【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1


2.4.2 抛物线的简单几何性质 .

学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准 了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、 了解抛物线的范围 线等几何性质. 线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线 . 问题. 问题.

课前自主学案
2.4.2 抛物 线的 简单 几何 性质

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

1.焦点为 .

?p ? ? ,0?的抛物线标准方程是 y2=2px F?2 ?的抛物线标准方程是_______ ? ?

p (p>0) , _____,准线方程为 y=- 的抛物线标准方程是 =- 2 x2=2py(p>0) . ____________. = - 2.抛物线定义的实质是 |MF|=dM-l ,其中点 F .抛物线定义的实质是___________, 是抛物线的_____, 是抛物线上的__________ d 是抛物线的 焦点 , M-l 是抛物线上的 点到准线的
距离 . _____.

知新益能 抛物线的几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) > y2=- =-2px (p>0) > x2=2py (p>0) > x2=- =-2py (p>0) >

图形

范围

x≥0 ≥

x≤0 ≤

y≥0 ≥

y≤0 ≤

对称轴 对称轴 顶点坐标 顶点坐标 焦点坐标 焦点坐标

x轴 O(0,0)
p (- ,0) - p 2 ( ,0) _______ 2

y轴
p (0,- ) ,- 2 _______

p (0, ) , 2
p y=- =- _______ 2

p =- 准线方程 x=-2 准线方程 _______

p x= = 2

p y= = 2

离心率 离心率

e=1 =

问题探究 抛物线x 有几条对称轴? 抛物线 2=2py(p>0)有几条对称轴?是不是中心 有几条对称轴 对称图形? 对称图形? 提示:有一条对称轴;不是中心对称图形. 提示:有一条对称轴;不是中心对称图形.

课堂互动讲练

考点突破 抛物线性质的应用 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具 有广泛的应用, 有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视 这些隐含的条件. 这些隐含的条件.

例1 已知抛物线的焦点 在x轴上,直线 过F且 已知抛物线的焦点F在 轴上 直线l过 且 轴上,

垂直于x轴 与抛物线交于 与抛物线交于A、 两点 两点, 为坐标 垂直于 轴,l与抛物线交于 、B两点,O为坐标 原点, 的面积等于4, 原点,若△OAB的面积等于 ,求此抛物线的标 的面积等于 准方程. 准方程.
设抛物线方程y2=2px(p≠0) → 设抛物线方程 ( ≠ )

【思路点拨】 思路点拨】

求A、B两点的坐标 → 求出弦长 → 、 两点的坐标 求出弦长AB 的面积, 写出△ 的面积 利用面积列方程解p 写出△OAB的面积,利用面积列方程解 → 得结果

【解】 焦点

由题意, 由题意,抛物线方程为 y2=2px(p≠0), ≠ , p l:x= , : = 2

?p ? ? F?2,0?,直线 ? ? ?

B ∴A、 、

?p ? ?p ? ? ? ? ,p?, ,- ?, |AB|=2|p|. = 两点坐标为?2 ? ,-p? ∴ 2 ? ? ? ?

∵△OAB 的面积为 4, ∵△ , 1 p ∴ ·| |·2|p|=4,∴p=±2 2. = , = 2 2 ∴抛物线方程为 y2=±4 2x.

已知抛物线的顶点在坐标原点, 变式训练 已知抛物线的顶点在坐标原点, 对称 B 轴为 x 轴, 且与圆 x2+y2=4 相交于 A、 两点, 、 两点, |AB|=2 3,求抛物线方程. = ,求抛物线方程.
解:由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上, 由已知抛物线的焦点可能在 轴正半轴上, 轴正半轴上 也可能在负半轴上. 也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y 故可设抛物线方程为 2=ax(a≠0). ≠ . 设抛物线与圆x 的交点为A(x 设抛物线与圆 2+y2=4的交点为 1,y1), 的交点为 , B(x2,y2). . 与圆x 都关于x轴 ∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆 2+y2=4都关于 轴 抛物线 ≠ 与圆 都关于 对称, 关于x轴对称 对称,∴点A与B关于 轴对称, 与 关于 轴对称,

∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 3, = 且 + = , ∴|y1|=|y2|= 3, = = , 代入圆方程 x +y =4, , 得 x2+3=4,解得,x=±1, = ,解得, = , ∴A(±1, 3)或 A(±1,- 3), , 或 ,- , 代入抛物线方程, 代入抛物线方程,得( 3)2=±a,∴a=±3. , = =-3x. ∴所求抛物线方程是 y2=3x 或 y2=-
2 2

焦点弦问题

上一点, 设 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上一点,F 是 是抛物线 上一点 p 抛物线的焦点, 抛物线的焦点,则|PF|=x0+ ,这就是抛物线的 = 2 焦半径公式. 焦半径公式.利用这一公式可以解决过焦点的弦 长问题. 长问题.

例2

过抛物线y 过抛物线 2=4x的焦点作直线交抛物线于 的焦点作直线交抛物线于

点A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,求AB的中 , , = , 的中 到抛物线准线的距离. 点M到抛物线准线的距离. 到抛物线准线的距离 【思路点拨】 思路点拨】 设抛物线的焦点为F,则|AB|= 设抛物线的焦点为 , =

|AF|+|BF|,然后利用抛物线的定义求解. + ,然后利用抛物线的定义求解.

【 解】

抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x ,

p =-1.由抛物线定义知 由抛物线定义知|AB|= |AF|+ |BF|= x1 + =- 由抛物线定义知 = + = 2 p +x2+ =x1+x2+p,即 x1+x2+2=7,得 x1+x2 , = , 2 5 =5,于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ,因此点 , 2 5 7 M 到抛物线准线的距离为 +1= . = 2 2

直线与抛物线的位置关系问题 涉及到直线与抛物线位置关系问题, 涉及到直线与抛物线位置关系问题,通常联立方 程构成方程组,消元得到x(或y)的二次方程,然 的二次方程, 程构成方程组,消元得到 或 的二次方程 后利用?或根与系数的关系或弦长公式求解 后利用 或根与系数的关系或弦长公式求解. 或根与系数的关系或弦长公式求解

例3 如图所示,过点 如图所示,过点P(2,0)且斜率为 的直线 且斜率为k的直线 且斜率为 的直线l

两点. 交抛物线y 于 , 两点 交抛物线 2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点. (1)写出直线 的方程; 写出直线l的方程 写出直线 的方程; (2)求x1x2与y1y2的值; 求 的值; (3)求证:OM⊥ON. 求证: 求证 ⊥

【思路点拨】 求 x1x2 及 y1y2 的值可考虑用根与 思路点拨】 系数的关系; =-1 系数的关系;证明 OM⊥ON,可用 kO M·kON=- ⊥ , → → 来证明. 或OM·ON=0 来证明.

【解】

(1)直线 l 的方程为 y=k(x-2).(k≠0) 直线 = - . ≠

?y=k(x-2) = ( - ) (2)由? 2 由 消去 y 并整理可得 k2x2-2(2k2 ?y =2x

+1)x+4k2=0, + , 4k2 ∴x1x2= 2 =4,y2·y2=4x1x2=16, , 1 2 , k , 而 y1y2<0, =-4. ∴y1y2=-

(3)证明:设 OM,ON 的斜率分别为 k1,k2, 证明: 证明 , y1 y2 则 k1= ,k2= , x1 x2 由(2)知,y1y2=- ,x1x2=4, =-4, 知 , -4 =-1, ∴k1·k2= =- ,即 OM⊥ON. ⊥ 4

抛物线中的最值或定值问题 (1)对抛物线中的定点、定值问题,往往采用设而 对抛物线中的定点、定值问题, 对抛物线中的定点 不求的方法,即方程中含有参数,不论怎样变化 不求的方法,即方程中含有参数,不论怎样变化, 某直线过定点,代数式恒为某常数. 某直线过定点,代数式恒为某常数. (2)解决有关抛物线的最值问题,一种思路是合理 解决有关抛物线的最值问题, 解决有关抛物线的最值问题 转化,用几何法求解;另一种思路是代数法, 转化,用几何法求解;另一种思路是代数法,转 化为二次函数求最值. 化为二次函数求最值.

例4 如图,已知△AOB的一个顶点 如图,已知△ 的一个顶点

的顶点O, 、 两点 为抛物线y 的顶点 为抛物线 2=2x的顶点 ,A、B两点 都在抛物线上, 都在抛物线上,且∠AOB=90°. = ° 证明直线AB必过一定点. 证明直线 必过一定点. 必过一定点 【思路点拨】 思路点拨】 由∠AOB=90°知OA⊥OB,两 = ° ⊥ ,

直线OA和 斜率用 统一表示,利用k表示 斜率用k统一表示 表示A、 直线 和OB斜率用 统一表示,利用 表示 、 B两点坐标. 两点坐标. 两点坐标

【证明】 设 OA 所在直线的方程为 y=kx, 证明】 = , 1 则直线 OB 的方程为 y=-kx, =- ,
? ?x= 22, = ?y=kx, ?x=0, = , = , ? k 由? 2 解得? 或? 2 2x, y=0, ? ?y =2x, ?y=0, = ?y=k, ? ? 1 ?y=- x, =-k , 2 2 点的坐标为( 即 A 点的坐标为 2,k).同样由? . k ? 2 , ?y =2x,

点的坐标为(2k ,-2k). 解得 B 点的坐标为 2,- . 2 +2k k (x-2k2) ∴AB 所在直线的方程为 y+2k= + = - 2 -2k2 k2 1 化简并整理, 化简并整理,得(k-k)y=x-2. = - 的实数, = 不论实数 k 取任何不等于 0 的实数, x=2 时, 当 恒有 y=0.故直线过定点 P(2,0). = 故直线过定点 .

【名师点评】 名师点评】

在直线和抛物线的综合题中, 在直线和抛物线的综合题中,经

常遇到求定值,过定点的问题, 常遇到求定值,过定点的问题,解决这类问题的 方法有很多,例如斜率法、方程法、向量法、 方法有很多,例如斜率法、方程法、向量法、参 数法等.解决这类问题的关键是代换和转化. 数法等.解决这类问题的关键是代换和转化.有 时利用数形结合思想可以达到避繁就简、 时利用数形结合思想可以达到避繁就简、化难为 易、事半功倍的效果. 事半功倍的效果.

方法感悟 1.抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较,差别较 .抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较, 大,它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶 它的离心率等于 ,它只有一个焦点、 点、一条对称轴、一条准线,它不是中心对称图 一条对称轴、一条准线, 形,因而没有中心,是无心曲线. 因而没有中心,是无心曲线. 2.抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半 .抛物线上一点与焦点 的连线的线段叫做焦半 径,设抛物线上任一点A(x0,y0),则四种标准方 设抛物线上任一点 , 程形式下的焦半径公式如表所示: 程形式下的焦半径公式如表所示:

标准 方程

y2=2px (p>0) > |AF|= = p x0 + 2

y2=- =-2px x2=2py x2=- =-2py (p>0) (p>0) (p>0) > > > |AF|= = p - x0 2 |AF|= = p y0 + 2 |AF|= = p -y 2 0

焦半径 焦半径 |AF|


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