平面的基本性质及推论 一、二


平面的基本性质及推论 一
教学目标:理解公理 1、2、3 的内容及应用 教学重点:理解公理 1、2、3 的内容及应用 教学过程: (一) 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点 A 在直线上,记作 A ? a , 点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? , 直线 a 在平面 ? 内,记作 a ? ? (二) 公理二:如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他公共点 ,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作 ??? ?l. (三) 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (四) 问题: (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习:教材第 40 页 练习 A、B 小结: 本节课应了解:1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业:略

平面的基本性质及推论 二
教学目标:理解推论 1、2、3 的内容及应用 教学重点:理解推论 1、2、3 的内容及应用 教学过程:

(五) 推论 1:直线及其外一点确定一个平面 (六) 推论 2:两相交直线确定一个平面 (七) 推论 3:两平行直线确定一个平面 (四)例 1 已知:空间四点 A 、 B 、 C 、 D 不在同一平面内. 求证: AB 和 CD 既不平行也不相交. 证明:假设 AB 和 CD 平行或相交,则 AB 和 CD 可确定一个平面 ? ,则 AB ? ? , CD ? ? ,故 A ? ? , B ? ? , C ? ? , D ? ? .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即 AB 和 CD 既不平行也不相交. 卡片:1、反证法的基本步骤:假设、归谬、结论; 2、归谬的方式:与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾. 例 2 已知:平面 ? ? 平面 ? = a ,平面 ? ? 平面 ? = b ,平面 ? ? 平面 ? = c 且 a、b、c 不重合. 求证: a、b、c 交于一点或两两平行. 证明:(1)若三直线中有两条相交,不妨设 a 、 b 交于 A . 因为, a ? ? ,故 A ? ? , 同理, A ? ? , 故 A? c. 所以 a、b、c 交于一点. (2)若三条直线没有两条相交的情况,则这三条直线两两平行. 综上所述,命题得证. 例 3 已知 ?ABC 在平面 ? 外, 它的三边所在的直线分别交平面 P、Q、R . 求证: P、Q、R 三点共线.

A C B
? 于

R 证明:设 ?ABC 所在的平面为 ? ,则 P、Q、R 为平面 ? 与平 面 ? Q ? P 的公共点, 所以 P、Q、R 三点共线. 卡片:在立体几何中证明点共线,线共点等问题时经常要用到公理2. A1 B1、BB1、BC 的 例 4 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F、G、H、K、L 分别是 DC、DD1、A1 D1、 中点. 求证:这六点共面. A1 G D1 证明:连结 BD 和 KF , H 因为 E 、 L 是 CD 、 CB 的中点, 所以 EL // BD . B1 C1 又 矩形 BDD1 B1 中 KF // BD , F
所以 KF // EL , 所以 KF 、EL 可确定平面 ? , 所以 E、F、K、L 共 面? , 同理 EH // KL , 故 E、H、K、L 共面 ? . 又 平面 ? 与 平面 ? 都 经 过不共 线的 三点

K A E B L C
E、K、L ,

D

故 平面 ? 与平面 ? 重合,所以 E、F、G、H、K、L 共面于平面 ? . 同理可证 G ? ? , 所以,E、F、G、H、K、L 六点共面. 卡片:证明共面问题常有如下两个方法: (1)接法:先确定一个平面,再证明其余元素均在这个平面上; (2)间接法:先证明这些元素分别在几个平面上,再证明这些平面重合. 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确 (1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面. ( (2)经过一点的两条直线确定一个平面. (

) )

(3)经过一点的三条直线确定一个平面. ( ) (4)平面 ? 和平面 ? 交于不共线的三点 A、B、 C . ( ) (5)矩形是平面图形. ( ) 2.空间中的四点,无三点共线是四点共面的 条件. 3.空间四个平面两两相交,其交线条数为 . 4.空间四个平面把空间最多分为 部分. 5.空间五个点最多可确定 个平面. 6.命题“平面 ? 、 ? 相交于经过点 M 的直线 a”可用符号语言表述为 . 7.梯形 ABCD 中,AB∥CD,直线 AB、BC、CD、DA 分别与平面 ? 交于点 E、G、F、H.那么一定有 G 直 线 EF,H 直线 EF. 8.求证:三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结: 本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用 课后作业:略


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