【步步高】2016高考数学大一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件学案 理 苏教版


学案 2

命题及其关系、充分条件与必要条件

导学目标: 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互 关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

自主梳理 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题,其中判断为真的语句叫做 真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地, 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定, 于是四种命题的形式就是 原命题:若 p 则 q(p? q); 逆命题:若 q 则 p(q? p); 否命题:若綈 p 则綈 q(綈 p? 綈 q); 逆否命题:若綈 q 则綈 p(綈 q? 綈 p). (2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ②两个命题为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 若 p? q,则 p 叫做 q 的充分条件;若 q? p,则 p 叫做 q 的必要条件;如果 p?q,则 p 叫做 q 的充要条件. 自我检测 1.(2011?南京模拟)设集合 A=?x| 的________条件. 答案 充分不必要 解析 ∵A=?x| <0?={x|0<x<1}, ? x-1 ? B={x|0<x<3},∴A≠B. 当 m∈A 时,必有 m∈B;而当 m∈B 时,m∈A 不一定成立. ∴“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件. 2.(2009?安徽改编)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是________.(填序号) ①p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d; x ②p:a>1,b>1,q:f(x)=a -b(a>0,且 a≠1)的图象不过第二象限; 2 ③p:x=1.q:x =x; ④p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数.
1 ? ?

<0?,B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B” ? x-1 ?

x

?

x

?

答案 ① 解析 ①中,由于 a>b,c>d? a+c>b+d,而 a+c>b+d 却不一定推出 a>b,c>d,故① x 中 p 是 q 的必要不充分条件;②中,当 a>1,b>1 时,函数 f(x)=a -b 不过第二象限, x 当 f(x)=a -b 不过第二象限时,有 a>1,b≥1,故②中 p 是 q 的充分不必要条件;③ 2 2 中, 因为 x=1 时有 x =x, 但 x =x 时不一定有 x=1, 故③中 p 是 q 的充分不必要条件; ④中 p 是 q 的充要条件. 3.设 a、b 都是非零向量,那么命题“a 与 b 共线”是命题“|a+b|=|a|+|b|”的 ________条件. 答案 必要不充分 解析 |a+b|=|a|+|b|? a、b 同向? a 与 b 共线;反之,当 a 与 b 共线时,不一定有 |a+b|=|a|+|b|,故 a 与 b 共线是|a+b|=|a|+|b|的必要不充分条件. 4.与命题“若 a∈M,则 b ? M”等价的命题是____________________. 答案 若 b∈M,则 a ? M 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否命题即可. 5.给出下列命题: ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真; 2 ⑤“若 m>1,则 mx -2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 答案 ②③⑤ 解析 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故① 2 ④错误,②③正确.又因为不等式 mx -2(m+1)x+m+3>0 的解集为 R, ?m>0 ? 由? 2 ? ?Δ =4?m+1? -4m?m+3?<0 ??
?m>0 ? ? ?m>1

? m>1.

故⑤正确.

探究点一 四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. 解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判 断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定. 解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题. (2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题. (3)逆命题: 若一条直线经过圆心, 且平分弦所对的弧, 则这条直线是弦的垂直平分线. 真 命题.
2

否命题: 若一条直线不是弦的垂直平分线, 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧. 真 命题. 逆否命题: 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧, 则这条直线不是弦的垂直平分 线.真命题. 变式迁移 1 有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; 2 ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①的逆命题是“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,真;②的否命题是“不全 2 等的三角形的面积不相等”,假;③若 q≤1,则 Δ =4-4q≥0,所以 x +2x+q=0 有 实根,其逆否命题与原命题是等价命题,真; ④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假. 探究点二 充要条件的判断 例 2 给出下列命题,试分别指出 p 是 q 的什么条件. (1)p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0. (2)p:两个三角形相似;q:两个三角形全等. 2 (3)p:m<-2;q:方程 x -x-m=0 无实根. (4)p:一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等. 解 (1)∵x-2=0? (x-2)(x-3)=0; 而(x-2)(x-3)=0 ? x-2=0. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (2)∵两个三角形相似 ? 两个三角形全等; 但两个三角形全等? 两个三角形相似. ∴p 是 q 的必要不充分条件. 2 (3)∵m<-2? 方程 x -x-m=0 无实根; 2 方程 x -x-m=0 无实根 ? m<-2. ∴p 是 q 的充分不必要条件. (4)∵矩形的对角线相等,∴p? q; 而对角线相等的四边形不一定是矩形,∴q ? p. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 变式迁移 2 下列各小题中,p 是 q 的充要条件的是________.(填序号) 2 ①p:m<-2 或 m>6;q:y=x +mx+m+3 有两个不同的零点; f?-x? ②p: =1;q:y=f(x)是偶函数; f?x? ③p:cos α =cos β ;q:tan α =tan β ; ④p:A∩B=A;q:?UB? ?UA. 答案 ①④ 2 2 解析 ①q:y=x +mx+m+3 有两个不同的零点?q:Δ =m -4(m+3)>0?q:m<-2 π 或 m>6?p;②当 f(x)=0 时,由 q ? p;③若 α ,β =kπ + (k∈Z)时,显然 cos α 2 =cos β ,但 tan α ≠tan β ;④p:A∩B=A?p:A? B?q:?UA? ?UB.故①④符合题 意. 探究点三 充要条件的证明 2 2 2 2 例 3 设 a,b,c 为△ABC 的三边,求证:方程 x +2ax+b =0 与 x +2cx-b =0 有公 共根的充要条件是∠A=90°. 解题导引 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件”? “结论”是证明命题的充分性, 由“结论”? “条件”是证明命题的必要性. 证明要分
3

两个环节:一是充分性;二是必要性. 2 2 2 2 证明 (1)必要性:设方程 x +2ax+b =0 与 x +2cx-b =0 有公共根 x0, 2 2 2 2 则 x0+2ax0+b =0,x0+2cx0-b =0,
2 2 ,将此式代入 x0+2ax0+b =0, c-a 2 2 2 可得 b +c =a ,故∠A=90°, (2)充分性:∵∠A=90°, 2 2 2 2 2 2 ∴b +c =a ,b =a -c .① 2 2 将①代入方程 x +2ax+b =0, 2 2 2 可得 x +2ax+a -c =0, 即(x+a-c)(x+a+c)=0. 2 2 将①代入方程 x +2cx-b =0, 2 2 2 可得 x +2cx+c -a =0,即(x+c-a)(x+c+a)=0. 故两方程有公共根 x=-(a+c). 2 2 2 2 所以方程 x +2ax+b =0 与 x +2cx-b =0 有公共根的充要条件是∠A=90°. 3 3 2 2 变式迁移 3 已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0. 证明 (1)必要性:∵a+b=1,∴a+b-1=0. 3 3 2 2 ∴a +b +ab-a -b 2 2 2 2 =(a+b)(a -ab+b )-(a -ab+b ) 2 2 =(a+b-1)(a -ab+b )=0.

两式相减可得 x0=

b2

(2)充分性: 3 3 2 2 ∵a +b +ab-a -b =0, 2 2 即(a+b-1)(a -ab+b )=0. 又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0. b 2 3 2 2 2 ∵a -ab+b =(a- ) + b >0. 2 4 ∴a+b-1=0,即 a+b=1. 3 3 2 2 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.

转化与化归思想 例 (14 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx -4x+4=0 和 x -4mx+4m -4m-5= 0,且 m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件. 【答题模板】 2 解 ∵mx -4x+4=0 是一元二次方程, ∴m≠0. [2 分] 另一方程为 x -4mx+4m -4m-5=0,两方程都要有实根, ?Δ 1=16?1-m?≥0, ? ∴? 2 2 ? ?Δ 2=16m -4?4m -4m-5?≥0, 5 解得 m∈[- ,1]. 4 分] ∵两根为整数,故和与积也为整数,
2 2 2 2 2

[6

4

4 ? ?m∈Z ∴? 4m∈Z ? ?4m -4m-5∈Z
2



[10

分] ∴m 为 4 的约数,∴m=-1 或 1,当 m=-1 时, 2 第一个方程 x +4x-4=0 的根为非整数, 而当 m=1 时,两方程均为整数根, ∴两方程的根均为整数的充要条件是 m=1. 分] 【突破思维障碍】 本题涉及到参数问题,先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决, 两方程有实根易想 Δ ≥0.求出 m 的范围,要使两方程根都为整数可转化为它们的两根 之和与两根之积都是整数. 【易错点剖析】 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m≠0,不易把方程的根都是整数转化为两根之和 与两根之积都是整数.

[14

1. 研究命题及其关系时, 要分清命题的题设和结论, 把命题写成“如果??, 那么??” 的形式,当一个命题有大前提时,必须保留大前提,只有互为逆否的命题才有相同的真 假性. 2.在解决充分条件、必要条件等问题时,要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断, 同时还要弄清是 p 对 q 而言,还是 q 对 p 而言.还要分清否命题与命题的否定的区别. 3.本节体现了转化与划归的数学思想。

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.(2010?天津模拟)给出以下四个命题: 2 2 ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0;②若 a>b,则 am >bm ;③在△ABC 中,若 sin A=sin B, 2 2 则 A=B;④在一元二次方程 ax +bx+c=0 中,若 b -4ac<0,则方程有实数根.其中 原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________.(填序号) 答案 ③ 解析 对命题①,其原命题和逆否命题为真,但逆命题和否命题为假;对命题②,其原 命题和逆否命题为假,但逆命题和否命题为真;对命题③,其原命题、逆命题、否命题、 逆否命题全部为真;对命题④,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假. 2.(2011?淮安月考)对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充分且必要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的 充分且必要条件; ③“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条 件.其中真命题的个数为________. 答案 2 解析 ②④正确; 对于①, “a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件; 对于③, “a>b” 是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件. π 1 3.(2009?北京改编)“α = +2kπ (k∈Z)”是“cos 2α = ”的______________条 6 2
5

件. 答案 充分不必要 π 1 解析 由 α = +2kπ (k∈Z)可得到 cos 2α = . 6 2 1 π 由 cos 2α = 得 2α =2kπ ± (k∈Z). 2 3 π ∴α =kπ ± (k∈Z). 6 1 π 所以 cos 2α = 不一定得到 α = +2kπ (k∈Z). 2 6 2 2 4.(2010?徐州模拟)关于命题“若抛物线 y=ax +bx+c 的开口向下,则{x|ax +bx +c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为________. 答案 1 2 2 解析 对于原命题: “若抛物线 y=ax +bx+c 的开口向下, 则{x|ax +bx+c<0}≠?”, 2 这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题,但其逆命题:“若{x|ax +bx+c<0}≠ 2 2 ?,则抛物线 y=ax +bx+c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式 ax +bx+c<0 的解集非空时,可以有 a>0,即抛物线的开口可以向上.因此否命题也是假命题. 5.(2011?扬州模拟)集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A? B”是“a>5” 的 ______________条件. 答案 必要不充分 解析 A={x|-4≤x≤4},若 A? B,则 a>4,a>4 ? a>5,但 a>5? a>4. 6.“x1>0 且 x2>0”是“x1+x2>0 且 x1x2>0”的________条件. 答案 充要 2 2 7.(2011?镇江模拟)已知 p:(x-1)(y-2)=0,q:(x-1) +(y-2) =0,则 p 是 q 的 ____________条件. 答案 必要不充分 2 2 解析 由(x-1)(y-2)=0 得 x=1 或 y=2,由(x-1) +(y-2) =0 得 x=1 且 y=2, 所 以由 q 能推出 p,由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件. 2 8.已知 p(x):x +2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范 围为________. 答案 [3,8) 解析 因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0, 解得 m≥3;又因为 p(2)是真命题,所以 4+4-m>0, 解得 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 二、解答题(共 42 分) 9.(12 分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 2 (1)若 q<1,则方程 x +2x+q=0 有实根; (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0; 2 2 (3)若 x +y =0,则 x、y 全为零. 2 解 (1)逆命题:若方程 x +2x+q=0 有实根,则 q<1,为假命题. 2 否命题:若 q≥1,则方程 x +2x+q=0 无实根,为假命题. 2 逆否命题:若方程 x +2x+q=0 无实根,则 q≥1,为真命题.(4 分) (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0,为真命题. 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,为真命题. 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,为真命题.(8 分) 2 2 (3)逆命题:若 x、y 全为零,则 x +y =0,为真命题. 2 2 否命题:若 x +y ≠0,则 x、y 不全为零,为真命题.
6

逆否命题:若 x、y 不全为零,则 x +y ≠0,为真命题.(12 分) 2 2 10.(14 分)(2011?连云港模拟)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0,或 x2+2x-8>0,且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范 围. 2 2 解 设 A={x|p}={x|x -4ax+3a <0,a<0} ={x|3a<x<a,a<0},(4 分) B={x|q}={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0} 2 2 ={x|x -x-6≤0}∪{x|x +2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2} ={x|x<-4 或 x≥-2}.(8 分) ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴綈 q? 綈 p,且綈 p ? 綈 q. 则{x|綈 q}?{x|綈 p}, 而{x|綈 q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|綈 p}=?RA={x|x≤3a 或 x≥a,a<0}, ∴{x|-4≤x<-2} ? {x|x≤3a 或 x≥a,a<0},
?3a≥-2, ? 则? ? ?a<0

2

2

或?

?a≤-4, ? ? ?a<0.

(13 分)

2 综上,可得- ≤a<0 或 a≤-4.(14 分) 3 n 11.(16 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=p +q(p≠0,且 p≠1),求证:数列{an}为等 比数列的充要条件为 q=-1. 证明 充分性:当 q=-1 时, a1=S1=p+q=p-1.(2 分) n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p (p-1). 当 n=1 时成立.(5 分) an+1 pn?p-1? 于是 = =p(n∈N+), an pn-1?p-1? 即数列{an}为等比数列.(7 分) 必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q. n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p (p-1). ∵p≠0,p≠1, an+1 pn?p-1? ∴ = =p.(13 分) an pn-1?p-1? ∵{an}为等比数列, a2 an+1 p?p-1? ∴ = =p, =p, a1 an p+q 即 p-1=p+q.∴q=-1.(15 分) 综上所述,q=-1 是数列{an}为等比数列的充要条件.(16 分)

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