高中数学第二章§2.1.1指数与指数幂的运算(二)课件新人教A版必修


2.1.1
【学习要求】

指数与指数幂的运算(二)

1.理解规定分数指数幂的意义; 2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化; 3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质; 4.了解无理数指数幂的意义. 【学法指导】 通过类比、归纳,理解分数指数幂的有关运算性质,加深对 根式与分数指数幂关系的理解,提高归纳、概括的能力,了 解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.

1.分数指数幂的定义:(1)规定正数的正分数指数幂的意义是: m n m 1 (a>0,m、n∈N*,且 n>1); an = a m (2)规定正数的负分数指数幂的意义是: a = m、n∈N*,且 n>1); (3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 .
? m n

an

(a>0,

2.有理数指数幂的运算性质:
r?s (1)aras= a ; rs a (2)(a ) = ;

r s

(3)(ab)r= a r b r . (注:a>0,b>0,r,s 为有理数). 3.无理数指数幂 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确 定的 实数 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理 数指数幂.

1 问题情境:阅读教材 48 页“问题 2”,在问题 2 中, , 2 6 000 12 13 1 1 1 ( ), ( ), ?, 它们的值分别为 , , , ?.那么, ( 1 ) 5 730, 2 2 2 4 8 2
1 ( ) 的意义是什么呢?这正是我们将要 2 学习的知识.下面,我们一起将指数的取值范围从整数推
10 000 5 730

1 ( ) , 2

100 000 5 730

广到实数.

探究点一 问题 1


分数指数幂

整数指数幂的运算性质有哪些?
n (1)am· an=am+n;(2)(am)n=am· ;

am (3) an =am-n(m>n,a≠0);(4)(a· b)m=am· bm.
问题 2 零和负整数指数幂是如何规定的?



1 规定:a =1(a≠0);0 无意义,a =an(a≠0).
0 0
-n

问题 3 5

根据 n 次方根的定义和数的运算, 得出以下式子, 5
10 5

你能从中总结出怎样的规律? ① a = ?a2?5=a2= a (a>0);
10
8 2

② a8= ?a4?2=a4=a 4 4

(a>0);
12 4 (a>0).

③ a12= ?a3?4=a3= a


当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可

以表示为分数指数幂的形式.

小结

我们规定正数的分数指数幂的意义为:a = am

m n

n

(a>0,m,n∈N*,且 n>1) 正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相仿.即 m 1 ? * n = ( a >0 , m , n ∈ N ,且 n>1) a m an 规定: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的, 分数指数幂只是根式的一种新的写法.

问题 4

规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整

数指数推广到了有理数指数, 那么整数指数幂的运算性 质对于有理数指数幂是否还适用?
答 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理 数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广 到有理数指数幂,即:

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

例1
2 3

求值:
? 1 2

1 ?5 16 ? 3 8 ; 25 ;( ) ;( ) 4 . 2 81

解 8 =(2 )=2
25 =(5 ) =5
? 1 2 2 ? 1 2

2 3

2 3 3

3?

2 3

=22 =4;
1 =5 = ; 5
?1

1 2? (? ) 2

?1?- ? ? 5=(2-1)-5=2(-1)×(-5)=32; ?2?
3 4? (- ) 16 ? 3 2 2 -3 27 4 4 ( ) =( ) =( ) = . 81 3 3 8

小结

在进行求解时, 首先要把比较大的整数化成比较小

的整数的指数幂的形式, 还要熟练掌握分数指数幂的运算 性质, 化负指数为正指数, 同时还要注意运算的顺序问题.

跟踪训练 1 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0): 3 2 a · a;a · a ;
3 2

a a.
1 2 3? 1 2

3

解 a3· a= a3 ? a ? a
2 2

?a ;
8

7 2

2? 2 2 3 2 3 a · a ? a ? a ? a 3 ? a3 ;

a a ?

3

a ? a ? a ? (a ) ? a .

1 3

4 3

4 3

1 2

2 3

例2

计算下列各式(式中字母都是正数):
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(1) (2a b ) (?6a b ) ? (?3a b ); (2) (m n )

1 4 ? 3 8 8
2 1 1 ? ? 3 2 6 1 1 5 ? ? 2 3 6

(1)原式=[2× (-6)÷ (-3)] a
1 4 8 ? 3 8 8
-3

b

=4ab0=4a;

2 m (2)原式=(m ) (n ) =m2n = n3 .

小结

一般地,进行指数幂运算时,可按系数、同类字母

归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数 进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化 繁为简的目的.

跟踪训练 2 3

计算下列各式:

解 (1)原式=(253 ? 125 ) ? 25 ? (5 ? 5 ) ? 5

4 (1)( 25- 125)÷ 25; a2 (2) (a>0). 3 2 a· a 1
2 1 ? 3 2 3 1 ? 2 2 1 6

1 2

1 4

2 3

3 2

1 2

?5

?5

? 5 ? 5 ? 6 5 ? 5;
2 2 3

(2)原式=

a
1 2

?a

1 2 2? ? 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

a ?a

例3

计算下列各式的值:

1 ? 27 ? 2 3 2 (1) (? 8 ) ? (0.002) -10( 5-2)-1+( 2- 3)0;

1 (2) -( 3-1)0- 9-4 5. 5+ 2



1 ? 27 ? 2 1 10 3 2 ) ? ?1 (1)原式= (? ) ? ( 8 500 5 ?2

1 167 ? 4 8 2 3 2 ? ? ? (? ) ? 500 ? 10( 5 ? 2) ? 1 ? ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 . 9 9 27

(2)原式= 5-2-1- ? 5-2?2=( 5-2)-1-( 5-2) =-1.

小结

运算的结果不强求统一用哪一种形式表示, 但不

能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母,又含 有负指数.

跟踪训练 3

计算下列各式的值: 2 1 2 ? 7? ? 4 3 3 0 0.25 6 3 ( ) ? ? (1) 1.5 × -6 +8 × 2+( 2× 3) - 3 ; ? ? 7 3 -8 3 15 3 3 ? 3 (2) a 2 a ÷ a a ÷ a-3 a-1;
1 1 1 1 2 2 1 3 6 解 (1)原式= ( ) 3 ×1+ (2 ) 4 × 2 4 + (2 3 ? 32 ) ? ( ) 3 3 3 =2+4×27=110.

1

(2)原式= a a
2 3 7 6

3

7 2

?

3 2

? a a ? a a
2 7 ? 3 6

?

8 3

15 3

3

?

3 2

?

1 2

? 3 a2 ? a ? 3 a?2
1 6

7 3

? a ? a ? (a ) ? a

1 ?2 3

?a

?

2 3

?a

1 2 ? ? 2 3

?a .

探究点二 问题 1

无理数指数幂

2 如何理解 5 ?(阅读教材有关内容)

2 5 答 当 2的不足近似值从小于 2的方向逼近 2时, 的 近似值从小于 5 2 的方向逼近 5 2 ; 当 2 的 过 剩 近 似 值 2 5 从大于 2的方向逼近 2时, 的近似值从大于 5 2的方 2 2 5 所以, 是一个确定的实数. 向逼近 5 .

问题 2

无理数指数幂 ap(a>0,p 是一个无理数)有何意义?

有怎样的运算性质?
答 无理数指数幂的意义,是用有理数指数幂的不足近 似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说, 无理数指数幂 ap(a>0,p 是一个无理数)是一个确定的实 数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

1.将 (a ? b ) 3 n A. a+b 3 n n C. a+ b
解析
1 n 1 n

1 n

1 1 n 3表示成根式的形式是

( C ) n
1 3

B.( a+ b) D.
1 n

n

3

a ?b

1 3

1 3

?a ? n a, b ? n b,
1 1 n 3

? (a ? b ) ?

3

n

a+ b .

n

2.下列等式一定成立的是 A. a ? a =a C.(a3)2=a9
解析
3 2
1 3 3 2

a ? a =0 B.

1 ? 2 1 2

1 2

( D )
1 6

D. a ?a ? a
1 3 ? 3 2 1 2

1 3

a ?a ? a
6 9

1 3

3 2

? a ? a.
1 3 1 1 ? 2 3

11 6

a ? a ? a0 ? 1 ? 0,
?a .
1 6

?

1 2

1 2

(a ) ? a ? a .
ab
3 23

a ?a ? a
2

3.化简: 1 1 1 1 ? (a 4 b 2 )4 a 3 b 3
解析

ab

a b (a>0,b>0)=________.
1 3 2 1 3 2

3 1 1 1 1 3 2 ? ?1? 1? ? 2 ? ( a b a b ) a ?1 2 6 3 3 3 原式= ?a b ? ab ? . 1 1 ? b 2 3 3 ab a b

1.指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括 号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数 是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底 数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形 式表示,便于用指数运算性质. 2.根据一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理数指数 幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过 程中,一般采用由内到外逐层变换为指数的方法,然后 运用运算性质准确求解.


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