2014高中数学 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1


抛物线的简单几何性质 课前预习学案
一、 预习目标 回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程,预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何 性质 二、 预习内容 1、 复习回顾 (1) 抛物线定义 叫作抛物线; 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线 (2)抛物线的标准方程
y
y

y

l y Pl M

y O F

A
x

图形

O

F

x

F

O

x

F O l

x

O Q B

F

x

l

l

方程 焦点 准线 ①相同点 ; ②不同点 ; (3)回顾练习 2 ①已知抛物线 y =2px 的焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的弦与抛物线交于 A、B 两点,过 A、 B 分别作 AP⊥l,BQ⊥l,M 为 PQ 的中点,求证:MF⊥AB ②在抛物线 y =2x 上方有一点 M(3,
2

图①

10 ) ,P 在抛物线上运动,|PM|=d1,P 到准线的距离为 3

d2,求当 d1 +d2 最小时,P 的坐标。
2、预习新知 (1)根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质 ①范围 : ②对称性: ③顶点: ④离心率: (2)自我检测: 1.已知点 F (?

; ; ; ;

1 1 , 0) ,直线 l : x ? ,点 B 是直线 l 上的动点,若过 B 垂直于 y 轴的直线 4 4 BF M 与线段 的垂直平分线交于点 ,则点 M 所在曲线是( )

( A) 圆

( B ) 椭圆

(C ) 双曲 线

( D) 抛物线

1

2.设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,以 P ( ,0) 为圆心, PF 长为半径作一圆,与抛物线在 x 轴上方交于 M , N ,则 | MF | ? | NF | 的值为 ( )

9 2

( A) 8

( B ) 18

(C ) 2 2

( D) 4
. .

3.过点 (?3, ?1) 的抛物线的标准方程是 焦点在 x ? y ? 1 ? 0 上的抛物线的标准方程是

4. 抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F , 在抛物线上找一点 M , 当| M A(4, ?2) 为一定点, A | |? M F| 为最小时,则 M 点的坐标 标 三、提出疑惑 . ,当 || MA | ? | MF ||为最大时,则 M 点的坐

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑 ,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线 图形; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 二、学习过程 1、定义 ; 2、标准方程 ; 3、几何性质 ①范围 : ; ②对称性: ; ③顶点: ; ④离心率: ; 4、完成下表 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

2

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
y

?0,0?

x??

p 2

e ?1

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

e ?1

l

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

?0,0?

y??

p 2

e ?1

?0,0?

y轴

e ?1

思考问题:抛物线是双曲线的一支吗?为什么? 5、分析例题 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,?2 2 ) ,求它 的标准方程,并用描点法画出图形. 例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的 直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.
y

例 3 过抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m,交这抛物
2

C H D E F A

B O

线于 A、B 两点, 求证:以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切. 例 4. 已知抛物线 x2 ? 4 y 与圆 x2 ? y 2 ? 32 相交于 A, B 两 点,圆与 y 轴正半轴交于 C 点,直线 l 是圆的切线,交抛物线 与 M , N ,并且切点在 ACB 上.

x

(1)求 A, B, C 三点的坐标. (2)当 M , N 两点到抛物线焦点距离和最大时,求直线 l 的方程. 课后练习与提高 1 . 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两 点 , 如 果
2

x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | =( B )
3

(A)10

(B)8

(C)6

(D)4

2 . 已 知 M 为 抛 物 线 y 2 ? 4 x 上 一 动 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 定 点 P?3 , 1? , 则

| MP | ? | MF | 的最小值为( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 3.过抛物线 y ? ax2 ?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、Q 两点,若线段 PF 、QF 的 长分别是 p 、 q ,则

1 1 ? =( C ) p q
1 2a
(C) 4 a (D)

(A) 2 a

(B)

4 a

4.过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案: y 2 ? 2?x ? 1? )

5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y 2 ? x 上移动, 求 AB 中点 M 到 y 轴距离的 最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标 (答案: M ?
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?5 2? ? ?4 , ? 2 ? ? ?

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 ) 4

6.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图. (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 8. (2)顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P(4,2)点. (3)顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 P(m,-3)到焦点距离为 5. 7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影是 A2,B2,则 ∠A2FB2 等于 8.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,求抛物线方 程. 9.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆 5

在准线所得的弦长. 10.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米时,水面宽 是多少米?

4

抛物线的简单几何性质 教学目的: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线 图形; 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化
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教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: “抛物线的简单几何性质” 是课本第八章最后一节, 它在全章占有重要的地位和作用 本 节知识在生产、生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须掌握的内容,还是将来大 学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题,本节一如前面各节一样起着相当重 要的作用 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样,按范围、对称性、顶点、 离心率顺序来研究,完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐 标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量如果为 x (或 y ) , 则 x 轴(或 y 轴)是抛物线的对称轴,一次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的 标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数 p
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本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、 例 1、例 2、及其它例题;第二课时主要内容焦半径公式、通径、例 3 教学过程:
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一、复习引入: 1.抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛
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y

y

y
l

y O F

图 形
l

x

O

F

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2 p x?? 2
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y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2 p x? 2
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x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 2.抛物线的标准方程: 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与

5

焦点在对称轴上关于原点对称

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它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 ,即 4

2p p ? 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端 为 y2 ; 图形关于 Y 轴对称时, X 为二次项, Y 为一次项, 方程右端为 ? 2 py , 左端为 x
2
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(2)

开口方向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号; 开口在 X 轴(或 Y 轴)负向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号 二、讲解新课: 抛物线的几何性质 1.范围
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因为 p>0,由方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不 等式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向 右上方和右下方无限延伸. 2.对称性 以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线 的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中, 当 y=0 时, x=0, 因此抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点.
2

4.离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比, 叫做抛物线的离心率, 用 e 表示. 由抛物线的定义可知,e=1. 对于其它几种形式的方程,列表如下: 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
l

O

F

x

?0,0?

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

e ?1

y

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

e ?1

l

6

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

e ?1

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

e ?1

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线 通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异, 当抛物线上的点趋向于无穷远 时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率,也 就是说接近于和对称轴 所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附:抛物线不存在渐近线的证明. (反证法) y 2 A0 假设抛物线 y =2px 存在渐近线 y=mx+n, A (x, y)为抛 A 物线上一点, A0 (x, y1) 为渐近线上与 A 横坐标相同的点如图,
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O

x

则有 y ? ? 2 px 和 y1=mx+n. ∴ y1 ? y ? m x ? n ?

2 px

? x ? m?

n 2p ? x x

当 m≠0 时,若 x→+∞,则 y1 ? y ? ?? 当 m=0 时, y1 ? y ? n ?
2

2 px ,当 x→+∞,则 y1 ? y ? ??

这与 y=mx+n 是抛物线 y =2px 的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线 三、讲解范例: 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,?2 2 ) ,求它 的标准方程,并用描点法画出图形. 分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数 p. 解:由题意,可设抛物线方程为 y ? 2 px ,因为它过点 M (2,?2 2 ) ,
2

所以

(?2 2 ) 2 ? 2 p ? 2 ,即 p ? 2
2

因此,所求的抛物线方程为 y ? 4 x . 将已知方程变形为 y ? ?2 x ,根据 y ? 2 x 计算 抛 物线在 x ? 0 的范围内几个点的坐标,

7



x y

0 0

1 2

2 2.8

3 3.5

4 4
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? ?

描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分 点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也 向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛 物线没有渐近线. 例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的 直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置. 分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物 线上一点坐标,从而求出 p 值. 解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶 点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径. 设抛物线的标准方程是 y 2 ? 2 px (p>0). 由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30),代入方程,得 302 ? 2 p ? 40, 即

p?

45 4
2

45 x. 所求的抛物线标准方程为 y ? 2
例 3 过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m,交这

y

C H E F

B O

x

D A 抛物线于 A、B 两点, 求证:以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切. 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. 证明:如图.设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别向准线 l 引垂线 AD,EH,BC,垂足为 D、H、 C,则 |AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH| 所以 EH 是以 AB 为直径的圆 E 的半径,且 EH⊥l,因而圆 E 和准线 l 相切. 四、课堂练习:
1 . 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | =( B )
(A)10 (B)8 (C)6 (D)4
2 2 . 已 知 M 为 抛 物 线 y ? 4 x 上 一 动 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 定 点 P?3 , 1? , 则

| MP | ? | MF | 的最小值为( B )
(A)3 3.过抛物线 y ? ax
2

(B)4

(C)5

(D)6

?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、Q 两点,若线段 PF 、QF 的
8

长分别是 p 、 q ,则

1 1 ? =( C ) p q
1 2a
(C) 4 a (D)

(A) 2 a

(B)

4 a

4.过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案: y 2 ? 2?x ? 1? )

5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y 2 ? x 上移动, 求 AB 中点 M 到 y 轴距离的 最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标 (答案: M ?
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?5 2? ? ?4 , ? 2 ? ? ?

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 ) 4
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五、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 六、课后作业: 1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图. (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 8. (2)顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P(4,2)点. (3)顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 P(m,-3)到焦点距离为 5. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影是 A2,B2,则 ∠A2FB2 等于 3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,求抛物线方 程. 4.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆 5

在准线所得的弦长. 5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米时,水面宽 是 多少米? 习题答案: 2 2 2 1. (1)y =±32x (2)x =8y (3)x =-8y 2.90° 2 3.x =±16 y 4. 4 5 5. 20 5 米

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七、板书设计(略) 八、课后记:
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