高三数学复习 三角函数(含答案)


苏州市高三数学 三角函数
一、 填空题 1.角 ? ( 0 ? ? ? 2? )的终边过点 P( sin 【答案】

2? 2? , cos ) ,则 ? = 3 3

.

11? . 6

2? 1 ? 2? 2? 3 ? 2 ?? 3 ? 0,cos ? 0 ,所以点 P 在第四象限.又 tan ? ? [解析]? sin 2? 3 3 3 3 sin 3 2 11 ? 且 0 ? ? ? 2? ,所以 ? ? . 6 2.已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角为 弧度时,该扇形的面积最大. cos
【答案】2. [解析] 设半径为 r , 则弧长 l ? 6 ? 2r , 所以扇形的面积 S ? 当r ?

1 1 lr ? (6 ? 2r )r ? ?r 2 ? 3r , 2 2

3 l 时, S 有最大值.此时, l ? 3 ,所以,得 ? ? ? 2 . 2 r
sin ?? ? 3π ? ? cos ? π ? ? ? sin ? ?? ? ? cos ? π ? ? ?

3. 已知 tan ? ? 2 ,则 【答案】 3 .



.

[解析]根据诱导公式原式等于

? sin ? ? ?? cos ? ? , ? sin ? ? cos ?
? tan ? ? 1 ? 3. ? tan ? 1

然后再上下同时除以 cos? ,得到

4.若 ? ? (0,? ),sin ? ? cos? ? 1 ,则 tan ? ?

2

1 = tan ?



【答案】 ?

2 7 . 3

1 3 [解析]将 sin ? ? cos ? ? 1 两边平方,得到 1 ? 2sin ? cos ? ? ,所以 sin ? cos ? ? ? .

2

4

8

2 所以 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ?

7 . 4

由于 ? ? (0,? ) ,且 sin ? cos ? ? 0 ,所以 sin ? ? 0,cos ? ? 0.

所以 sin ? ? cos ? ? 0 ,所以 sin ? ? cos ? ?

7 . 2

根据同角三角函数的关系,得 tan ? ?

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? ? tan ? cos ? sin ? sin ? cos ?

?

(sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? ) 2 7 . ?? sin ? cos ? 3

[说明]应重视二倍角公式与同角三角函数关系综合运用非常重要,尤其应关注以下几个 三角函数式之间的互化:

sin ? ? cos? , sin ? ? cos? , sin 2? , sin ? ? cos? , tan ? ?

1 ?π ? , tan ? +? ? . tan ? ?4 ?

涉及的公式如下: (sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin ? ? cos? ? 1 ? sin 2? ,

tan ? ?

1 1 2 ?π ? cos? ? sin ? ? ? , tan ? ? ? ? ? . tan ? sin ? ? cos? sin 2? ?4 ? cos? ? sin ?
π 3 2 π 2π ,其中 ? ? ( , ) ,则 cos ? ? 3 6 3

5.已知 sin(? ? ) ?

.

【答案】

2 3? 5 . 6
π 2π π π π 5 ) ,则 ? ? ? ( , π ) , cos(? ? ) ? ? , 6 3 3 2 3 3
π 3 π 3

[解析] ? ? ( ,

所以 cos ? ? cos((? ? ) ? ) ?

? cos(? ? ) ? cos ? sin(? ? ) ? sin

π 3

π 3

π 3

π 3

? (?

5 1 2 3 2 3? 5 )? ? ? ? . 3 2 3 2 6
π 2 4 5


6.已知 ? ? (? ,0), cos( π ? ? ) ? ? ,则 tan 2? ? 【答案】 ?

24 . 7
4 5 3 5 3 4

sin ? ? ? ,tan? =- , [解析]由题意得: cos ? ? ,

tan 2? ?

2 tan ? 24 ?? . 2 1 ? tan ? 7

7.设 ? 为锐角,若 cos(? ? 【答案】

?
6

)?

? 4 ,则 sin(2? ? ) 的值为________. 12 5

17 2 . 50

[解析]因为 ? 为锐角, cos(? ?

?
6

)?

4 ? 3 ? 24 ,所以 sin(? ? ) ? , sin 2(? ? ) ? , 5 6 5 6 25

cos 2(? ?

?
6

)?

7 , 25

? ? ? 24 2 7 2 17 2 ? . ) ? sin ?2(? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 12 6 4 ? 25 2 25 2 50 ? 8.设 ?,? ? ? ?,?? ,且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值为 13 2 2
所以 sin(2? ? 【答案】 ? 16 .

?



65

1 2 2 ? 2 ? 4 ?3? 2 , [解析]由题意 cos ? ? ? ? ? 1 5 2 cos 2 ? sin 2 1 ? tan 2 1? 2 2 2 4 π π 4 又 ? ? (0, π) ,∴ sin ? ? 且 ? ? ( , ) , 4 2 5 4 5 ? sin(? ? ? ) ,且 ? ? ? ? ? , 由于 sin ? ? ? 5 13 π ∴ ? ? ? ? ( , π) . 2 12 ∴ cos(? ? ? ) ? ? . 13 16 ∴ cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin(? ? ? )sin ? ? ? . 65 cos 2 ? sin 2 1 ? tan 2 1?
9.若 2 tan ? ? 3tan

?

?

?

?
8

,则 tan ? ? ?

? ?

??

?? 8?

.

【答案】

5 2 ?1 . 49

3 ? ? ? ? ? tan ? tan tan sin cos π 8 8 ? 8 8 8 [解析] tan(? ? ) ? 2 ? 3 2? ? ? ? 4 1 ? tan 2 ? 3tan 2 2cos 2 ? 3sin 2 2 8 8 8 8

2 1 1? 5 2 4 ? ? ? ?? ? ?? 49 ? 2 ?1+cos ? ? 3?1 ? cos ? 10 ? 2 5 2 ? 1 4? ? 4? ? π 10.设 ? ? 0 ,若函数 f ( x ) ? sin(? x ? ) 的图像向左平移 4 π 个单位与原图像重合,则 ? 4 ?
的最小值为 .

sin

?

1 【答案】 . 2
[解析]由题意可知 4 π 应为函数 f ( x ) ? sin(? x ? 所以 k ?

?
4

) 的周期的整数倍,



? 因为 ? ? 0 ,

? 4π,(k ? Z ) ,解得: ? ?

k (k ? Z ) . 2

所以当 k ? 1 时, ? min ?

1 . 2
? π π? ? ?

11.已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 3 cos ? x ? ? ? ,? ? ? ? , ? ,且函数 f ? x ? 是偶函数,则 2 2

? 的值为
【答案】



π . 6

[解析] f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 3 cos ? x ? ? ? ? 2sin ? x ? ? ? 因为函数 f ? x ? 是偶函数, 所以 ? ?

? ?

π? ?, 3?

? 2k ? 1? π ? π π ? 2k ? 1? π ? ,?? ? , 3 2 2 3

π ? π π? ? ? ? ? ? , ? , ?? ? . 6 ? 2 2?
12.在同一直角坐标系中,函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

1 ? ? x ? ? 0,2? ?? 的图像和直线 y ? 2 的交 3?

点的个数是 【答案】 2 . [解析]令 sin ? x ?

.

? ?

? ? ? 5? ?? 1 ? ? ,可得 x ? 3 ? 2k? ? 6 或 x ? 3 ? 2k? ? 6 ,k ? Z , 3? 2
? ? 或 x ? 2k? ? . 2 6
11? ? 1 或x? , 故原函数图像与直线 y ? 的交点个数为 2 . 2 6 2

即 x ? 2k? ?

又 x ? ?0,2? ? , 所以 x ?

13. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且

?

6

f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是__________. 2
【答案】 ? k? ?

?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z )

[解析] : 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 则 f (

?

?

6

) ? s i n (? ? ? ) ,1所 以 6 3

?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z , ? ? k? ?

?

, k ? Z . 由 f ( ) ? f (? ) ,( k ? Z ), 可 知 2 6
, 0 所 以 ? ? 2 k? ?

?

sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) , 即 s i? n ?

?
6

,k ? Z

, 代 入

? (2 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 得 f ( x)? s i n x 6 k? ?

?

) 2k? ? ,由

?
2

剟 2 x?

?
6

2? k?

?

2

,得

?
3

剟x

k? ?

?
6

.

14. 将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 【答案】

?
2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,
,则 ? = .

min

?

?
3

? . 6
?
2
, 所以当 x1 ? x2

[解析] 由已知得 g ( x) ? sin(2 x ? 2? ) , 又 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 ,0 ? ? ?

取最小值时,刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点.令 2 x1 ? 则 x1 ? x2 ?

?
2

, 2 x2 ? 2? ? ?

?
2



?
2

?? ?

?
3

,得 ? ?

?
6



15.定义在区间 ? 0, ? 上的函数 f ? x ? ? 8sin x ? tan x 的最大值为 【答案】 3 3 . [解析]由 f ? x ? ? 8sin x ? tan x ,得 f ? x ? ? 8sin x ?

? ?? ? 2?

.

sin x cos2 x ? sin2 x 8cos2 x ? 1 , f ? ? x ? ? 8cos x ? ? ? 0, cos x cos2 x cos2 x

解得 cos x ? ,即 x ?

1 2

? ? ?? ?? ? ? ,则函数在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减,故函数 f ? x ? 的 3 ? 3? ?3 2?

最大值为 f ? ? =4 3 ? 3 ? 3 3

?? ? ?3?

.

16.三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 cos A ? 则b ? .

4 5 , cos C ? , a ? 1, 5 13

21 【答案】 . 13 4 3 12 ,所以 sin A ? ;同理, sin C ? , 5 5 13 3 5 4 12 63 b a ? ? 则 sin B ? sin( A ? C ) ? ? ? ? , 有 正 弦 定 理 , 可 得 5 13 5 13 65 s iB n sAi n a sin B 21 b? ? . sin A 13 a?b 17.已知直角三角形的三边 a , b, c ,满足 a ? b ? c ,则 的取值范围是 . c
[解析]因为 A 是三角形的内角, cos A ? 【答案】 (1, 2) [解析]有正弦定理有,

a ? b sin A ? sin B ? ? sin A ? sin B ? sin A ? cos A c sin C ? ? a?b ? 2 sin( A ? ) , A ? (0, ) ,所以, ? (1, 2) . 4 4 c

18.若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是______.

6? 2 . 4 [解析]设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,
【答案】 则由正弦定理得 a ? 2b ? 2c .

a ? 2b 2 3 2 1 2 2ab 3 2 1 2 2 2 a ? b a ? b ? a 2 ? b2 ? c2 a ? b ? ( 2 ) 2 ? 2 2 2 ?4 故 cos C ? ? ?4 2ab 2ab 4 2ab 2ab 3 1 2 a 2 b2 4 2 ? 2 ? 6? 2, ? 2ab 4 4
当且仅当 3a 2 ? 2b2 ,即

a 2 时等号成立. ? b 3

19.在锐角三角形 ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,

b a ? ? 6cos C ,则 a b

tan C tan C ? =__________. tan A tan B
【答案】4 . [解析]根据余弦定理,

b a ? ? 6 cos C 可化为 2a 2 ? 2b2 ? 3c 2 , a b tan C tan C cos A cos B ? ? tan C ( ? ) tan A tan B sin A sin B
sin C sin C 2ab c2 ? ? 2 ? ? 4. cosC sin A sin B a ? b 2 ? c 2 ab
1 1 ? 的取值范围是__________. tan A tan B

?

20.在三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若三角形 ABC 为锐角三角形, 且满足 b2 ? a 2 ? ac ,则

【答案】 (1,

2 3 ). 3

1 1 cos A cos B sin B cos A ? cos B sin A sin( B ? A) ? ? ? ? ? . tan A tan B sin A sin B sin A sin B sin A sin B 由 b2 ? a 2 ? ac 得 b2 ? a 2 ? ac ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 a ? c ? 2a cos B ,也就是
[解析]原式可化

sin A ? sin C ? 2sin A cos B ,即 sin A ? sin( A ? B) ? 2sin A cos B ? sin(B ? A) ,

由于三角形 ABC 为锐角三角形, 所以有 A ? B ? A , 即 B ? 2A , 故

? a tn A a tn

1

1 B s n i

?

1 B



在锐角三角形 ABC 中易知,

?
3

?B?

?
2

,

3 1 1 2 3 ? sin B ? 1 故 ? ? (1, ). 2 tan A tan B 3

二、 解答题 21. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为事变做锐角 ? ,其终边与单位圆交 于点 A .以 OA 为始边作锐角 ? ,其终边与单位圆交于点 B , AB = (1)求 cos ? 的值; (2)若点 A 的横坐标为

2 5 . 5

5 ,求点 B 的坐标. 13

【答案】 (1) [ 解

3 ? 33 56 ? , ?. ; (2) B ? ? 5 ? 65 65 ? ?AOB 析 ] (1) 在
2 2 2


2















?2 5? 12 ? 12 ? ? ? 5 ? 3 OA ? OB ? AB ? cos ?AOB ? ? ? , 2OA? OB 2 ?1?1 5
(2) 因为 cos ? ? , ? ? ? 0,

4 ?3? ? ?? 2 ? ,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? 5 ? ? 5 , ? ? ? 2? 5 5 因为点 A 横坐标为 ,由三角函数定义可得, cos ? ? . 13 13

3 5

2

12 ?5? 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 13 ? 13 ? 5 3 12 4 33 ? ? ? ?? 所以 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 13 5 13 5 65 ,
2

2

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?
所以点 B ? ?

12 3 5 4 56 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 ,

? 33 56 ? , ?. ? 65 65 ?

? ? 0) 22.已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? π ( A ? 0 , 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π , 3
且经过点 ( π , 3 ) . 3 2

?

?

(1)求函数 f ( x) 的解析式;
π) ,求角 ? 的值. (2)若角 ? 满足 f (? ) ? 3 f (? ? π ) ? 1 , ? ? (0 , 2

?? ? ? 5? . 【答案】 (1) f ( x) ? sin ? x ? ? ; (2) ? ? 或 3? 6 6 ?
[解析] (1)由条件知周期 T ? 2? ,即

2?

?? ? =2? ,所以 ? ? 1 ,即 f ( x) ? A sin ? x ? ? . 3? ? ?
? ?? 2? 3 , 所以 A ? 1 , 所以 f ( x) ? sin ? x ? ? . ? 3 2 ? 3?

, ?, 因为 f ( x) 的图像经过点 ? ? ? 所以 A sin

??

3? ?3 2 ?

?? ?? ? ?? ? ? ? (2)由 f (? ) ? 3 f ? ? ? ? ? 1 ,得 sin ? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 1 , 2? 3? 3 2? ? ? ?
?? ?? ?? ?? ?? 1 ? ? 即 sin ? ? ? ? ? 3 cos ? ? ? ? ? 1 ,所以 2sin ?? ? ? ? ? ? ? 1 ,即 sin ? ? . 3? 3? 3? 3? 2 ? ? ??
因为 ? ? ? 0, ? ? ,所以 ? ?

?
6



5? . 6

23. 已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0) 图

象上的任意两点,且角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最 小值为

? . 3

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 的单调递增区间; (3)当 x ? ?0,

? ?? 时,不等式 mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 6? ?
?
3 );

【答案】 (1) f ( x ) ? 2sin(3 x ?

[解析] (1)角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) , tan ? ? ? 3 ,

??

?
2

? ? ? 0 ,?? ? ?

?
3

.

由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 得T ?

? , 3

2? 2? 2? ? ,即 ,? ? ? 3 3 ? 3

∴ f ( x ) ? 2sin(3 x ? (2) ?

?
3

)

?
2

? 2 k? ? 3 x ?

?
3

?

?
2

? 2 k ? ,即 ?

?
18

?

2 k? 5? 2k? ?x? ? , 3 18 3

? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ?
(3) 当 x ? ?0,

? ? 2k? 5? 2k? ? k?z ? , ? 3 18 3 ? ? 18 ?

? ?? 时, ? 3 ? f ? x ? ? 1 , ? 6? ?

于是, 2 ? f ? x ? ? 0 , mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? 等价于 m ?

2 ? f ? x?

f ? x?

? 1?

2 2 ? f ? x?

由 ? 3 ? f ? x? ? 1 , 得

2 ? f ? x?

f ? x?

的最大值为

1 3

所以,实数 m 的取值范围是 m ?

1 . 3

24.已知向量 m ? ( 3 cos x, ?1) , n ? (sin x,cos2 x) .
(1)当 x ?

π 时,求 m ? n 的值; 3

3 1 ? π? ? ,求 cos 2 x 的值. (2)若 x ? ? 0, ? ,且 m ? n ? 3 2 ? 4?

【答案】 (1)

1 3 2? 3 ; (2) cos 2 x ? . 2 6
3 3 1 π 时, m ? ( , ?1) , n ? ( , ) , 2 2 4 3

[解析] (1)当 x ?

所以 m ? n ? (2) m ? n =

3 1 1 ? ? . 4 4 2
3 cos x sin x ? cos2 x

?

3 1 1 π 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2

若 m?n ?

3 1 π 1 3 1 π 3 ? ,则 sin(2 x ? ) ? ? ? ,即 sin(2 x ? ) ? , 3 2 6 2 3 2 6 3 π 6 π ,所以 cos(2 x ? ) ? , 6 3 3

π π π 因为 x ?[0, ] ,所以 ? 剟2x ? 4 6 6

π π π 3 π 1 ? sin(2 x ? ) ? 则 cos 2 x ? cos[(2 x ? ) ? ] ? cos(2 x ? ) ? 6 6 6 2 6 2
? 6 3 3 1 3 ?2 3 ? ? ? ? . 3 2 3 2 6

25.在三角形 ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 (1)证明: sin A sin B ? sin C ;
2 2 2 (2)若 b ? c ? a ?

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 bc ,求 tan B . 5

【答案】 (1)见详解; (2)4.

a b c ? ? ? k (k ? 0) . sin A sin B sin C 则 a ? k sin A, b ? k sin B, c ? k sin C . cos A cos B sin C cos A cos B sin C ? ? ? ? 代入 中,有 , a b c k sin A k sin B k sin C 变形可得 sin Asin B ? sin A cos B ? cos Asin B ? sin( A ? B) . 在三角形 ABC 中,由 A ? B ? C ? ? ,有 sin( A ? B) ? sin(? ? C ) ? sin C , 所以 sin A sin B ? sin C .
[解析] (1)根据正弦定理,可设
2 2 2 (2)由已知 b ? c ? a ?

6 b2 ? c2 ? a 2 3 bc ,根据余弦定理,有 cos A ? ? . 5 2bc 5

4 ,由(1) sin A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 5 4 4 3 所以 sin B ? cos B ? sin B . 5 5 5 sin B ?4. 故 tan B ? cos B
所以 sin A ? 26.如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种 植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆 周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要, 该光源照射范围是 ?ECF ?

π ,点 E , F 在直径 AB 上, 6

且 ?ABC ?

π . 6

(1)若 CE ? 13 ,求 AE 的长; (2)设 ?ACE ? ? , 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积. 【答案】 (1) AE ? 1 或 AE ? 3 ; (2)该地块产生的经济价值最大时种植甲种水果的面积 为4 3. [解析] (1)连结 AC . 已知点 C 在以 AB 为直径的半圆周上, 所以 ?ABC 为直角三角形, 因为 AB ? 8 , ?ABC ? 所以 ?BAC ?

π , 6

π , AC ? 4 . 3

在 ?ACE 中由余弦定理 CE 2 ? AC 2 ? AE 2 ? 2 ACAE cos A ,且 CE ? 13 , 所以 13 ? 16 ? AE 2 ? 4 AE , 解得 AE ? 1或 AE ? 3 .

π π , ?ECF ? , 2 6 π 所以 ?ACE ? ? ? [0, ] , 3
(2)因为 ?ACB ? 所以 ?AFC ? π ? ?A ? ?ACF ? π ?

π ? π? π ? ?? ? ? ? ? ? . 3 ? 6? 2

在 ?ACF 中由正弦定理得:

CF AC AC AC , ? ? ? sin A sin ?CFA sin( ? ? ? ) cos ? 2

所以 CF ?

2 3 . cos ?

在 ?ACE 中,由正弦定理得:

CE AC AC . ? ? sin A sin ?AEC sin( ? ? ? ) 3

所以 CE ?

2 3 sin( ? ? ) 3

?



若产生最大经济效益,则 ?ECF 的面积最大,

1 S ?ECF ? CE ? CF sin ?ECF ? 2
因为 ? ? [0, ] ,

sin( ? ? )cos? 3

?

3

?

12

2sin(2? ? ) ? 3 3

?



?

3

所以 0 ≤ sin(2? ? 所以当 ? =

?
3

) ≤ 1.

?
3

时, S?ECF 取最大值为 4 3 ,此时该地块产生的经济价值最大.

三、

课本改编题

1. [2012 版 《高中数学必修 4》 P 123 习题 11]如图,在正方形 ABCD 中, P, Q 分别在

BC , CD 上, PB ? QD ? PQ ,利用两角和(差)的正切公式证明: ?PAQ ?

?
4



改编题 1:如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中, P, Q 分别是 BC , CD 上的动点,且

?PAQ ?

?
4

,求 ?PCQ 的周长.

解析:设 ?BAP ? ? ,则 ?QAD ? 所以 BP ? tan ? , QD ? tan(

?
4

??

?
4

??) ,

所以, CP ? 1 ? tan ? , CQ ? 1 ? tan(

?
4

??) ?

2 tan ? 1 ? tan ?

所以, PQ ? CP 2 ? CQ 2 ? (1 ? tan ? )2 ? (

2tan ? 2 1 ? tan 2 ? ) ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

则三角形的周长 PC ? QC ? PQ ? 1 ? tan ? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ? 2 ? 2 tan ? ? ? ?2. 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

改编题 2:如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中, P, Q 分别是 BC , CD 上的动点,且

?PAQ ?

?
4

,求 ?PCQ 的面积的最大值.

1 1 2 tan ? ? tan 2 ? ? tan ? S ? CP ? CQ ? (1 ? tan ? )( ) ? 解析: ?PCQ 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan ?
令 1 ? tan ? ? m , m ? ?1,2? 则 S?PCQ ?

?(m ? 1) 2 ? m ? 1 ?m2 ? 3m ? 2 2 ? ? ?( m ? ) ? 3 ? 3 ? 2 2 m m m

当且仅当 m ? 2 ,即 tan ? ? 2 ? 1 时取等.

所以 ?PCQ 的面积的最大值为 3 ? 2 2 . 改编题 3:如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中, P, Q 分别是 BC , CD 上的动点,且

?PAQ ?

?
4

,求 ?PAQ 的面积的最小值.

解析: S?PAQ ? 1 ? S?PCQ ? S?ADQ ? S?ABP ? 1 ?

? tan 2 ? ? tan ? 1 1 ? ? tan ? ? tan( ? ? ) 1 ? tan ? 2 2 4

?

1 1 ? tan 2 ? 1 1 ? (m ? 1) 2 1 2 1 ? ? ? ? ? (m ? ? 2) ? ? (2 2 ? 2) ? 2 ? 1 2 1 ? tan ? 2 m 2 m 2

当且仅当 m ? 2 ,即 tan ? ? 2 ? 1 时取等. 所以 ?PAQ 的面积的最小值为 2 ? 1 . 2. [2012 版《高中数学必修 4 P 117 练习 5》]如图,在某开发区新建两栋高 楼 AB, CD ( AC 为水平地面) , P 是 AC 的中点,在点 P 处测得两楼顶 的张角 ?BPD ? 45?, AB ? AC ? 50cm .试求楼 CD 的高度(测量仪器 的高度不计) .

D B

A

P

C

自编题:如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 边的中点, M 为 AB 上异于 顶点的动点,则当 ?DME 最大时, BM ? ______. 【答案】 10 ? 2
D C

?EMB ? ? , BM ? x , 0 ? x ? 2 , [解析]设 ?DMA ? ? ,
则 tan ? ?

E A B

2 1 , tan ? ? . 2? x x
tan ? ? tan ? . tan ? ? tan ? ? 1

M

tan ?DME ? ? tan(? +? )=

化简整理得: tan ?DME ? f ( x) ?

x?2 . x ? 2x ? 2
2

求导得 f '( x) ?

? x2 ? 4 x ? 6 , ( x 2 ? 2 x ? 2) 2
10 +3 . 2

易得 x ? 10 ? 2 时, tan ?DME 取得最大值

[说明] (1)课本原题是一道练习题,涉及的知识点比较单一.改编成函数应用题后,既 考查两角和的正切公式,还增加了对函数求导、基本不等式等内容的考查,适合作为高考 填空题中的 11-12 题. (2)若用基本不等式来解时,解析式的变形方法如下:

1 10 10 ? ? x?4? ? ( x ? 2) ? 6 . f ( x) x ? 2 x?2
(3)本题还可以转化为:求过 B、D 两点的圆与直线 AB 的切点位置. 3.[2012 版《高中数学必修 5》 P 21 习题 7]把一根长度为 30cm 的木条锯成两段,分别作 钝角 ?ABC 的两边 AB 和 BC , 且 ?ABC ? 120 . 如何锯断木条, 才能使第三条边 AC 最
?

短? 自编题 1:把一根长度为 30m 的钢梁锯成两段,分别作厂房三 角形屋顶支架的两边 AB 和 BC , 且 ?ABC ? 120 . 如何锯断
?

钢梁,才能使三角形支架横梁 AC 上的高最长? 【答案】 7.5 m. [解析]设 BC ? a, BA ? c ,则 a ? c ? 30 , 又设 AC 上的高为 h ,则 S ?ABC ?

1 1 AC ? h ? ac sin120? . 2 2

整理得: h ?
2

3 a 2c 2 3a 2c2 . ? = 4 a 2 ? c 2 ? 2ac cos120? 4(a 2 ? c 2 ? ac)
3a2c2 ac 1 ? a ? c ? 225 , ? ≤ ?? ? = 12ac 4 4 ? 2 ? 4
2

由基本不等式得: h2 ≤

当且仅当 a ? c 时取等号.

?h ≤

15 ,当 ?ABC 为等腰三角形时,底边上的高最大,且最大值为 7.5 m. 2

自编题 2: 把一根长度为 30cm 的木条锯成三段, 分别作 ?ABC 的三边, 且 ?ABC ? 120 . 如
?

何锯断木条,才能使 ?ABC 面积最大? 【答案】 225 (7 3 ?12)cm
2

S?ABC ? [解析]设 BC ? a, BA ? c ,则 AC ? 30 ? (a ? c),

1 ac sin120? . 2

由余弦定理得: AC 2 ? [30 ? (a ? c)]2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos120? ? a2 ? c2 ? ac . 整理得: 900 ? ac ? 60(a ? c) . 由基本不等式得: 900 ? ac ? 60(a ? c) ≥120 ac . 令 ac ? x ,则 x ? 120 x ? 900 ≥ 0 ,
2

解得 x ≤ 60 ? 30 3 ,或 x ≥ 60+30 3 . 又由 a ? c ? 30 ? (a ? c) ? 0 得: 15 ? a ? c ? 30 ,

? x ? ac ? 15 .
故 x ≥ 60+30 3 不合题意.


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