数列冲刺练习题(三)


数列冲刺练习题(三) 1.在正项等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a3 ? 4 , a4 a5a6 ? 12 , an?1an an?1 ? 324 ,则 n ? A. 11 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C
3 3 3 12 【解析】由 a1a2a3 ? 4 ? a1 q 与 a4a5a6 ? 12 ? a1 q 可 得 q9 ? 3 , 3 an?1 ? an ? an?1 ? a1 ? q3n?3 ? 324 ,因此 q3n?6 ? 81 ? 34 ? q36 ,所以 n ? 14 ,故选 C.

2.在等比数列 {an } 中,若 a3=-9,a7=-1,则 a5 的值等于( A.3 或-3 【答案】C B.3 C.-3

) D.不存在

【解析】 a52 ? a3a7 ? 9 ,∴ a5 ? ?3 ,又 a3 , a5 , a7 同号,∴ a5 ? ?3 ,答案为 C 3.等差数列{a n }中,如果 a1 ? a4 ? a7 =39 , a3 ? a6 ? a9 =27 ,数列{a n }前 9 项的和为 A. 297 【答案】C 【解析】由 a1 ? a4 ? a7 =39 ,得 3a4 =39,a4 =13 .由 a3 ? a6 ? a9 =27 ,德 3a6 =27,a6 =9 .所以 B. 144 C. 99 D. 66

S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9(a4 ? a6 ) 9 ? (13 ? 9) = = =9 ?11=99 ,选 C. 2 2 2
S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的项为 a1 a2 a15
a8

4.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则

A.

S6 a6

B. S 7
a7

C. S 9
a9

D. S 8

5.数列{an}的通项公式是 an= A.120 B.99

1 n ? n ?1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( D.121

)

C.11

6、在各项均不为零的等差数列 A. B.

中,若 C. D.

,则

( A



7、设 f(x)是定义在 R 上恒不为 0 的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y)=f(x+y), 若 a1= ,an=f(n)(n 为常数),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( A. [ ,2)
2



B. [ ,2]
3

C. [ ,1]

D. [ ,1)
4

解:f(2)=f (1),f(3)=f(1)f(2)=f (1),f(4)=f(1)f(3)=f (1), a1=f(1)= ,∴f(n)=( ) ,
n

∴Sn= 8、等差数列 则该数列前

=1﹣ 中有两项 项之和是(

∈[ ,1).答案:D 和 ) 满足 (其中 ,且 ),

A.

B.

C.

D.

【答案】B 因为

,所以



,所以

,所以 9.数列{ an } 中, an?1 ? (?1) an ? 2n ?1 ,则数列{ an }前 12 项和等于(
n

。 ) D.82

A.76 【答案】B

B.78
n

C. 80

【解析】 an?2 ? an ? (?1) (2n ?1) ? (2n ? 1) ,

取 n ? 1, 5, 9及 n ? 2, 6, 10 , 结果相加可得 S12 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

? a11 ? a12 ? 78 .故选 B.
,则 D. ( )

10、已知 A.

是等比数列, B.

, C.



C

解析:由



知 =

,而新的数列

仍为等比数 列,且公比为



.



=4×2=8,故 的前 n 项和为

(1- ,则下列命题:(1)若数列

). 是递增数列,则数列 也

11、若实数列

是递增数列;(2)数列 (3)若 (

是递增数列的充要条件是数列

的各项均为正数; 的充要条件是

)是等比数列,则 ) C.2 个 D.3 个

其中,正确命题的个数是( A.0 个 B.1 个 B 【解析】 (1) 若数列 是递减数列; (2)数列

是递增数列, 则数列

不一定是递增数列, 如当

时, 数列

是递增数列的充要条件是数列

的各项均为正数,错误。由数列

是递增数

列不能得出数列 满足数列 (3)若

的各项均为正数,例如 0,1,2,3,……,满足数列

是递增数列,但不能

的各项均为正数; 是等比数列,则 ;由 可得到数列 可得到数列 的公比为-1,所以可得 的公比为-1,故有

,因此此命题正确。因此答案选 B。

12、等差数列{an}的公差 d∈(0,1),且 前 n 项和 Sn 取得最小值,则首项 a1 的取值范围为( )

,当 n=10 时,数列{an}的

A.

B. [ ]

C. [﹣ ]

D.

解: sin(a2+a6)=sin2a4 于是 cos2a6﹣cos2a2=﹣2sin2a4﹣2sin(a6+a2)sin(a6﹣a2)=﹣2sin2a4.sin4d=1,0<d<1.于 是 d= . 因为数列{an}的前 10 项和 S10 取得最小值,于是 a10≤0 且 a11≥0a1+9d≤0,且 a1+10d≥0 得 .故选 C.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 的前 100 项 的和等于 . 2 2 3 3 3 4 4 4 4 191 【答案】 14 1 1 1 1 n( n ? 1) ? 100 , 所 以 【 解 析 】 S100 ? 1?1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? k ? , ( k ? n) , 又 由 2 3 4 n 2
13.[数列 1, , , , , , , , , ,

n(n ? 1)? 2 0 , 0 13 ? 14 ? 182 , 14 ?15 ? 210 ,
1 1 1 S100 ? 1?1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 3 4 ? 13 ? 1 1 191 ? 9? ? 13 14 14

14.数列{a n }中,若 a 1 =1, an?1 ? 2an ? 3 (n≥1) ,则该数列的通项 a n =________.

15.设 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a22 ? a32 ? a42 ? a52 ,则 S6 ?

16. f 是点集 A 到点集 B 一个映射,且对任意
* ( x, y) ? A ,有 f ( x, y) ? ( y ? x, y ? x) .现对集 A 中的点 P n (an , bn ),(n ? N ) ,均有

,则 | P Pn?1 (an?1 , bn?1 ) = f (an , bn ). 点 P 1 为( 0, 2 ) 2011 P 2012 | = 【答案】 21006 【解析】由题意知

.

P 1 (0, 2), P 2 (2, 2), P 3 (0, 4), P 4 (4, 4), P 5 (0,8)
, 从 而

, 根据两点间的距离公式可得

2 PP 1 2 ? 2, P 2P 3 ? 2 2, P 3P 4 ?2 , P 4P 5 ?4 2

Pn Pn?1 ? 2 ? (

n ?1

2 )

, 所 以

P2011P2012 ? 2 ? ( 2)2010 ? 21006

.

17.设数列 ?an ? 的各项均为正数, 它的前 n 项的和为 Sn , 点 (an, S) n 在函数 y ? 图象上;数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 ? (an?1 ? an ) ? bn ,其中 n ? N .
?

1 2 1 1 x ? x? 的 8 2 2

(Ⅰ)求 数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? 解.⑴ 由已知条件得 S n ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn . bn

1 2 1 1 an ? an ? , ① 8 2 2 1 1 1 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? , ② 8 2 2 1 2 1 2 ① -② 得: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) , 8 2 1 即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 4
∵ 数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ ,又 a1 ? 2 ,∴ an ? an?1 ? 4 ( n ? 2 ) an ? 4n ? 2 ;

b1 ? 2, ∵ b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn ,∴ an ?2 ( n4 ) 1 ? bn
2
n ?1

1 bn?1 1 bn ? 2 ? ( ) n ?1 ; ? ,∴ 4 bn 4

cn ? ⑵ ∵



∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ?

? (2n ? 3) ? 4n?2 ? (2n ?1) ? 4n?1 , ? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ?1) ? 4n ,
2

4Tn ?

4 ? 3 ? 42 ?

两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ?
5 (6n ? 5) n ∴ Tn ? ? 4 9 9

5 5 ? 4n ?1 ) ? (2n ? 1)4n ? ? ? (2n ? ) ? 4n , 3 3

解: (1) an ?

2 3

a3 ?

3 7
n

a4 ?

4 ……………………….….(2 分) 15

(2)法 1:由(1)猜得 an ?

2 ………………………………………….….(5 分) 2 ?1

下面用数学归纳法证明(略)…………….………………………………….….(7 分) 法 2:由条件可得

n n ?1 ?2 ? 1 ………………………………………….….(4 分) an an?1



n n ?1 ? 1 ? 2( ? 1) ………………………………………….….(5 分) an an ?1 n ? 1} 是以 2 为首项,公比 q =2 的等比数列 ……………….….(6 分) an
? an ? n ………………………………………….….(7 分) 2 ?1
n
n

?{

?

n ? 1 ? 2n an

(3)由(2)可得 b ? n

2n 1 1 ……….….(9 分) ? n ? (2 ? 1)(2n ?1 ? 1) 2 ? 1 2n ?1 ? 1

? Sn

? 1?

1 2
n ?1

?1

?

2n ?1 ? 2 ………………………………………….….(12 分) 2n ?1 ? 1
2

19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ? n ? 2n ? 1. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)记 Tn ?

1 1 1 ? ? ... ? ,求 Tn . a1a2 a2 a3 an an?1

解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 , ………………… 1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ,………… 3 分 又 a1 不适合上式, (II)∵ ∴ an ? ?

?4, n ? 1 ………… 4 分 ?2n ? 1, n ? 2

1 1 ? ,………… 5 分 a1a2 4 ? 5

当 n ? 2时,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,… 6 分 an an?1 ?2n ? 1??2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 4?5 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1?1 1 ? 3 ? 。………… 8 分 ? ? ? ? ?? 20 2 ? 5 2n ? 3 ? 20 2?2n ? 3?
∴ Tn ? 20.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 ? 2an ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? 2 . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

1 ? (?1) n 1 ? ( ?1) n an ? bn ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n . (2)设 cn ? 2 2
解: (1)当 n ? 1 , a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,∴ an ? 2an?1 . ………………………1 分 ……………2 分 ………3 分 ……………………4 分 ……………………………6 分

∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n . 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1. (2) cn ? ?

?

2n

n为奇数

??(2n ? 1) n为偶数
2 n? 1 ? 2 ? [? 3 ? 7 ?

……………………8 分

3 T2n ? 2 ? 2 ?

n(? 4

1) ]

……………10 分 ……………………………12 分

?

22 n ?1 ? 2 ? 2n 2 ? n . 3

21.在等比数列{an}中,an>0(n∈N+),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等 比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn S2 Sn 1 + +…+ ,求 Tn . ? log2 an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , Tn =S 1 2 n

17.解: ?1?
2

?an ? 为等比数列,an
2

? 0, a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 1 2

? a3 ? 2a3 a5 ? a5 ? 25,? a3 ? a5 ? 5 a3 a5 ? 4, q ? ? 0,1? ,? a3 ? 4, a5 ? 1, q ?
n ?1

?1? ? a1 ? 16, an ? 16 ? ? ? ? 25? n ?2? ? 2 ? bn ? log 2 an ? 5 ? n,??bn ? 为等差数列,公差-1 n ? n ? 1? S n2 9 n 9 ? ?1? ? ? ? n,? n ? ? ? 2 2 2 n 2 2 1 ?S ? ? ? n ? 为等差数列,公差n 2 ? ? n ? n ? 1? ? 1 ? n 2 17 ? Tn ? 4n ? ? ? ? ? n ? ? 2 4 4 ? 2? ? Sn ? 4n ?

22.已知等差数列{ an }的公差大于 0,且 a 3,a5 是方程 x 2 -14x+45=0 的两根 ,数列{ bn }的 前 n 项和为 Sn ,且 Sn =

1 ? bn (n∈N﹡) . 2

(Ⅰ)求数列{ an },{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 cn = an · bn ,求证: cn+1 ≤ cn ; (Ⅲ)求数列{ cn }的前 n 项和 Tn .


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