四川省2014届高三“联测促改”数学(理)试题 Word版含答案


四川省 2014 年“联测促改”活动数学(理工类)
一、选择题: 1.集合 A ? {x ? ? ? x ? 4}, B ? {x ? x ? 3} ,则 A ? B ? A. [2, 4) 【答案】 :C B. [3, ??) C. [3, 4) D. [2,3)

5 的共扼复数是 i?2 A. 2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i 【答案】 :B 1 1 3.“ a ? b ”是“ ? ”成立的 a b
2.复数

D. ?2 ? i

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件 【答案】 :D 4.编号为 1,2,3,4,5,6 的六个同学排成一排,3、4 号两位同学相邻,不同的排法 A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 【答案】 :C 5.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 4,则 AD ? AC ? A.2 B.4 【答案】 :D C.6 D.8

???? ??? ?

6.设 a,b 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是 A. 若 a∥ α,α⊥ β,则 a∥ β C. 若 a∥ α,b∥ α,则 a∥ b 【答案】 :B B. 若 a∥ b,a∥ β,则 b⊥ α D. 若 a⊥ b,a∥ α,则 b⊥α

7.函数 f ( x) ? lg( x2 ? 1) ? cos x 的零点个数为 A.1 B.2 【答案】 :B C.3 D.4

1 3 8.某算法程序框图如图所示,若 a ? , b ? 33 , c ? log 2 3 ,则输出的结果是 2

开始 输入a,b,c 是

a ≥b ?
否 否



a≥c?
是 输出a

b≥c?
是 输出b

输出c 结束

1

a?b?c 3 【答案】 :D
A.

B. a

C. b

D. c

9.已知△ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2sin C 的大小为 A. 30° B. 60° 【答案】 :B C. 90° D. 120°

1 C .若△ ABC 的面积为 sin C ,则角 6

10.过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点, 分别过 A,B 作抛物线的切线 l1 , l2 , 则 l1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是 A. y ? ?1 【答案】 :A 二、填空题: 11.二项式 ( x ? B. y ? ?2 C. y ? x ? 1 D. y ? ? x ? 1

1 6 ) 的展开式中的常数项是 x

【答案】 :15 12. 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为

正视图

侧视图

俯视图

【答案】 :

3? 2

13.已知 a,b 是正数,且 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的最小值为 【答案】 :9 14.过双曲线 x ?
2

y2 ? 1的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若满足 ? AB ?? ? 的直线 l 2

共有 3 条,则实数 ? ? 【答案】 :4 15. 在 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 两 点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为

d (P, Q) ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? 。现有下列命题:
① 已知 P (1,3),Q( sin
2

? ,cos2 ? ) ( ? ? R ),则 d(P,Q)为定值;
2

② 原点 O 到直线 x ? y ? 1 ? 0 上任一点 P 的直角距离 d (O, P)的最小值为

2 ; 2

③ 若 ? PQ ? 表示 P、Q 两点间的距离,那么 ? PQ ??

2 d ( P, Q ) ; 2

④ 设 A(x,y)且 x ? Z , y ? Z ,若点 A 是在过 P (1,3)与 Q(5,7)的直线上,且点 A 到点 P 与 Q 的 “直角距离”之和等于 8,那么满足条件的点 A 只有 5 个. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 【答案】 :① ③ ④ 三、解答题: 16.(12 分)为了解某校学生参加某项测试的情况,从该校学生中随机抽取了 6 位同学,这 6 位同学的成绩(分数)如茎叶图所示. ⑴ 求这 6 位同学成绩的平均数和标准差; ⑵ 从这 6 位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况,设 ? 为这两位同学中成绩低于 平均分的人数,求 ? 的分布列和期望.

7 8 9

学生成绩 6 6 8 8 2 6

【解析】 :⑴ 这 6 位同学的成绩平均效为 x ?
2

1 6 ? xn ? 81 6 n ?1

1 6 1 又 s ? ? ( xn ? x) ? (52 ? 52 ? 32 ? 32 ? 12 ? 152 ) ? 49 6 n?1 6
2

故这 6 位问学成绩的标准差为 s=7……………….6 分 ⑵ 随机变量 ? 可能的取值为 0,1,2,则

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C2 C4 C2 8 C4 1 6 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

故 ? 的分布列为

?
P

0
1 15

1
8 15

2
6 15

E (? ) ? 0 ?

1 8 6 4 ? 1? ? 2 ? ? 15 15 15 3

3

即 ? 的数学期望

4 ………………12 分 3
1 3 改选 B 菜;而选 B 菜的, 下星期一会有 改选 A 5 10

17.( 12 分)学校餐厅每天供应 500 名学生用餐, 每星期一有 A, B 两种菜可供选择。 调查表明, 凡是在这星期一选 A 菜的, 下星期一会有

菜。用 an , bn 分别表示第 n 个星期选 A 的人数和选 B 的人数. ⑴ 试用 an?1 (n ? N*, n ? 2) 表示 an ,判断数列 {an ? 300} 是否成等比数列并说明理由; ⑵ 若第一个星期一选 A 神菜的有 200 人,那么第 10 个星期一选 A 种菜的大约有多少人? 【解析】 :⑴ 由题知,对 n ? N * 有 bn ? 500 ? an ,

所以当 n ? N * 且 n ? 2 时, 4 3 1 1 an ? an ?1 ? (500 ? an ?1 ) ? an ? an ?1 ? 250 ? an ? 300 ? (an ?1 ? 300) 5 10 2 2 ∴ 当 a1 ? 300 时,{ an ? 300 }不是等比数列;当 a1 ? 300 时,{ an ? 300 }是以 a1 ? 300 1 为首项, 为公比的等比数列……………(7 分) 2 ⑵ 当 a1 ? 200 时, 1 100 100 an ? 300 ? ( ) n ?1 (a1 ? 300) ? an ? 300 ? n ?1 ? a10 ? 300 ? 9 ? 300 2 2 2 ∴ 第 10 个星期一选 A 种菜的大约有 300 人。…………..12 分 ? ? ? ? 18. (12 分)已知向量 a ? (m, n), b ? (cos x,sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 2 .
⑴ 设 m ? n ? 1,x 为某三角形的内角,求 f ( x) ? ?1 时 x 的值; ⑵ 设 m ? 4, n ? 3 ,当函数 f ( x ) 取最大值时,求 cos2x 的值。 【解析】 :由题可知, f ( x) ? n sin x ? m cos x ? 2 ,

⑴ 当 m ? n ? 1时, f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 ,

? ∵ f ( x) ? ?1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1 4

? 2 ∴sin( x ? ) ? 4 2
∵x 为三角形的内角,∴x ?

?
4

?

3? ? ? x ? ……………….5 分 4 2

⑵ 当 m ? 4, n ? 3 时, f ( x) ? 3sin x ? 4cos x ? 2 ? 5sin( x ? ? ) ? 2 ,其中 ? 为锐角,且
3 4 cos ? ? ,sin ? ? , 5 5

? 当且仅当 sin( x ? ) ? 1 时,函数 f ( x)max ? 3 。 6
4

此时 x ? ? ? 2k? ?

?
2

( k ? Z ) ? x ? 2k? ?
? ? ) ? sin ? ?

?
2

? ? (k ? Z )

∴cos x ? cos(2k? ?

?
2

4 7 ,则 cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? ...12 5 25

分 19. (12 分 ) 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 中 , PB⊥平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 1 形,∠ ABC=∠ BCD=90° ,PB=BC=CD= AB。Q 是 PC 上的一点,且 PA∥ 平面 QBD. 2
⑴ 确定 Q 的位置; ⑵ 求二面角 Q-BD-C 的平面角的余弦值。

P Q D A B C

【解析】 :⑴ 当 PQ ? 2QC 时,PA∥ 平面 QBD,证明如下: 连结 AC 交 BD 于点 M, ∵ 2CD=AB,CD∥ AB,∴ AM=2MC 过 PA 的平面 PAC ? 平面 QBD=MQ, ∵ PA∥ 平面 QBD,∴ AP∥ MQ,∴ PQ=2QC.…………………4 分 ⑵ 设 BC=1, 如图, 以 B 为坐标原点, 以 BC,BA,BP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 O- xyz(其 中点 B 与点 O 重合),则 C(1,0,0),A(0,2,0),D(1,1,0),P(0,0,1). ∵ PQ=2QC,∴Q( , 0, ) ? BQ ? ( , 0, ), DQ ? ( ? , ?1, ) 设平而 QBD 的一个法向量为 n1 ? ( x , y , z1 ) , 1 1

2 3

1 3

??? ?

??

2 3

1 ???? 3

1 3

1 3

1 ?2 ?? ??? ? x1 ? z1 ? 0 ? ? ? n1 ? BQ ? 0 ? 3 3 ???? ?? 则 ? ?? ? ?n1 ? DQ ? 0 ?? 1 x ? y ? 1 z ? 0 1 1 ? 3 ? 3 1
取 x ? 1 ? n1 ? (1, ?1, ?2) 。 1

??

5

又平面 CBD 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) 设二面角 Q-BD-C 的平面角为 ? ,又 ? 为锐角

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 ? 6 ? ? ∴cos ? ?? cos ? n1 , n2 ??? ?? ?? ? n1 ? ? ? n2 ? 3
∴ 二面角 Q-BD-C 的平面角的余弦值

6 。………………12 分 3

x2 y 2 3 20.(13 分)巳知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 。 a b 2
⑴ 若点 P(2,1)在椭圆上,求椭圆的方程; ⑵ 若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 C(2,0)关于直线 l 的对称点在椭圆上,求椭圆的焦距的取 值范围. 【解析】 :⑴e ?

3 b2 x2 y 2 ? 1 ? 2 ? a ? 2b, c ? 3b ? 2 ? 2 ? 1 , 2 a 4b b

22 12 x2 y 2 2 ? ? 1 ……………5 分 ∵ 点 P(2,1)在椭圆上,∴ 2 ? 2 ? 1 ? b ? 2 ? 4b b 8 2

⑵ 依题意,直线 l 的斜率存在且不为 0,则直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) . 设点 C(2, 0)关于直线 l 的对称点为 C '( x0 , y0 ) ,则

x ?2 ? y0 2 ? k( 0 ? 1) ? x0 ? 2 ? ? 2 ?2 ? k ?1 ?? ? y ? 0 ? k ? ?1 ? y ? 2k ? 0 k 2 ?1 ? x0 ? 2 ? ?
若点 C '( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 ? ? 1 上,则 4b 2 b 2

(

2 2 2k ) ( 2 )2 k ? 1 ? k ? 1 ? 1 ? b2 k 4 ? (2b2 ? 4)k 2 ? (b2 ? 1) ? 0 4b2 b2
2

设 k 2 ? t ,因此原问题转化为关于 t 的方程 b2t 2 ? (2b2 ? 4)t ? (b2 ?1) ? 0 有正根. ① 当 b2 ? 1 ? 0 ? 0 ? b2 ? 1 时,方程一定有正根;

?(2b2 ? 4)2 ? 4b2 (b2 ? 1) ? 0 4 ② 当 b2 ? 1 ? 0 ? b2 ? 1 时,则有 ? 2 ? b2 ? 3 ?2b ? 4 ? 0

6

∴ 综上得 0 ? b ?

2 3 . 3

又椭圆的焦距为 2c ? 2 3b ? 0 ? 2c ? 4 . 故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]………………………13 分 21.(14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . 1 ⑴ 求函数 f ( x ) 在 x ? ? 处的切线方程; 2 x ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ; ⑵ 当 x1 ? x2 ? ?1时,求证: f ( 1 2 2 2 ⑶ 若 k ? R ,且 xf ( x ? 1) ? x ? k ( x ? 1) ? 0 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。 1 ?x ?1 ? 【解析】 :⑴ f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? f '( x) ? x ?1 x ?1 ?x 1 1 ∴ 故切线斜率 k ? ? 1 ? 1, f (? ) ? ? ln 2 x ? 1 x ?? 2 2 2 1 1 ∴ 所切线方程: y ? ( ? ln 2) ? x ? ? x ? y ? 1 ? ln 2 ? 0 。………….3 分 2 2
⑵ 由题可知:

f(

x1 ? x2 2

x ? x2 x ? x2 ln( x1 ? 1) ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? [(ln 1 ? 1) ? 1 ] ?[ ] 2 2 2 2 ? ln ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

? ln

x1 ? x 2 ? 2 2

∵x1 ? x2 ? ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 0 ∴

x1 ? x 2 ? 2 2

?

( x1 ? 1)( x 2 ? 1) 2

? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) x1 ? x 2 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 。………8 分 2

∴ln

x1 ? x2 ? 2 2

? ln ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ? f (

xf ( x ? 1) ? x 2 x ln x ? x x ? ln x ? 2 ⑶ 令 g ( x) ? ? ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 x ?1 ( x ? 1)2
令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ?

x ?1 ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 x

∵h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0, ∴ 所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ;
7

当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; ∴g ( x) 在 x ? (1, x0 ) 时单调递减;在 x ? ( x0 , ??) 时,单调递增; ∴[ g ( x) min ] ? g ( x0 ) ?

x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1

由题意 k ? [ g ( x)]min ? x0 ,又因为 k ? Z ,所以 k 的最大值是 3。………………14 分

8


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