高中数学课件 5-2一元二次不等式及其解法(3课时)


5.2 一元二次不等式及其解法

知识梳理

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1.一元二次不等式的结构特征: 只含有一个未知数,且未知数的最高次 数是2的不等式 2.一元二次不等式的一般形式: (1)ax2+bx+c>0(a>0);
(2)ax2+bx+c<0(a>0);

(3)ax2+bx+c>0(a<0); (4)ax2+bx+c < 0(a<0).

3.一元二次不等式的解法:
对于不等式ax2+bx+c>0(a>0). (1)当△<0时,解集为R;
b (2)当△=0时,解集为 {x | x ? ? }; 2a

(3)当△>0时,解集为{x|x>x1或 x<x2 },其中x1>x2为方程ax2+bx+c =0的两根.

拓展延伸

1.设a>b,则 (x-a)(x-b)<0 ? b<x<a; (x-a)(x-b)>0 ? x>a或x<b.
f ( x) ? 0(或 ? 0) ? f ( x) g ( x) ? 0(或 ? 0) . 2. g ( x)

3.a
a

f ( x)

?a

g ( x)

(a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) ;

f ( x)

?a

g ( x)

(0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x)

4.loga f ( x) ? loga g ( x)(a ? 1) ? f ( x) ? g ( x) ? 0
log a f ( x) ? log a g ( x)(0 ? a ? 1) ? g ( x) ? f ( x) ? 0

考点分析

考点1 求整式和分式不等式的解集
例1 解下列不等式:
? x2 ? 6x ? 8 ? 0 ? (1)? x ? 3 ; ?2 ? ? x ?1

(2)2 x

3

? x ? 15 x ? 0 ;
2

x ? 9 x ? 11 ?7 ; (3) 2 x ? 2x ?1
2

2 (4)| x |? ; x ?1

| (5) x ? 2 x ? 3 |?| 3x ? 1| .
2

【解题要点】 将原不等式化为二次不等式→分解因式 →写出解集.

考点2求指、对数式和根式不等式的解集

例2 解下列不等式: (1)36 ? 2 ? 27 ; (2) lg(10x+5)-1<lg(x2+2x-1) -lg(x-2); x x (3) 2 ? 1 ? 2 ? 3 .
x x?2 x ?8

【解题要点】 将不等式两边化同底数→去底数或根号 →注意定义域→转化为一次或二次不等 式求解.

考点3 解含参数的不等式 例3 设a为实常数,解下列不等式: (1)ax2+1>(a+1)x;
x ?1 1 ? (a>0); (2) x?2 a

1 (3)log a (1 ? ) ? 1(a>0,a≠1). x 【解题要点】 按解不等式原来变形→根据运算需要分 类讨论→整合结论.

考点4 已知不等式的解集求参数值

x?a 例4 已知函数 f ( x) ? (a,b为实常数). x?b

(1)若b=1,解不等式f(x-1)>0;
5 (2)若不等式 ≤f(x)≤2的解集是 4

[-1,2],求a,b的值.

1 例5 已知抛物线 f ( x) ? ax ? bx ? 与 4 直线y=x相切于点A(1,1),若对任意 x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立, 求实数t的值.
2

【解题要点】 通过解不等式转化解集条件→利用函数 思想转化解集条件→建立参数方程→解 方程求参数值.

考点5 解不等式求参数范围 例6 已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a,其 中a为实常数. (1)若a<0,且函数 y ? log 1 f ( x) 在区间
2
2

[-2,-1]上是增函数,求a的取值范围 (2)设集合A={x|f(x)>0},

x ?1 ? 0} ,若 A ? B ? ? ,求a的取 B={x | 3? x 值范围.

【解题要点】 转化已知条件→建立相关不等式→解不 等式求参数范围.

考点6 解不等式的实际应用
例7 如图,将一个矩形花坛ABCD扩建成一 个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点 D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3m, AD=2m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,则AN 的长应在什么范围内? (2)若AN∈[3,4)(单位:m),则当AM,AN 的长分别为多少时,矩形花坛AMPN的面积最 N P 大?并求出最大面积.
D A C

B

M

例8 某企业有一线工人100人,生产甲种产品, 平均每人全年可创利5万元.为了适应市场需求, 企业决定从这100名工人中分流出x人去生产乙种 产品.分流后继续从事生产甲种产品的工人,平均 每人全年创利可增长2x%,而分流出去从事生产乙 种产品的工人,平均每人全年可创利7万元. (1)若保证该企业全年生产甲种产品的总创利相 对于分流前不减少,那么x的取值范围如何? (2)若使该企业生产甲、乙两种产品的总创利相 对于分流前的总创利的增加值不小于350万元,那 么x的取值范围如何?

例9 在对口扶贫活动中,企业甲将经 营状况良好的某种消费品专卖店转让给 某小型残疾人企业乙.已知这种消费品 的进价为每件14元,该店月销量y(百 件)与销售价格x(元)满足函数关
?50 ? 2 x, (14 ? x ? 20) y 系: ? ? ,企业乙的 ?40 ? 1.5 x, (20 ? x ? 26)

全体职工每月最低生活费共计核定为 5600元,为使该店至少能维持企业乙的 职工生活,商品的销售价应控制在什么 范围内?

【解题要点】 设相关字母→建立不等式模型→解不等 式→回答实际问题.


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