等差数列的前n项和2(上课)


§2.3 等差数列的前n项和
第二课时

等差数列前n项和公式
(1)若已知数列{an}的首项a1,末项an及项数n,则 Sn= n?a1 ? an ? 2

(2)若已知数列{an}的首项a1,公差d及项数n,则

n?n ? 1?d Sn= na1 ? 2

1.若一个等差数列首项为0,公差为2,则这个等差 数列的前20项之和为( ) A.360 C.380 B.370 D.390

2. 已知等差数列-10,-6,-2,2,..., 求这个数列前多少项的和是54?

2. 已知等差数列-10,-6,-2,2,..., 求这个数列前多少项的和是54?
解:设等差数列{an}的前n项和Sn,依题意有
a1=-10, d=-6-(-10)=4,Sn=54

根据等差数列前n项和公式:
n(n ? 1) sn ? na1 ? d 2

n(n ? 1) 有 ? 10 n ? ? 4 ? 54成立 2

整理后 , 得n2 ? 6n ? 27 ? 0
解得

n1=9, n2=-3(舍去)

故此等差数列的前9项和为54.

例2

例2



1.已知一个等差数列{an}的前5项和等于10, 前3项和等于3,求a1和d.

2.在等差数列{an}中, 1)已知 a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16. 2)已知 a6 ? 20, 求S11

例3

若一个数列{an}的前项和为Sn=pn2+qn+r的形式, 其中p 、 q 、 r均为常数且p≠0,当 r=0,则这个数列 一定是等差数列.

变式训练:
已知一个等差数列的前n项和公式Sn=2n2+4n,

求an.

前n项和Sn与通项an的关系:

?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 1)

例4.已知等差数列

8, 6, 4, ...
的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号.
解:由题意知,等差数列8,6,4,…的首项 a1=8,公差d=-2

n(n ? 1) S n ? a1n ? d 2
? ? n ? 9n
2

n(n ? 1) ? 8n ? ? (?2) 2

9 2 81 ? ?( n ? ) ? 2 4
9 于是,当 n取与 最接近的整数即 4或5时, S n取得最大值 . 2

变式练习1: 已知等差数列

的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号.
2 4 5 解:由题意知,等差数 列5,4 ,3 , ... 的首项 a1 ? 5, d ? ? 7 7 7

2 4 5, 4 , 3 , ... 7 7

n(n ? 1) S n ? a1n ? d 2
5 2 75 ?? n ? n 14 14

n(n ? 1) 5 ? 5n ? ? (? ) 2 7
5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 2 56

15 于是,当 n取与 最接近的整数即 7或8时, S n取得最大值 . 2

变式练习2:

点评:

一.等差数列前n项和公式 (1)若已知数列{an}的首项a1,尾项an及项数n,则 n?a1 ? an ? Sn= 2 (2)若已知数列{an}的首项a1,公差d及项数n,则

n?n ? 1?d Sn= na1 ? 2

二.等差数列前n项和公式的函数特点 若等差数列{an}(d≠0)的前项和表示为Sn=pn2+qn+r 的形式,则 p 、 q 、 r均为常数且p≠0,r=0

三.前n项和Sn与通项an的关系:

?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 1)

四.Sn的最值的求法 (1) 用等差数列前n项和的函数表达式 Sn=An2+Bn, 通过配方或求二次函数最值的方法求得 (2) 在等差数列中有关Sn的最值,还常用邻项变号 法来求解: ?an ? 0 当a1 ? 0, d ? 0时,满足 ? 的项数 n,使 S n取得最大值 . ?an ?1 ? 0
?an ? 0 当a1 ? 0, d ? 0时,满足 ? 的项数 n,使 S n取得最小值 . ?an ?1 ? 0

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《基础知识反馈卡》· 2.3.1-2.3.2


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