北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》综合法


北师大版高中数学选修2-2第一 章《推理与证明》

§2综合法与分析法
综合法
法门高中姚连省制作
1

一、教学目标:结合已经学过的数 学实例,了解直接证明的基本方法 之一:综合法;了解综合法的思考 过程、特点。 二、教学重点:了解综合法的思考 过程、特点;难点:综合法的思考 过程、特点。 三、教学方法:探析归纳,讲练结 合 四、 教学过程

2

复习
推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳
(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 3 情推理.

引例:四边形ABCD是平行四边形,
求证:AB=CD,BC=DA
B A
1 4 3 2

D

C

证 连结AC,因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB//CD,BC//DA 故?1 ? ?2,?3 ? ?4 又AC=CA 所以?ABC ? ?CDA 故 AB=CD,BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证 明方法称为直接证明,其一般形式为: 本题条件 已知定义 … 本题结论 已知公理 已知定理

4

例1:求证 周期。



? 是函数

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
4

) 的一个

? 是函数 ∴由函数周期的定义可知: ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) 的一个周期。 4 例2:(韦达定理)已知 x1和 x2是一元二次方程

?? ? ? ? ? f ( x ? ? ) ? sin 2 ( x ? ? ) ? ? sin( 2 x ? 2 ? ? ) ? sin( 2 x ? ) ? f ( x) ? ? 证明: 4? 4 4 ?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0, b ? 4ac ? 0)
2


2

的两个根。求证:

b c x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? a a
5

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac x1 ? , x2 ? ; 证明:由题意可知: 2a 2a

? b ? b ? 4ac ? b ? b ? 4ac b x1 ? x2 ? ? ?? , 2a 2a a
2 2

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac b 2 ? (b 2 ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2 ? . 2 2a 2a a 4a 4a

例3:已知:x,y,z为互不相等的实数,且

1 1 1 2 2 2 x ? ? y ? ? z ? , 求证: x y z ? 1. y z x
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证明:根据条件

1 1 y?z x? y ? ? ? . z y yz
x? y

1 1 x? ? y? , y z

可得

又由x,y,z为互不相等的实数,所以上式可 变形为 yz ? y ? z . 同理可得

x? y xy ? , z?x
2 2 2

y?z x? y z?x x y z ? ? 1. x? y z?x y?z

z?x zx ? , 所以 y?z

7

例4、已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

证明:因为b2+c2

≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
练:已知a、b、c为不全相等的正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: + + > 3. a b c
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从已知条件出发,以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为 止,这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q 2
Q2 ? Q3



Qn ? Q

特点:“由因导果”
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练习:在△ABC中,三个内角A、B、C对 应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等 差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
0 A ? C ? 2 B ? B ? 60 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?

由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ? ac

怎样把边,角联系起来?

余弦定理 : b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
文字语言 学会语言转换

找出隐含条件

图形语言

符号语言

10

a, b, c的倒数成等差数列,求证: ?B ? 90? 例5、△ABC三边长
证明:

cos B ?

.

2ac ? b 2 ? 2ac b2 ? 1? 2ac

a 2 ? c 2 ?b 2 2 ac

因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
b 1? ?0 a?c

b2 ? 1? b(a ? c) b ? 1? a?c

所以 因此

cosB>0
?B ? 90?
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小结:
综合法的定义和特点

从已知条件出发,以已知定义、公理、定理 等为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论 为止,这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 综合法的特点是:从已知看可知,逐步推向 未知,其逐步推理,实际上是寻找它的必要 条件。

布置作业:课本习题1-2 2,3。课本练习 五、教后反思:

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