高中数学必修5复习课件第31讲(必修5)三角形中的三角函数


第31讲
三角形中的三角函数

1.能熟练利用正弦定理、余弦定 理将三角形的边角转化. 2.掌握三角形形状的判断,三角 形内三角函数的求值及三角恒等式 的证明.

1.△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,
sin2A=sin2B+sin2C,则三角形的形

状是( D )
A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2. 所以△ABC为直角三角形,∠A=90°,

由sinA=2sinBcosC,得2sin2B=1.
因为B为锐角,所以sinB= B=45°,C=45°,
2 2

,从而

所以△ABC为等腰直角三角形,故选D.

2.在锐角△ABC中,已知cosA= 则cosC的值是( B )

5 13

, sinB=

3 5

,

A. 56

65

B. 16

65

C. 16 或 56
65 5 13

65 3 5

D.- 16
,

65

因为cosA= 所以sinA=
2

,sinB= =
12 13

1 ? cos A

,cosB=

4 1? sin A = 5
2

,

所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =-cosAcosB+sinAsinB
5 =- 13
4 ×5 12 3 × 13 5

+

=

16 65

.

3.在△ABC中,设命题p: q的 ( C )

a sin B

=

b sin C

=

c sin A

,命

题q:△ABC是等边三角形,则命题p是命题 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 p:
a sin B

D.既不充分也不必要条件
b c = sin C = sin A , a b c sin A = sin B = sin C ,

由正弦定理 故选C.

所以sinA=sinB=sinC,所以A=B=C? a=b=c,

4. 在△ ABC 中,三个内角满足 2A=B+C ,且 最大边与最小边分别是方程 x2-12x+32=0 的两根,则△ABC外接圆的面积为( A ) A.16π C.124π B.64π D.156π

由方程x2-12x+32=0,解得x=4或x=8, 不妨设b=8,c=4, 因为2A=B+C,所以A+B+C=3A=180°,A=60°, 由余弦定理得,
1 a2=b2+c2-2bccos60°=64+16-2×8×4× =48. 2 所以a=4 3 .

由正弦定理,得2R=asinA= 所以S圆=πR2=16π,故选A.

4 3 3 2

=8,R=4,

5.△ABC中,已知a=x,b=2,B=45°,若解此三 角形有两解,则x的取值范围是 (2,2 2 ) .
sin 45 2 sinA= · x= x, 2 4

因三角形有两解,

所以45°<A<135°,且∠A≠90°,
2 所以x>2,且 x<1,解得2<x<2 2 . 4

1.判断三角形的形状特征

必须从研究三角形的边与边的关系,或角 的关系入手,充分利用正弦定理与余弦定理进 行转化,即化边为角或化角为边,边角统一.
三角形形状的判断依据: (1)等腰三角形:a=b或A=B; (2)直角三角形:b2+c2=a2或A=90°; (3)钝角三角形:a2>b2+c2,或90°<A<180°;

(4) 锐角三角形:若 a 为最大边,且满足 a2<b2+c2或A为最大角,且0°<A<90°.

2.在△ABC中常用的一些基本关系式 (1)A+B+C=① π ; (2)sin(B+C)=② sinA ,cos(B+C)=③-cosA , tan(B+C)=④ -tanA ;
A B?C (3)sin =⑤ cos 2 2 A B ? C sin (4)cos =⑥ ; 2 2

;

(5)tanA+tanB+tanC=⑦ tanAtanBtanC .

典例精讲
题型一 判断三角形的形状 例1 在△ABC中,A、B、C所对的边长分
别为a、b、c,且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2b2)sinC,试判断△ABC的形状.

(方法一)化成角的关系求解. 由条件可得, a2[sin(A-B)-sin(A+B)[=-b2[sin(A+B)+sin(A-B)]. 利用和差角公式展开,得a2cosAsinB=b2sinAcosB, 由正弦定理, 上式化为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB. 因为sinAsinB≠0,所以sinAcosA=sinBcosB, 即sin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角, ? 所以A=B,或A+B= 2 , 故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(方法二)化为边的关系求解.

由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,
可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c
2 2 2 2 2 2 a ? c ? b b ? c ? a )=(a2-b2)c ?(a2+b2)( 2c 2c

2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2 ( a ?

?a2+b2=c2或a=b.
故△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形.

点评三角形中的恒等式或三角形的形
状判断等问题,要注意根据条件的特 点灵活运用正弦定理或余弦定理 .一般 考虑两个方向进行变形,一个方向是 边,走代数变形之路,通常是正弦定 理、余弦定理结合使用;另一个方向 是角,走三角变形之路.

题型二 利用三角函数知识解三角形 例2 在△ABC中,
已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0,

sinB+cos2C=0,
求角A、B、C的大小.

(方法一)由sinA(sinB+cosB)-sinC=0, 得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0, 所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. 因为B∈(0,π),所以sinB≠0,从而cosA=sinA,
? 3? 由A∈(0,π),知A= ,从而B+C= , 4 4 3? 由sinB+cos2C=0,得sinB+cos2( -B)=0, 4

即sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0.
5? ? 由此得cosB= ,B= 3 ,C= 12 , ? 5? ? 所以A= 4 ,B= 3 ,C= 12 . 1 2

(方法二) 由sinB+cos2C=0,得 sinB=-cos2C=sin( 3? -2C). 由0<B、C<π,所以B= 即B+2C=
3? ? 或2C-B= 2 2 2 3? -2 C 或 B =2 C 2

? , 2

,

由sinA(sinB+cosB)-sinC=0, 得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,

所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,

即sinB(sinA-cosA)=0.

因为sinB≠0,所以cosA=sinA,
? 由A∈(0,π),知A= , 4 3?

从而B+C=

? ? 5? 再由2C-B= ,得B= ,C= , 12 2 3 ? 5? ? 所以A= ,B= ,C= 12 . 4 3

4

,知B+2C=

3? 2

不合要求,

点评本题主要考查三角形问题等知识,
关键是运用sin(A+B)=sinC代换及解题方向 的确定.

题型三 三角形中三角函数的应用
? 例3 有一块半径为1 m,中心角为 3 的扇 形铁皮材料,为了获得面积最大的矩形 铁皮,工人师傅常让矩形的一边在扇形 上,然后作其最大的内接矩形 .请求出最 大面积.

如图,设∠COB=α(0<α< 则BC=sinα=AD,OB=cosα.又
3 3 所以OA= AD= sinα, 3 3 所以AB=cosα- 3 sinα, 3 3

AD =tan OA

? ), 3

? , 3

则S矩形ABCD=sinα(cosα-

= sin2α+

1 2

当sin(2α+ 6)=1,即α= 时, 6 3 2 矩形面积取最大值 m .
6

?

3 cos2α6

3

sinα)
3 sin(2α+ 3

=3 6

)-

?
6

,

?

3 6

点评与圆相关的最值问题,常设角参
数(注意范围),把题目中出现的边 角用含角的三角函数表示,再转化求 三角函数的最值 . 其中确定是什么样的 三角形,用哪些定理或哪些边角关系, 列出等式或不等式是关键.

方法提炼
1.解斜三角形问题往往用到正弦定理与余 弦定理以及三角变换,解题时角度的选取是 关键.并关注角的取值范围.如已知两边及其中 一边的对角解三角形,要注意解的情况. 2.对于解斜三角形的实际应用问题,要理 解题意,分清已知与所求,根据题意画出示 意图,抽象或构造出三角形,把实际问题转 化为解三角形,要明确先用哪个公式或定理, 先求哪些量,确定解三角形的方法 .在演算过 程中,要算法简练,算式工整、计算正确, 还要注意近似计算的要求.

对于实际应用问题中的有关名词、术语、 要理解清楚,如坡度、俯角、仰角、方向角、 方位角等,正确画出图形是解题的关键. 3. 利用正、余弦定理可以进行边角互化, 有利于判断三角形的形状. 4. 解决三角形中的问题,要从统一着手, 或统一成角的关系,或统一成边的关系,要 视情况灵活处理.在解三角形时,要注意解题 的完整性,谨防失根.

课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007·

王新敞
奎屯

新疆


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