2013届高三第一次联合模拟考试数学理试卷广西桂林市、崇左市、防城港市


广西桂林市、崇左市、防城港市 2013 届高考第一次联合模拟考试 数学试卷(理科)

第Ⅰ卷 注意事项:第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k
k 次的概率 Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n?k (k=0,1,2,…,n)

球的表面积公式 S=4 ? R ,其中 R 表示球的半径
2

球的体积公式 V= ?R ,其中 R 表示球的半径
3

4 3

一、选择题 1. 已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x ≤2,x∈Z},则 A∩ B= A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2} D. {0,1,2}

2. 若(a+4i)i=b+i(a,b∈R) 为虚数单位,则 a+b= ,i A. 3 B. 5 C. -3 D. -5

3. 函数 f(x)=3+sinx,x∈[0,1)的反函数的定义域是 A. [0,1) B. [1,3+sin1) C. [0,4) D. [0,+ ? )

4. 设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,S 5 =3(a 2 +a 8 ) ,则

a5 的值为 a3

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5. 已知函数 y=2sin(2x+ ? ) ? |< (| 方程为 A. x=

? )的图象经过点(0,1) ,则该函数的一条对称轴 2
? 12

5 6

? 6

B. x=

? 12

C. x=-

D. x=-

? 6

6. 已经双曲线 x -m y =m (m>0)的一条渐近线与直线 2x-y+3=0 垂直,则该双曲 线的准线方程为 A. x= ?

2

2

2

2

4 3 3
8

B. x= ?
2

4 5 5
8

C. x= ?

3 2

D. x= ?

5 2

7. 设(x-b) =b 0 +b 1 x+b 2 x +…+b 8 x ,如果 b 5 +b 8 =-6,则实数 b 的值为 A.

1 2

B. -

1 2

C. 2

D. -2

8. 在△ABC 中,D 为 BC 边上的点, AD = ? AB + ? AC ,则 ?? 的最大值为 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

9. 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3 ,AB=1, AC=2,∠BAC=60°,则球 O 的表面积为 A. 4 ? B. 12 ? C. 16 ? D. 64 ?

10. 定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x-3)的图象关于点(3,0)成 中心对称,若 s,t 满足 f(s -2s) ≥-f(2t-t ) ,则 A. s≥t B. s<t
2 2 2

C. |s-1|≥|t-1| D. s+t≥0

11. 设抛物线 C 的方程为 y =4x,O 为坐标原点,P 为抛物线的准线与其对称轴的交点, 过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点,若直线 PM 与 ON 相交于点 Q,则 cos∠MQN= A.

5 5

B. -

5 5

C.

10 10

D. -

10 10

12. 在 8×8 棋盘的 64 个方格中,共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的 个数为 A. 64 B. 128 C. 204 D. 408

第Ⅱ卷 注意事项:第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

4 在点(0,2)处的切线方程为_______. e ?1 1 ? ? 14. 若 cos( - ? )= ,则 cos( +2 ? )=________. 4 3 3
13. 曲线 y=
x

?x ? y ? 1 ? 15. x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 ?2 x ? y ? 2 ?
a 的取值范围是_________. 16. 已知正三棱锥 S-ABC 的高为 3,底面边长为 6,过点 A 向它所对的侧面 SBC 作垂线, 垂足为 O,在 AO 上取一点 P,使

AP =8,则过 P 且平行于底面的截面的面积为______. PO

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 csinA=acosC,a +b =4(a+b) -8,求 c 的值。
2 2

18. (本小题满分 12 分) 在某国际高端经济论坛上,前六位发言的是与会的含有甲、乙的 6 名中国经济学专家, 他们的发言顺序通过随机抽签方式决定. (Ⅰ)求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率; (Ⅱ)发言中甲、乙两位专家之间的中国专家数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的侧面 A 1 ACC 1 与底面 ABC 垂直, AB=BC=CA=4, AA 1 ⊥A 1 C, 且 AA 1 =A 1 C.

(Ⅰ)证明:AC⊥BA 1 ; (Ⅱ)求侧面 A 1 ABB 1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R. (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (Ⅱ)若 f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ,A 是椭圆 C 上 a2 b2

的一点,AF 2 ⊥F 1 F 2 ,O 是坐标原点,OB 垂直 AF 1 于 B,且 OF 1 =3OB. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求 t∈(0,b) ,使得命题“设圆 x +y =t 上任意点 M(x 0 ,y 0 )处的切线交椭圆 C 于 Q 1 、Q 2 两点,那么 OQ 1 ⊥ 2 ”成立. OQ
2 2 2

22. (本小题满分 12 分)

已知各项均为正数的数列{a n }满足 a 2?1 =2a 2 +a n a n?1 ,且 a 2 +a 4 =2a 3 +4,其中 n∈ . N n n (Ⅰ )若 b n =

*

1 ,求数列{b n }的通项公式; an

1 1 1 n2 (Ⅱ )证明: + +…+ > (n≥2). 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn n ?1 ? bn

【试题答案】
评分说明: 1. 第一题选择题,选对得分,不选、错选或多选一律得 0 分. 2. 第二题填空题,不给中间分. 3. 解答与证明题,本答案给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 4. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 5. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6. 只给整数分数. 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B 7 A 8 D 9 C 10 C 11 D 12 C

二、填空题 13. x+y-2=0 14.

7 8

15. (-4,2)

16.

3

三、解答与证明题 17. (本小题满分 10 分) 解:由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A< ? ,所以 sinA>0.从而 sinC=cosC. 又 cosC ? 0,所以 tanC=1,故 C=
2 2

2分

? . 4
2 2

5分 7分

由 a +b =4(a+b)-8,得(a-2) +(b-2) =0,则 a=2,b=2. 又由余弦定理得 c =a +b -2abcosC=8-4 2 , 所以 c= 8 ? 4 2 . 18. (本小题满分 12 分) 解: )设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件 A,则 (Ⅰ
2 2 2

9分 10 分

P(A)=

2 4 A2 A4 1 = . 6 15 A6

3分

答:甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率为 (Ⅱ ? 的可能取值为 0,1,2,3,4. ) P( ? =0)=
2 5 2 4 A2 A5 1 4 A2 A4 4 = ,P( ? =1)= = , 6 6 3 15 A6 A6

1 . 15
5分

4分

P( ? =2)=

2 2 3 A4 A2 A3 1 A3 A 2 A 2 2 = ,P( ? =3)= 4 2 2 = , 6 6 5 15 A6 A6 4 2 A4 A2 1 = . 6 15 A6

P( ? =4)=

9分

? 的分布列为 ?
P 0 1 2 3 4

1 3

4 15

3 15

2 15

1 15
10 分

∴ ? =0× E

1 1 4 2 1 4 +1× +2× +3× +4× = . 3 5 15 15 15 3

12 分

19. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ )证明:取 AC 的中点 O,连结 OA 1 ,OB,BA 1 ,则

A1C ? AA1 ? ? ? A1O ? AC , AO ? CO ?
AB ? BC ? ? ? BO ? AC . AO ? CO ?
∴ 面 BOA 1 . AC⊥ 5分

2分

4分

∵ 1 ? 面 BOA 1 ,∴ BA 1 . BA AC⊥

6分

(Ⅱ )解法一:∵ A 1 ACC 1 ⊥ ABC,A 1 O⊥ 面 面 AC, ∴ 1 O⊥ ABC. A 面 7分

过点 O 作 OH⊥ 于 H,连结 A 1 H,则 A 1 H⊥ AB AB, ∴A 1 HO 为所求二面角的平面角. ∠ 在等边△ ABC 中,OH= 3 ,A 1 H= 7 . 9分

∴ A 1 HO= cos∠

OH 21 = . A1 H 7

11 分

∴ 侧面 A 1 ABB 1 与底面 ABC 所成的二面角为 arccos

21 . 7

12 分

解法二:以 O 为坐标原点,OB,OC,OA 1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系, 7分

则 A(0,-2,0) ,B(2 3 ,0,0) ,C(0,2,0) 1 (0,0,2) ,A , C 1 (0,4,2) ,设 n=(x,y,z)是面 A 1 ABB 1 的一个法向量,则 n⊥ 1 ,n⊥ , AB AA ∵ 1 =(0,2,2) AB =(2 3 ,2,0) , , AA ∴ ? 8分 9分 10 分 11 分

? y ? z ? 0, ? 3 x ? y ? 0.

取 x=1,得 n=(1,- 3 , 3 ).

易知平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,1) , 所以 cos<m,n>=

m?n 21 = . | m |?| n | 7

∴侧面 A 1 ABB 1 与底面 ABC 所成的二面角为 arccos

21 . 7

12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: )若 a=1 ,则 f(x)=x|x-1|-lnx. (Ⅰ 当 x∈ [1,e]时,f(x)=x -x-lnx,f′ (x)=2x-1-
2

1 2x 2 ? x ? 1 = >0, x x
2

所以 f(x)在[1,e]上单调递增,∴ f(x) max =f(e)=e -e-1. (Ⅱ )函数 f(x)的定义域为(0,+ ? ). 由 f(x)>0,得|x-a|> (i)当 x∈ (0,1)时,|x-a|≥0, 所以 a∈ R; (ii)当 x=1 时,|1-a|≥0,

4分

ln x . x

*

ln x <0,不等式*恒成立, x
5分

ln x =0,所以 a ? 1; 6分 x ln x ln x (iii)当 x>1 时,不等式*恒成立等价于 a<x- 恒成立或 a>x+ 恒成立. x x
ln x x 2 ? 1 ? ln x 令 h(x)=x- ,则 h′ (x)= . x x2
因为 x>1,所以 h′ (x)>0,从而 h(x)>1. 因为 a<x-

ln x 恒成立等价于 a<(h(x)) min ,所以 a≤1. x
ln x x 2 ? 1 ? ln x 2 ,则 g′ (x)= .再令 e(x)=x +1-lnx,则 e′ (x)=2x x x2
11

令 g(x)=x+ - 分

1 >0 在 x∈ (1,+ ? )上恒成立,e(x)在 x∈ (1,+ ? )上无最大值. x
综上所述,满足条件的 a 的取值范围是(- ? ,1).

12 分

21. (本小题满分 12 分)

解: )解法一:由题设 AF 2 ⊥ 1 F 2 及 F 1 (-c,0) 2 (c,0) (Ⅰ F ,F ,不妨设点 A(c,y) , 其中 y>0,由于点 A 在椭圆上,有

c2 y2 + =1, a2 b2

? b2 ? a2 ? b2 y 2 b2 + 2 =1,解得 y= ,从而得到 A ? c, ? a ?. ? a a2 b ? ?
直线 AF 1 的方程为 y=

1分

b2 2 2 (x+c) ,整理得 b x-2acy+b c=0. 2ac

2分

由题设,原点 O 到直线 AF 1 的距离为

1 c b2c |OF 1 |,即 = , 4 2 2 3 3 b ? 4a c
2

3分

将 c =a -b 代入原式并化简得 a =2b ,即 a= 2 b. ∴ 1? ? e=

2

2

2

2

2 2 ?b? .即椭圆 C 的离心率为 . ? = 2 2 ?a?

2

4分

? b2 ? 解法二:点 A 的坐标为 ? c, ? a ?. ? ? ?
过点 O 作 OB⊥ 1 ,垂足为 B,易知△ 1 BC∽F 1 F 2 A, AF F △ 故

1分

| BO | | F2 A | = . | OF1 | | F1 A |
1 |OF 1 |, 3

2分

由椭圆定义得|AF 1 |+|AF 2 |=2a,又|BO|= 所以

| F2 A | 1 | F2 A | = . 3 | F1 A | 2a? | F2 A |
a b2 b2 1 ,而|F 2 A|= ,得 2 = . 2 a a 2
2

3分

解得|F 2 A|=

2 2 ?b? ∴ 1? ? ? = e= .即椭圆 C 的离心率为 . 2 2 ?a?
2 2 2

4分
2

(Ⅱ )圆 x +y =t 上的任意点 M(x 0 ,y 0 )处的切线方程为 x 0 x+y 0 y=t .
2 2 2

5分

当 t∈ (0,b)时,圆 x +y =t 上的任意点都在椭圆内,故此圆在点 A 处的切线必交椭 圆于两个不同的点 Q 1 、Q 2 ,因此点 Q 1 (x 1 ,y 1 ) 2 (x 2 ,y 2 )的坐标是方程组 ,Q
2 ? ? x 0 x ? y 0 y ? t ,① 的解. ? 2 ? x ? 2 y 2 ? 2b 2 ,② ?

6分

? t 2 ? x0 x ? t 2 ? x0 x 2 ? =2b 2 , (1)当 y 0 ? 0 时,由① 式得 y= .代入② 式,得 x +2 ? ? y ? y0 0 ? ?
2 2 2 即(2x 0 +y 0 )x -4t x 0 x+2t -2b y 0 =0.
2 4t 2 x0 2t 4 ? 2b 2 y 0 于是 x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = , 2 2 2 2 2 x0 ? y 0 2 x0 ? y 0
2 2 4 2

2

7分

y1 y 2 =

t 2 ? x0 x1 t 2 ? x0 x2 1 4 2 2 · = 2 [t ? x0 t ( x1 ? x 2 ) ? x0 x1 x 2 ] y0 y0 y0
1 2 y0
4 2 2 ? 4 4t 2 x 2 2t ? 2b y 0 ? t ? x0 t 2 2 0 2 ? x0 2 2 ? 2 x0 ? y 0 2 x0 ? y 0 ?

=

2 ? t 4 ? 2b 2 x0 ?= ? 2x 2 ? y 2 . ? 0 0

2 2 2 2 2t 4 ? 2b 2 y 0 t 4 ? 2b 2 x0 3t 4 ? 2b 2 ( x0 ? y0 ) 若 QQ 1 ⊥ 2 ,则 x 1 x 2 + y 1 y 2 = QQ + = =0. 2 2 2 2 2 2 2 x0 ? y 0 2 x0 ? y 0 2 x0 ? y 0

2 2 所以,3t -2b (x 0 +y 0 )=0.

4

2

8分

在区间(0,b)内,此方程的解为 t= (2)当 y 0 =0 时,必有 x 0 ? 0,

6 b. 3

9分

同理求得在区间(0,b)内的解为 t=

6 b. 3

10 分

另一方面,当 t=

6 b 时,可推出 x 1 x 2 + y 1 y 2 =0,从而 QQ 1 ⊥ 2 . QQ 3
12 分

11 分

综上所述,t=

6 b∈ (0,b)使得所述命题成立. 3

22. (本小题满分 12 分) 解: )因为 a n?1 =2a n +a n a n?1 ,即(a n?1 +a n ) (Ⅰ (2a n -a n?1 )=0. 又 a n >0,所以有 2a n -a n?1 =0,即 2a n =a n?1 所以数列 {an } 是公比为 2 的等比数列, 3分
2 2

1分

由 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 得 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4 ,解得 a1 ? 2 。 从而,数列{a n }的通项公式为 a n =2 (n∈ ) N ,即:b n =
n

*

1 * (n∈ ). 5 分 N 2n

(Ⅱ )构造函数 f(x)=

1 1 - (b i -x) (x>0) , 1 ? x (1 ? x) 2

则 f′ (x)=

2( x ? bi ) 2(bi ? x) ?1 1 - + = , 2 2 3 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x) 3

当 0<x<b i 时,f′ (x)>0,x>b i 时,f′ (x)<0, 所以 f(x)的最大值是 f(b i )=

1 1 ,所以 f(x)≤ . 1 ? bi 1 ? bi

7分



1 1 1 ≥ - (b i -x) (x>0,i=1,2,3…n) ,取“=”的条件是 x=b i (i=1, 1 ? bi 1 ? x (1 ? x) 2

2,3…n) , 所以

n 1 1 1 1 + +…+ > - (b 1 +b 2 +…+b n -nx) , 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn (1 ? x ) (1 ? x) 2
b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 ,则 + +…+ > n 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn
n , b1 ? b2 ? ? ? bn 1? n
11 分

9分

令 x=

所以

1 1 1 + +…+ > 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn

n2 , 1 1 1 n ? ? 2 ??? n 2 2 2



1 1 1 n2 + +…+ > (n≥2). 1 ? b1 1 ? b2 1 ? bn n ?1 ? bn

12 分

www.ks5u.com www.ks5u.com www.ks5u.com


相关文档

更多相关文档

广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第一次联合模拟考试数学理试卷
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学理试卷
广西桂林市崇左市防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学文试卷
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学文试卷
广西桂林市崇左市防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学理试卷
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试理综试卷
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学试卷(理)
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第二次联合模拟考试数学理试题
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第一次联合模拟考试英语试卷 Word版含答案
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第二次联合模拟考试数学理试题 Word版含答案
广西桂林市、北海市、崇左市2016届高三3月联合调研考试数学理试题(word版)
2015年高考桂林市、防城港市第一次联合模拟考试(理)
广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试理综试卷
2016届陕西省西安市第一中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 word版
广西桂林市、防城港市2015届高三联合调研考试数学(理)试题 Word版含答案
电脑版