思南县许家坝中学高中数学《等比数列前n项和》


§ 2.5.1等比数列的前n项和

一、创设情境
数学小故事: 国际象棋起源于印度。 棋盘上共有8行8列构成64个格子。传说 国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有 什么要求,发明者说:“请在棋盘的第 1个格子里放上1颗麦粒,在棋盘的第2 个格子里放上2颗麦粒,在棋盘的第3个 格子里放上4颗麦粒,在棋盘的第4个格 国际象棋盘 子里放上8颗麦粒,以此类推,每个格 子里放的麦粒数都是前一个格子里放的 麦粒数的2倍,直到第64个格子。请给 我足够的粮食来实现上述要求。”

就在国王犹豫是否要答应发明者的 要求时,站在一旁一位将告老还乡的大 臣听后不满地说:“我跟陛下这么多年 战功卓著,请求陛下同样赏赐给我麦子, 在棋盘的第一格子里放上2颗麦粒,在 第2个格子里放上4颗麦粒,在第3个格 子里放上8颗麦粒,依次类推,每一个 格子放的麦粒数都是前一个格子里放的 麦粒数的2倍,直到放完64个格子为 止。”

问题探究:
1、发明者所需麦粒数的表达式为:

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2

63

2、大臣所需麦粒数的表达式为:

2S64 ? T64 ? 2 ? 22 ? 23 ?
3、如何简化 S 64?

?2

64

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2
2 3
2 3 63

63


64

2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2
由②-①得



S64=2 - 1

64

19 而 S64=264-= 1 18,446,744,073,709,551,615 ? 1.84 ?10

假定千粒麦子的质量为40克,那么发明者所要 的麦粒的总质量超过了7000亿吨,是全世界1000 多年的小麦总产量.因此,国王不能他们的要求.

练习:求和 S16 ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ?

?3

15


16

提示: 3S16 ? 3 ? 32 ? 33 ?

?3 ?3 ②
15

3 ?1 S16 ? 2
16

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ?
2

? a1q
? a1q
n

n?1



qSn ? a1q ? a1q ?
2

n?1

? a1q ②
n

由①-②得

(1-q)Sn ? 1 ? q
n

需要分类讨论!

(1)当q ? 1 时, Sn ? na1

等式两边能否同 除以(1-q)?

a (1q) 1 (2)当q ? 1时, Sn ? 1-q

(1)当q ? 1时, Sn ? na1
a (1q) 1 (2)当q ? 1时, Sn ? ① 1-q
n

因为 an ? a1q

n ?1

a1 -an q 或Sn ? ② 1-q
①; 若已知a1 , q, n则选用公式
②。 若已知a1 , q, an则选用公式

例题:求下列等比数列前n项的和:
1 (1)a1 ? , q ? 1, n ? 100; ? S100 ? 100a1 ? 100 1 ? 50. 2 2

3 1 ?2 ? (? ) a1 ? an q 21 1 3 4 3 ? ?? . (2)a1 ? ?2, q ? ? , an ? . ? Sn ? 1 1? q 16 3 4 1 ? (? ) 3

1 (3)a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 243

1640 ? S8 ? 81

练习2、
1 (1)在等比数列中已知 q ? , S5 ? 3 , 求 a1与 a5 . 2
(2)在等比数列中已知

a1 ? 2 , S3 ? 26 , 求 a3 与 q.

1 ? a ? a 1 5 ? 48 ? 2 a ? a q ? 3 ? a1 ? 1 5 ? ? S ? 1 ? 5 1? q ? ? 31 1 ? (1)提示:由 ? ?? ?? . 2 4 ?a ? a q ? ?a ? 3 5 ? 5 1 ? ?a ? a ( 1 ) 4 31 ? 5 1 ? ? 2

(2)在等比数列中已知

练习2、

a1 ? 2 , S3 ? 26 , 求 a3 与 q.
3 3

? a1 (1 ? q ) ? 2(1 ? q ) ? S3 ? ?26 ? 1? q 1? q ? ? 提示:由 ? ?a ? a q 2 ? a ? 2q 2 ? 3 ? 3 1

(1) (2)

由(1)化简得 q ? q ?12 ? 0
2

记得要分 类讨论!

解得,q ? ?4 或 q ? 3.

当q ? ?4时,a3 ? 2 (?4) ? 32.
2

当q ? 3时,a3 ? 2 3 ? 18.
2

四、课堂小结:
1.等比数列求和公式以及公式的应用;

当q ? 1时,S n ? n.a1 , 当q ? 1时, S n ?

a1 ?1 ? q n ?

1? q a1 ? an .q 或S n ? 1? q

2.思想方法:错位相减法.

五、布置作业
1、根据下列各题中的条件,求相应 的等比数列的前n项和 Sn .

1 1 (1)a1 ? 8, q ? , an ? ; 2 2 (2)a1 ? ?2.4, q ? ?1.5, n ? 5;
.

2、课本p61习题2.5 A组 1

3、求和Sn ? x ? x2 ? x3 ? xn

小资料:
1、 如果造一个仓库来放这些麦子,仓 库高4米,宽10米,那么仓库的长度就等 于地球到太阳的距离的两倍。
2、现在小麦的收购价格是2元/公斤,7000 亿吨小麦的价格是14000亿元.2010年黄 金价格大约为290元/克, 7000亿吨小麦的 价值大约能买500万千克黄金。


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