《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》---学生


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《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》
基础知识梳理
1. 简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表: 綈(p 或 p q 綈p 綈q p或q p且q q) 真 真 假 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 真 真 真 真 假 真 假 假 假 假 假 假 真

綈(p 且 q) 假 真 真 真

綈p或 綈q 假 真 真 真

綈p且 綈q 假 假 假 真

2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 3. 全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 4. 命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. [难点正本 疑点清源] 1. 逻辑联结词“或”的含义 逻辑联结词中的“或”的含义,与并集概念中的“或”的含义相同.如“x∈A 或 x∈B”,是指:x∈A 且 x?B;x?A 且 x∈B;x∈A 且 x∈B 三种情况.再如“p 真或 q 真”是指:p 真且 q 假;p 假且 q 真;p 真且 q 真三种情况. 2. 命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又 否定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然 联系. 3. 含一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

基础自测
1. 下列命题中,所有真命题的序号是________. ①5>2 且 7>4;②3>4 或 4>3;③ 2不是无理数. 1 2. 已知命题 p:存在 x∈R,x2+ 2≤2,命题 q 是命题 p 的否定,则命题 p、q、p 且 q、p 或 q 中是真命题 x 的是________. 3. 若命题“存在 x∈R,有 x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 4. (2012· 湖北改编)命题“存在 x0∈?RQ,x3 ( ) 0∈Q”的否定是 3 A.存在 x0D∈/?RQ,x3 ∈ Q B .存在 x ∈ ? Q , x D ∈ / Q 0 0 R 0 C.任意 xD∈/?RQ,x3∈Q D.任意 x∈?RQ,x3D∈/Q 5. 有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:存在 x∈R,sin2 +cos2 = p2:存在 x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y 2 2 2 1-cos 2x π p3:对任意 x∈[0,π], =sin x p4:sin x=cos y?x+y= 其中的假命题是 ( ) 2 2 A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3

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题型分类·深度剖析
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假 - - 例 1 已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数,则在命题 q1: p1 或 p2,q2:p1 且 p2,q3:(?p1)或 p2 和 q4:p1 且(?p2)中,真命题是 ( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解. (2)解决该类问题的基本步骤:① 弄清构成复合命题中简单命题 p 和 q 的真假;② 明确其构成形式;③ 根 据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假. 写出由下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“? p”形式的复合命题,并判断真假: (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等.

题型二 含有一个量词的命题的否定 例 2 写出下列命题的否定,并判断其真假: 1 (1)p:对任意 x∈R,x2-x+ ≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; 4 2 (3)r:存在 x0∈R,x0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3 0+1=0.

(1)已知命题 p:对任意 x∈R,sin x≤1,则 ( ) A.?p:存在 x∈R,sin x≥1 B.?p:对任意 x∈R,sin x≥1 C.?p:存在 x∈R,sin x>1 D.?p:对任意 x∈R,sin x>1 x 2 (2)命题 p:存在 x∈R,2 +x ≤1 的否定?p 为_____________________. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例 3 已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实数根;q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为 R. 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围.

探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的命题(一个或两个)的真假,求出此时参数成立的 条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件. 已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=ax 在 R 上单调递增; 命题 q: 不等式 ax2-ax+1>0 对任意 x∈R 恒成立.若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求 a 的取值范围.

答题模板------借助逻辑联结词求解参数范围问题
1 ? 典例:(12 分)已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?
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上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围. 审题视角 (1)p、q 都为真时,分别求出相应的 a 的取值范围;(2)用补集的思想,求出?p、?q 分别对应 的 a 的取值范围;(3)根据“p 且 q”为假、“p 或 q”为真,确定 p、q 的真假. 规范解答 解 ∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1.[2 分] 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴?p:c>1.[3 分] 1 1 ? 又∵f(x)=x2-2cx+1 在? ?2,+∞?上为增函数,∴c≤2. 1 1 即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1,∴?q:c> 且 c≠1.[5 分] 2 2 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真.[6 分] 1 ? ? ? 1 ? ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c|c>2且c≠1?=?c|2<c<1?.[8 分] ? ? ? ? 1? ? ? 1 ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤2?=?.[10 分] 综上所述,实数 c 的取值范围是?c|2<c<1?.[12 分] ? ? ? ? 第一步:求命题 p、q 对应的参数的范围. 第二步:求命题綈 p、綈 q 对应的参数的范围. 第三步:根据已知条件构造新命题,如本题构造新命题 “p 且 q”或“p 或 q”. 第四步:根据新命题的真假,确定参数的范围. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来, 然后转化为集 合交、并、补的基本运算. 答题时,可依答题模板的格式进行,这样可使答题思路清晰,过程完整.老师在阅卷时,便于查找得分 点.

思想方法·感悟提高
方法与技巧
1.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,并注意与否命题的区 别;对于命题否定的真假,可以直接判定,也可以先判定原命题,再判定其否定.判断命题的真假要注 意:全称命题为真需证明,为假举反例即可;特称命题为真需举一个例子,为假则要证明全称命题为真. 2.要把握命题的形成、相互转化,会根据复合命题来判断简单命题的真假. 3.全称命题与特称命题可以互相转化,即从反面处理,再求其补集.

失误与防范
1.p 或 q 为真命题,只需 p、q 有一个为真即可,p 且 q 为真命题,必须 p、q 同时为真. 2.p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 3.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定. 4.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. 5.简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇,较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题,要注意 其他知识的提取与应用,一般先化简转化命题,再处理关系.

练出高分
A组 专项基础训练
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 下列命题中的假命题是 ( ) A.存在 x0∈R,lg x0=0 B.存在 x0∈R,tan x0=1 C.对任意 x∈R,x3>0 D.对任意 x∈R,2x>0 2. (2012· 湖北)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ( ) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
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D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 π π 3.(2012· 山东)设命题 p: 函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ; 命题 q: 函数 y=cos x 的图像关于直线 x= 对称. 则 2 2 下列判断正确的是 ( ) A.p 为真 B.?q 为假 C.p 且 q 为假 D.p 或 q 为真 4. 已知命题 p:“对任意 x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,使 x2+2ax+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 命题“对任意 x∈R,ex≤x”的否定是__________________. b 6. 若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集 a 是{x|a<x<b},则在命题“p 且 q”、“p 或 q”、“?p”、“?q”中,是真命题的有________. 1 7. 已知命题 p: x2+2x-3>0; 命题 q: >1, 若“?q 且 p”为真, 则 x 的取值范围是____________________. 3-x 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)写出下列命题的否定,并判断真假: (1)q:对任意 x∈R,x 不是 5x-12=0 的根; (2)r:有些质数是奇数; (3)s:存在 x0∈R,|x0|>0. 1 ? 1 1 9. (12 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ?2,2?时,函数 f(x)=x+x >c恒成立.如 果“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 c 的取值范围.

C.存在一个有理数,它的平方是有理数

B组

专项能力提升
( )

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011· 安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 ..

A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 2. (2012· 辽宁改编)已知命题 p:对任意 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))· (x2-x1)≥0,则?p 是( ) A.存在 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.对任意 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.存在 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.对任意 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 ex 1 3. 设有两个命题,p:不等式 + x>a 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3a)x 在 R 上是减函数,如果这两个 4 e 命题中有且只有一个真命题,那么实数 a 的取值范围是 ( ) 7 7 A.1≤a<2 B.2<a≤ C.2≤a< D.1<a≤2 3 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) + 4. 已知命题 p:“对任意 x∈R,存在 m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题?p 是假命题,则实数 m 的取值范围 是__________. 5. 设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根.则使“p 或 q”为真,“p 且 q”为假的实数 m 的取值范围是____________. 6. 下列结论: ①若命题 p:存在 x∈R,tan x=1;命题 q:对任意 x∈R,x2-x+1>0.则命题“p 且?q”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 三、解答题 7. 已知命题 p: 方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解; 命题 q: 只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0, 若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

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