的最大值为 9 建立方 程求参数. 【解答】解:∵二次函数 f(x)满足 f(2)=﹣1,f(﹣1)=﹣1 ∴x=2 与 x=﹣1 是方程 f(x)+1=0 的两个根 设 f(x)+1=a(x﹣2) (x+1)=a(x2﹣x﹣2)=a[(x﹣ )2﹣ ] ∵f(x)的最大值是 8, ∴f(x)+1 的最大值为 9,且 a<0 ∴﹣ a=9,得 a=﹣4. 故 f(x)+1=﹣4(x﹣2) (x+1)=﹣4x2+4x+8 所以 f(x)=﹣4x2+4x+7 答:二次函数的解析式为 f(x)=﹣4x2+4x+7 【点评】考查求二次函数的解析式,主要用待定系数法,常设的形式有三种,一般式,顶点 式,两根式,在做题时就根据题目条件灵活选用采取那一种形式,如本题,设为两根式最方 便. 的定义域为集合 A,y=﹣x2+2x+2a 的值域为 B.

18.已知函数

(1)若 a=2,求 A∩B (2)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算;并集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】求出函数 y= 的定义域确定出 A,求出 y=﹣x2+2x+2a 的值域确定出 B,

(1)把 a=2 代入确定出 B,求出 A 与 B 的交集即可; (2)由 A 与 B 的并集为 R,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的范围. 【解答】解:依题意:整理得 A={x︳x>3},函数 y=﹣x2+2x+2a=﹣(x﹣1)2+1+2a≤1+2a, 即 B={x︳x≤2a+1}, (1)当 a=2 时,B={x|x≤5}, ∴A∩B={x︳3<x≤5}; (2)∵A∪B=R,∴根据题意得:2a+1≥3, 解得:a≥1, 则实数 a 的取值范围是[1,+∞) . 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,已知 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x. (1)画出偶函数 f(x)的图象; (2)根据图象,写出 f(x)的单调区间;同时写出函数的值域.

【考点】函数的图象. 【专题】计算题;作图题. 【分析】 (1)先画 x≥0 时,f(x)=x2﹣2x 的图象,再根据偶函数的图象关于 y 轴对称画出 x<0 的图象即可; (2)根据函数图象即可写出 f(x)的单调区间,以及函数的值域. 【解答】解: (1)

(2)由图得函数 f(x)的递减区间是(﹣∞,﹣1) , (0,1) . f(x)的递增区间是(﹣1,0) , (1,+∞) . 值域为{y|y≥﹣1} (注意:将两个区间“并”起来,没分;1,﹣1,0 处写为“闭”的形式,不扣分) 【点评】本题主要考查了偶函数的图象,以及函数单调性和值域,考查画图能力,属于基础 题.

20.已知函数 y= (1)判断函数在区间(1,+∞)上的单调性 (2)求函数在区间是区间[2,6]上的最大值和最小值. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用函数单调性的定义判断函数在区间(1,+∞)上的单调性.

(2)利用函数单调性和最值之间的关系确定函数的最大值和最小值. 【解答】解: (1)设 x1、x2 是区间(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2) = ∵1<x1<x2, ∴x2﹣x1>0, (x1﹣1) (x2﹣1)>0, ∴ , .

即 f(x1)>f(x2) , ∴函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减. (2)由(1)知,函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴f(x)在区间[2,6]上单调递减. ∴当 x=2 时,f(x)取得最大值 f(2)=2, 当 x=6 时,f(x)取得最大值 f(6)= .

【点评】本题主要考查函数单调性的判断和应用,利用定义法是证明单调性的基本方法,利 用函数的单调性是解决函数最值的常用方法.


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