圆的方程


8.5 圆的方程 达标要求 1、掌握圆的标准方程,能根据条件熟练写出圆的标准方程. 2、掌握圆的一般方程及其特点,能将圆的一般方程转化为标准方程. 3、掌握直线与圆的位置关系,能灵活运用它们解决有关问题。 基础回顾 一、圆的标准方程 1、圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长是圆的半径. 2、圆的标准方程 (1) 圆心为 C (a , b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . (2) 圆心为 (0 , 0) ,半径为 r 的圆的标准方程: x 2 ? y 2 ? r 2 . 二、圆的一般方程 1、圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0) ,圆心为 (?
半径为 2、圆的一般方程的特点 (1)

D E , ? ) 2 2

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

x 2 与 y 2 的系数相等且不等于 0 ;

(2) 没有 xy 这样的二次项; (3)

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0

三、直线与网的位置关系 1、直线与网的位置关系 (1)相切; (2)相割; (3)相离. 2、直线与圆位置关系的判定方法 (1) 由直线和圆的方程联立, 得到关于 x 或 y 的一元二次方程, 然后由判别式 ? 来判断: ① ? ? 0 时,直线与圆相切; ② ? ? 0 时,直线与圆相交; ③ ? ? 0 时,直线与圆相离. (2)由圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系来判断: ① d ? r 时直线与圆相切; ② d ? r 时直线与圆相交; ③ d ? r 时直线与圆相离. 典型例题 例题 1 根据条件确定圆的方程。 (1) (2) 圆心为 (0 , 2) 且过点 ( 4 , 1) 的圆的标准方程。 已知点 A (?2 , 4) 和 B (6 , ? 2) ,且以线段 AB 为直径的圆的标准方程

(3)

过点 A (5 , 2) ,圆心在直线 x ? y ? 0 上,半径等于 3 的圆的标准方程

【分析】 求圆的标准方程的关键在于确定圆心和半径 解:(1) 因为圆心为 (0 , 2) ,设圆的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? r 2 , 将点 ( 4 , 1) 代入方程得 r ? 17 ,
2

所以所求圆的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 17 . (2)因为弦 AB 为圆直径,所以圆心为线段 AB 的中点,即圆心坐标为 ( 2 , 1) ,

(6 ? 2) 2 ? (?2 ? 4) 2 半径 r ? ? ? 5, 2 2 AB
所以圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ?1)2 ? 25 . (3)因为圆心在直线 x ? y ? 0 上,且圆的半径等于 3 所以设圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 9 . 把 A (5 , 2) 代入方程得 a ? 2 或 5 , 所以圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 9 . 例题 2 已知直线: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 16 交于 A 、 B ,求弦 AB 的长.
2 2

【分析】 求直线被圆截得的弦长,一般采用构造如下图直角三角形。 解:过圆心 O 作 OM ? AB ,连接 OB . 圆心 O (0 , 0) 到直线的距离 d ? 1 ,半径 r ? 4 . 所以 MB ? r 2 ? d 2 ? 15 ,所以弦 AB 的长为 2 15 。 例题 3 (1) 求通过圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 16 上的点的圆的切线方程.
2 2 2 2 (2) 已知圆: x ? y ? 4 ,求过点 (2 , ? 3) 且 A (6 , 3) 与圆相切的直线 l 的方

程. 【分析】 (1)利用直线与圆相切的性质,圆心与过切点的半径与切线垂直. (2)直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径.
2 2 解: (1)圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 16 的圆心为 P (2 , 3) ,半径为 4 .

因为连接圆心与切点的半径与切线垂直. 所以 PA ? (6 ? 2 , 3 ? 3) ? (4 , 0) 是切线的法向量.

由点法式方程,得 4( x ? 2) ? 0( y ? 3) ? 0 . 所以所求切线方程为 x ? 2 . (2)若直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) , 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 , 因为直线与圆相切,则 d ?

? 2k ? 3 k ?1
2

? 2 ,整理,得12 k ? ?5 ,所以 k ? ?

5 。 12

所求直线方程为 5x ? 12y ? 26 ? 0 . 若直线的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? 2 . 所以过点 (2 , ? 3) 且与圆相切的直线 l 的方程 5x ? 12y ? 26 ? 0 或 x ? 2 .


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