上海市实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


上海实验学校 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷 2015.11

一. 填空题(本大题共 10 题,每题 4 分,共 40 分) 1. lim

2n ? n ?? 2 n ? 1

; ;

2. 过点 (1,0) 且与直线 2 x ? y ? 0 垂直的方程

? ? ? ? 3. 已知 a ? (?4,5) , b ? (?2, 4) ,则 | 2a ? b | ? ; ? ? ? ? ? ? ? 4. 若 | a | ? 1 , | b | ? 2 ,且 a ? b 与 a 垂直,则向量 a 与 b 的夹角大小为 ? 5. 已知直线 l 的一个法向量 n ? (1, ? 3) ,则此直线的倾斜角的大小为

; ;

6. 已知直线 l1 : 6x ? (t ?1) y ? 8 ? 0 ,直线 l2 : (t ? 4) x ? (t ? 6) y ?16 ? 0 ,若 l1 与 l 2 平行, 则t ? ;
n ??

7. 设无穷数列 {an } 的公比 q ,若 a1 ? lim( a3 ? a4 ? ... ? an ) ,则 q ?



8. 设等边三角形 ABC 的边长为 6 ,若 BC ? 3BE , AD ? DC ,则 BD ? AE ? 9. 已知△ ABC 满足 | AB | ? 3 , | AC | ? 4 , O 是△ ABC 的外心, AO ? ? AB ?

??? ?

??? ?

????

????

??? ? ??? ?
????



??? ?

??? ?

??? ? 1 ? ? ???? AC 2

(? ? R) ,则△ ABC 的面积是



10. 定义函数 f ( x) ? {x ?{x}} ,其中 { x} 表示不小于 x 的最小整数,如 {1.4} ? 2 , {?2.3} ?

?2 ;当 x ? (0, n] (n ? N * ) 时,函数 f ( x) 的值域为 An ,记集合 An 中元素的个数 an ,则

lim(
n ??

1 1 1 ? ? ... ? ) ? a1 a2 an



二. 选择题(本大题共 4 题,每题 4 分,共 16 分) 11. 在边长为 1 的正六边形 A 1 A2 A 3 A4 A 5A 6 中, A 1A 3?A 3A 5 的值为( A.

????? ?????



3 2

B. ?

3 2

C.

3 3 2

D. ?

3 3 2


? 2n ? 1 n ? 2015 ? 12. 已知 an ? ? 1 n ?1 , Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和( (? ) n ? 2015 ? ? 2
A. lim an 和 lim S n 都存在
n ?? n ?? n ?? n ??

B. lim an 和 lim S n 都不存在 D. lim an 不存在, lim S n 存在
n ?? n ??

C. lim an 存在, lim S n 不存在
n ?? n ??

13. 设 a ? (2,3) , b ? (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为( A.

?

?

?

?



65 13 C. D. 65 5 5 ? ? ? ? 14. 设 ? 是两个非零向量 a, b 的夹角,已知对任意实数 t , | b ? ta | 的最小值为 2 ,则( ? ? A . 若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 B. 若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 ? ? C. 若 | a | 确定,则 ? 唯一确定 D. 若 ? 确定,则 | a | 唯一确定

13

B.



三. 解答题(本大题共 4 题,共 10+10+12+12=44 分) 15. 在平面直角坐标系中,已知 A(2,3) , B(4, ?1) , P(2, 0) ,求: (1) AP ? BP 的值;(2) ?APB 的大小;

??? ? ??? ?

16. 已知两点 A(2,1) , B(m, 4) ,求: (1)直线 AB 的斜率和直线 AB 的方程; (2)已知 m ?[2 ? 3, 2 ? 3 3] ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的范围;

17. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 7 ,令 bn ? an ? an?1 , {bn } 是公比为 q (q ? 0) 的等比数列, 设 cn ? a2n?1 ? a2n ; (1)求证: cn ? 8 ? q n?1 (n ? N ) ;
*

(2)设 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,求 lim

1 的值; n ?? S n

18. 定义 x1 , x2 ,..., xn 的“侧平均数”为

n (n ? N * ) ; x1 ? x2 ? ... ? xn
1 ,求 ?an ? 的通项公式; 2n ? 4

(1)若数列 ?an ? 的前 n 项和的“侧平均数”为

(2)设数列 ?bn ? 满足:当 n 为奇数时, bn ? 1,当 n 为偶数时, bn ? 2 ;若 Tn 为 ?bn ? 前 n 项 的侧平均数,求 lim Tn ;
n ??

(3)设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ,对(1)中的数列 ?an ? ,是否存在实数 ? ,使得当 x ? ? 时,

f ( x) ?

an * 对任意 n ? N 恒成立?若存在,求出最大的实数 ? ;若不存在,说明理由; n ?1

四. 附加题(本大题共 2 题,共 10+10=20 分) 19. 对于一组向量 a1 , a2 , a3 ,..., an (n ? N * ) ,令 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ,如果存在 a p

?? ?? ? ?? ?

?? ?

? ?? ? ?? ? ?? ??

?? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ( p ?{1, 2,3..., n}) ,使得 | a p | ? | Sn ? a p | ,那么称 a p 是该向量组的“ h 向量”; ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? (1)设 an ? (n, n ? x) (n ? N * ) ,若 a3 是向量组 a1 , a2 , a3 的“ h 向量”;
) ?) (2)若 an ? (( ) ,( 1 ?? ? 1 3
n ?1 n

?? ?? ? ?? ? ?? ? (n ? N * ) ,向量组 a1 , a2 , a3 ,..., an (n ? N * ) 是否存在“ h 向量”?

给出你的结论并说明理由;

20. 等差数列 ?xn ? 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ;已知 x3 ? 5 , S3 ? 9 ,

b2 ? a2 ? 1 , lim Tn ? 16 ;
n ??

(1)求数列 ?xn ? 的通项 xn ; (2)设 M n ? lg b1 ? lg b2 ? ... ? lg bn ,求 M n 的最大值及此时 n 的值;

(3)数列方程 sin2 xn ? xn cos xn ?1 ? Sn 是否有解,说明理由;

上海实验学校高二上学期期中数学试卷参考答案

1. 1 ; 4.

2. x ? 2 y ? 1 ? 0 ; 5.

3. 6 2 ; 7. 10. 2 ;

2? ; 3

? ; 6

6. ?5 ;

5 ?1 ; 2

8. ?18 ;

9. 2 5 或

3 7; 2
13. C;

11. B;

12. A;

14. B;

15.(1) ?3 ;(2) ? ? arccos

5 ; 5

16.(1)当 m ? 2 , k 不存在,直线方程 x ? 2 ; 当m ? 2 ,k ? (2) [

3 3 ( x ? 2) ; , y ?1 ? m?2 m?2

? 2?
6 , 3

];

?1 ? q , q ? (0,1) 1 ? 17.(1)略;(2) lim ; ?? 8 n ?? S n ? ?0, q ? [1, ??)
18.(1) an ? 4n ? 2 ;(2)

2 ;(3) ? ? 1 ; 3

19.(1) [?2, 0] ;(2) a1 是“ h 向量”; 20.(1) xn ? 2n ? 1;(2) n ? 3 或 n ? 4 时, (M n )max ? 6lg 2 ;(3)无解;

??


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