2.3.1 双曲线的标准方程 - 副本


双曲线的标准方程
辽宁省建昌县高级中学 刘丹

知识目标:了解双曲线的定义,几何图形和标准方程; 能根据双曲线的定义推导得出双曲线的标准方程; 能根据条件确定双曲线标准方程。 能力目标:通过与椭圆的类比、对照,了解双曲线的标准方程, 并培养学生分析、归纳、推理等能力; 过程与方法:通过双曲线定义及标准方程的推导过程, 培养学生分析、类比、归纳与探索能力。 情感态度与值观价:通过让学生探索双曲线的标准方程及几何图 形,激发学习数学的积极性,体会数形结合的思想、坐标法, 体会运动变化、对立统一的思想。 教学重点:双曲线的定义及标准方程 教学难点:双曲线的标准方程的推导:

4

3

2

1

-4

-2

2

4

6

-1

-2

-3

复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c , 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考: (1)2a<2c ;(2)2a>0; (3)差的绝对值;
F1 o F2 M

(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F1

O

F2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x2 a2

? b 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方程

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程 .

解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程 .
解: ∵ F1F2 ? 10 ,
PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

练习:
写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5);

3.a=5,c=7;
4.焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和

Q( 2

6, 2 2

)

小结:(1)双曲线的定义 (2)双曲线的标准方程 (3)双曲线与椭圆的区别

作业:课本57页第5题


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