《等比数列》课件


3.1 等比数列

? ① 如下图是某种细胞分裂的模型:

引例:

细胞分裂个数可以组成下面的数列:

1

2

4

8 16 …

引例:
? ②我国古代一些学者提出:“一尺之棰, 日取其半,万世不竭。”用现代语言叙述 为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远 也取不完。这样,每日剩下的部分都是前 一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单 位“1”,那么,得到的数列是:
1

1 2

1 4

1 8

1 16



引例:
? ③一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址簿,通过邮件进行传播。如果把病毒制 造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发 送病毒称为第二轮,依此类推。假设每一 轮每一台计算机都感染20台计算机,那么 在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染 的计算机数构成的数列是:

1 20 202

203



? ④ 除了单利,银行还有一种支付利息的方式——复利,即 把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期

引例:

的利息,也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本利
和的公式是:本利和 = 本金×(1+利率)存期。 ? 现在存入银行10000元钱,年利率是1.98%,那么按照复利, 5年内各年末的本利和组成了下面的数列:

10000 ?1.0198 10000 ?1.0198 10000 ?1.0198
2

3

10000 ?1.01984

10000 ?1.01985

引例:
? 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上
四个数列有什么共同特征? ? 共同特征:从第二项起,每一项与它前面 一项的比等于同一个常数; ? 我们给具有这种特征的数列一个名字——等

比数列

? 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项

1、等比数列的定义:

的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个
常数就叫做等比数列的公比(常用字母“q”表示)。

思考:等比数列中的项有可能等于0吗? 判断:数列a,a,a, …,a,a是不是等比数列? 注意: 1)等比数列{an}中,“q≠0” ,“an≠0” . 2)当q=1时,{an}为非零常数列。 a n ?1 3)等比数列的定义表达式: ? q(n ? N* )

an

范例讲解
? 例1:已知数列{an}的通项公式为an=3×2n,试
问这个数列是等比数列吗? 解:因为当n≥2时,

an 3 ? 2n ? ?2 n ?1 an?1 3 ? 2

所以数列{an}是等比数列,且公比为2.

? 法一:不完全归纳法 等 等 a2 ? a1 ? d

2、等比数列的通项公式:
比 数 列
a2 ? q ? a2 ? a1q a1

差 数 列

a3 ? a1 ? 2d 类比

a4 ? a1 ? 3d ……

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列

……

的通项公式可得:

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q

n ?1

2、等比数列的通项公式:
? 法二:叠加法 累乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

an ?q ×) an ?1

a4 ?q a3 ……

a3 ?q a2

a2 ?q a1
共n – 1 项

an n ?1 ?q a1

范例讲解
? 例2:根据如图的框
图,写出所打印数列

的前5项,并建立数
列的递推公式。这个 数列是等比数列吗?

分析:
1 1 1 1 a1 ? 1, a 2 ? , a3 ? , a 4 ? , a5 ? 2 4 8 16

其递推公式为

?a1 ? 1 ? ? 1 an ? an ?1 (n ? 2) ? ? 2
由于

an 1 ? a n ?1 2

因此这个数列是等比数列,其通项公式是

思考:数列①、②、③、④的通项公式存在吗? 如果存在,分别是什么?

1 n ?1 an ? ( ) 2

3、等比数列的性质1: 等差数列

等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? ?q m ?1 am a1q
可得

n ?1

an ? am ? (n ? m)d

an ? amq

n ?m

范例讲解
例3、已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5,求a20. 解:由a15=a5 q10,得
a15 5 1 q ? ? ? a5 20 4
10

1 ?q ? ? 2
5

1 5 5 ? a20 ? a15 q ? 5 ? ? 或a20 ? ? 2 2 2
5

思考与讨论:对于例3中的数列,你是否发现a5,a10,a15,a20… 恰好构成等比数列?你能说出其中的道理吗?你能由此推导出 一个一般性的结论吗?

4、等比数列的性质2:
等 差 中 项
如果三个 数x,A,y 构成等差 数列,那 么A叫做 x和y的 等差中项。 即

类比

等 比 中 项

x ? y A ? 2

如果三个 数x,G,y 构成等比 数列,那 么G叫做x 和y的等 比中项。 即
G 2 ? xy 或G ? ? xy

观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3, 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1,±2 ,-4 (4)1, ±1 ,1

结论: 两个正数(或两个负数)的等比中项有 它们互为 ,一个正数和一个负数

个, 等比中项。

范例讲解
解法1:由题意知,

a5 1 q ? ? , a1 16
4

1 a1 ? 4, a5 ? 4

,由等比数列的通项公式得

例4、在4与 之间插入3个数,使这5个数成等比数列, 求插入的3个数。

1 4

1 ?q ? ? 2

1 1 所以,插入的3项依次为2,1, 或-2,1,? 2 2

思考:还有没有别的方法?

? 课堂练习: ? 课本练习1、2。

补充练习
4 ? (1) 一个等比数列的第9项是 ,公比 9
1 是 ? ,求它的第1项; 3
? (2)一个等比数列的第2项是10,第3项是
20,求它的第1项与第4项。

小结
? 1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达

an 式: ? q(q ? 0),(n ≥ 2,n ∈N); an ?1
? 2、要会推导等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q

n?1

(a1 ? q ? 0) ,并掌握其基本应用;


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