不等式的证明(含答案)


不等式的证明方法总结
一.比较法(作差比较,作商比较) 例 1.已知 x<y<0,求证(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 证明:∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y)>0 ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 例 2.已知 a>b>c,求证 a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 证明:∵(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2) =a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c) =(b-c)(a2-ac-ab+bc) =(b-c)[a(a-c)-b(a-c)] =(a-b)(a-c)(b-c)>0 ∴a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 例 3.已知 a,b>0,a≠b,求证 aabb>abba. 证明:
a a bb a ? a a ? b b b ? a ? ( )a ? b . b a a b b

a ? 1 ∴上式>1; b a 当 b>a>0 时, a-b<0,0< ? 1 ∴上式>1; b ∴aabb>abba. (注意:作差法,比较差与 0 的大小;作商法,比较商与 1 的大小.) 二.综合法 bc ca ab ?a?b?c. 例 4.已知 a,b,c>0,求证 ? ? a b c

当 a>b>0 时, a-b>0,

证明:∵ 同理

bc ca bc ca ? ?2 ? ? 2c , a b a b

ca ab ? ? 2a , b c ab bc ? ? 2b , c a bc ca ab ∴ 2( ? ? ) ? 2(a ? b ? c) , a b c bc ca ab ?a?b?c. 即 ? ? a b c 1 1 1 例 5.已知 a,b,c>0,a+b+c=1,求证 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 . a b c 1 1 1 证明: ( ? 1)( ? 1)( ? 1) a b c 1? a 1? b 1? c ? ? = a b c

=
?

b?c a?c a?b ? ? a b c

2 bc 2 ac 2 ab ? ? a b c

=8 三.分析法 例 6.已知 a≥3,求证 a ? a ? 1 ? a ? 2 ? a ? 3 . 证明:要证原式,只需证 a ? a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 , 即证 ( a ? a ? 3) 2 ? ( a ? 1 ? a ? 2 ) 2 即证 2a ? 3 ? 2 a(a ? 3) ? 2a ? 3 ? 2 (a ? 1)(a ? 2) 即证 a(a ? 3) ? (a ? 1)(a ? 2) 即证 a2-3a≤a2-3a+2 即证 0≤2 因为上式成立,所以原式也成立. 四.换元法
a2 b2 ? (a ? b ) 2 . 例 7.已知 0<x<1,a,b>0,求证 ? x 1? x

证明:方法一.令 x=sin α ,则 1-x=cos α .
a2 b2 ? x 1? x

2

2

=a2csc2α +b2sec2α =a2(1+cot2α )+b2(1+tan2α ) =a2+b2+a2cot2α +b2tan2α ≥a2+b2+2acotα ·btanα =(a+b)2
2 2 2 2 2 2 方法二. a ? b ? ( a ? b )[x ? (1 ? x)] ? a 2 ? b 2 ? a (1 ? x) ? b x ? (a ? b) 2 .

x

1? x

x

1? x

x

1? x

五.放缩法
a b c d ? ? ? ? 2. a?b?d b?c?a c?d?b d?a?c a b c d ? ? ? 证明: a?b?d b?c?a c?d?b d?a?c a b c d ? ? ? ?1; > a?b?d?c b?c?a?d c?d?b?a d?a?c?b a b c d ? ? ? a?b?d b?c?a c?d?b d?a?c a b c d ? ? ? ? 2. < a?b b?a c?d d?c

例 8.已知 a,b,c,d>0,求证 1 ?

例 9.求证

n (n ? 1) n (n ? 2) ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n (n ? 1) ? , (n ? N ? ) . 2 2

证明: 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) > 1?1 ? 2 ? 2 ? ? ? n ? n =1+2+…+n n ( n ? 1) = ; 2

1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1)
1? 2 2 ? 3 n (n ? 1) ? ??? 2 2 2 1 = [(1 ? 2 ? ? ? n ) ? (2 ? 3 ? ? ? (n ? 1))] 2 1 n (n ? 1) n (n ? 3) ? ] = [ 2 2 2 n ( n ? 2) = . 2

<

练 1.已知 x,y>0,求证
1 2

x?y x y ? ? . 1? x ? y 1? x 1? y 1 3 ??? 1 n ?2 n.

练 2.求证 n ? 1 ? 练 3.求证 1 ?

?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 . 2 2 3 n

六.反证法 例 10.已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2. 证明:假设 p+q>2, 则(p+q)3>23, 即 p3+3p2q+3pq2+q3>8, 即 p2q+pq2>2, 即 p2q+pq2>p3+q3, 即 pq(p+q)>(p+q)(p2-pq+q2), 即 pq>p2-pq+q2, 即 p2 +q2<2pq,与 p2 +q2>2pq 矛盾,所以 p+q≤2. 例 11.已知 f(x)=x2+px+q,求证 ⑴f(3)+f(1)-2f(2)=2; ⑵|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 0.5. 证明:⑴f(3)+f(1)-2f(2)=(9+3p+q)+(1+p+q)-2(4+2p+q)=2; ⑵假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|<0.5, 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2, 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|=2,矛盾. 所以|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 0.5. 七.判别式法

例 12.已知 a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 证明:当 a=b=0 时,上式显然成立; 当 a,b 不全为 0 时, 因为关于 x 的不等式(ax-c)2+(bx-d)2≥0 恒成立, 即(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2)≥0 恒成立, 由△≤0,即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 综上所述(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 八.构造向量 例 13.已知 a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 证明:设向量 x =(a,b), y =(c,d). ∵ x?y ? x ? y , ∴|ac+bd|≤ a 2 ? b2 ? c2 ? d2 , 平方即得(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 九.构造函数 例 14.已知△ABC 的三边长是 a,b,c,且 m>0,求证 证明:令函数 f(x)=
a b c ? ? . a?m b?m c?m

x , ( x ? 0). x?m x?m?m m ?1? , 知 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 由 f(x)= x?m x?m ∵a+b>c ∴f(a+b)>f(c) a b a b a?b c ? ? ? ? ? f ( a ? b ) ? f ( c) ? ∴ ,得证. a?m b?m a?b?m a?b?m a?b?m c?m 例 15.已知 b>a>e,求证 ab>ba. ln x , ( x ? e) , 证明:令 f ( x ) ? x 1 ? ln x ? f ' (x) ? ? 0, x2 ∴f(x)在(e,+∞)上是减函数. ∵b>a>e, ∴f(b)<f(a),

即 ln b ? ln a ,
b a

∴alnb<blna, ∴lnba<lnab, ∴ab>ba.


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