1.2.3导数的四则运算法则 (1)


1.2.3 导数的四则运算法则

一、复习回顾 1、基本求导公式:

(1)C ? ? 0(C为常数) ? ' ? ?1 (2)( x ) ? ?x (?为常数) x x ' (3)(a ) ? a lna(a ? 0, 且a ? 1)
(4)(log a x ) ?
'

1 (a ? 0, 且a ? 1) xlna

(5)(e ) ? e
x '
'

x

(6)(lnx) ?
'

1 x

(7)(sinx ) ? cosx ' (8)(cosx) ? ? sinx

注意:关于a x 和x a 是两个不同

的函数,例如:

(1)(3 )? ? 3 ln 3
x

x

(2)(x )? ? 3 x
3

2

2、由定义求导数(三步法)

步骤:
(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x

?y (3) 当?x ? 0, ? 常数 ?x

一.函数和(或差)的求导法则 法则1: 两个函数的和(或差)的导数,

等于这两个函数的导数的和(或差),即:

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x).

证明:令y=f(x)+g(x),则
?y ? f ( x ? ?x) ? g ( x ? ?x) ? [ f ( x) ? g ( x)]
? [ f ( x ? ?x) ? f ( x)] ? [ g ( x ? ?x) ? g ( x)] ? ?f ? ?g

?y ?f ?g ? ? ?x ?x ?x
?y ?f ?g ? ?f ?g ? lim ? lim ? ? ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ? ?x?0 ?x ?x?0 ?x ?



[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x).

同理可证

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x).
推广:这个法则可以推广到任意有限个 函数, 即

( f1 ? f2 ?

? fn )' ? f1 '? f2 '?

? fn '

例 1. (1)求函数f ( x) ? x ? sin x的导数.
2

解:f ?( x) ? ( x ? sin x)?
2

? ( x )? ? (sin x)? ? 2 x ? cos x
2

3 2 (2)求函数g ( x) ? x ? x ? 6 x ? 2的导数. 2
3

3 2 解:g ?( x) ? ( x ? x ? 6 x)? 2 3 2 3 2 ? ? ? ? ( x ) ? ( x ) ? (6 x ) ? 3 x ? 3 x ? 6 2
3

二.函数积的求导法则
设f(x),g(x)是可导的函数,则

[ f ( x) g ( x)]' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x)
即:两个函数的积的导数,等于第一 个函数的导数乘以第二个函数,加上第 一个函数乘以第二个函数的导数。

推论: [Cf ( x)]? ? Cf ?( x).(C为常数)
例2.求y=xsinx的导数。

解 : (1) y ? ( x sin x)? ? x? sin x ? x(sin x)? ? sin x ? x cos x
'

例3.求y=sin2x的导数。 ' 解 : (1) y ? (2 sin x cos x)?

? 2(cosx cos x ? sin x sin x) ? 2 cos 2 x

三.函数的商的求导法则
?

设f(x),g(x)是可导的函数,g(x)≠0,
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的 积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的 平方 。 即

?

f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) [ ]' ? g ( x) g 2 ( x)

例4.求y=tanx的导数。

sin x ' 解 : (1) y ? ( ) cos x
'

cos x cos x ? sin x sin x 1 ? ? 2 2 cos x cos x

1? x 练习:求y= 3 ? x 的导数.

练 习

1.求 y ? 2x ? 3x ? 5x ? 4 的导数

3

2

解 : y? ? (2 x ? 3x ? 5x ? 4)?
3 2

? 6x ? 6x ? 5
2

2. 用两种方法求y ? (2x ? 3)(3x ? 2) 的导数
2 2 解: 法一:y? ? (2x ? 3)?(3x ? 2) ? (2x ? 3)(3x ? 2)?

2

? 4 x ( 3 x ? 2) ? ( 2 x ? 3) ? 3
2

? 18 x ? 8 x ? 9 3 2 法二: y? ? (6 x ? 4 x ? 9 x ? 6)?
2

? 18 x ? 8 x ? 9
2

x 3. 求y ? 的导数 sin x

2

( x ) ? sin x ? x ? (sin x) 解:y ? 2 sin x
2 ' 2 '

'

2 x sin x ? x cos x ? 2 sin x
2

x?3 4. 求 y ? 2 在点x ? 3处的导数 x ?3

1? ( x ? 3) ? ( x ? 3) ? 2 x 解:y ? 2 2 ( x ? 3)
2 '

? 3 ? 6?3 ? 3 1 当x ? 3时, f ?(3) ? ?? 2 2 (3 ? 3) 6
2

? x ? 6x ? 3 ? 2 2 ( x ? 3)
2


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