高三数学第一轮复习专题一 第三讲


第三讲

分类与整合思想

1. 在解答某些数学问题时,有时需要对各种情况进行分类,并逐类求解,然后综合得解, 这就是分类与整合的思想.分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方 法. 2. 分类的原则是:(1)分类的对象确定,标准统一;(2)不重复,不遗漏;(3)分层次,不越级 讨论. 3. 中学数学中可能引起分类讨论的因素: (1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、 直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数, 对数运算中真数与底数的要求, 指数运算中底数的要求, 不等式中两边同乘以一个正数、 负数,三角函数的定义域,等比数列{an}的前 n 项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图 象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会导 致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 总之,分类讨论要明确讨论的原因和对象,确定讨论标准,最后要对讨论进行总结;可 以不分类的就不要分类讨论.

1. (2013· 安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 解析 当 a=0 时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增; B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

当 a<0 时,结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如 图(1)所示;

当 a>0 时, 结合函数 f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|的图象知函数在(0, +∞)上先增后减再增, 不符合条件,如图(2)所示. 所以,要使函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需 a≤0. 即“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增”的充要条件. 2. (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y =2x 上,则 cos 2θ 等于 4 3 A.- B.- 5 5 答案 B 解析 设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点, t 则 cos θ= . 5|t| 5 5 当 t>0 时,cos θ= ;当 t<0 时,cos θ=- . 5 5 2 3 因此 cos 2θ=2cos2θ-1= -1=- . 5 5 1 x 3. (2012· 四川)函数 y=a - (a>0,且 a≠1)的图象可能是 a ( 3 C. 5 4 D. 5 )

(

)

答案 D 1 1 解析 当 a>1 时,y=ax- 为增函数,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1,排除 A,B. a a 1 1 x 当 0<a<1 时,y=a - 为减函数,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故选 D. a a 4. (2013· 天津)已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A.若 1 ?- ,1??A,则实数 a 的取值范围是 ( ) ? 2 2? ?1- 5 ? ? 1- 3 ? A.? B.? ,0? ,0? ? 2 ? ? 2 ? 1- 5? ?1- 5 ?∪? 1+ 3? ? C.? D.?-∞, ? ? ,0? ?0, 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 答案 A 1 1 - , ??A,∴f(a)<f(0), 解析 ∵? ? 2 2? ∴a(1+a|a|)<0,解得-1<a<0,可排除 C. 1 ? ? 1? ∵f? ?-2+a?<f?-2?,

1 ?? ? 1 ?? 1? a? ∴? ?-2+a??1+a?-2+a??<-2?1+2?, 1 ?? 1 ? 5 ∴a? ?-2+a??-2+a?<-4a. 1 ?? 1 ? 5 ∵-1<a<0,∴? ?-2+a??-2+a?>-4, 1 ?2 5 ? 1 ?2 5 ∴-? ?-2+a? >-4,∴?-2+a? <4, 1- 5 ∴ <a<0.排除 B,D.应选 A. 2 1 |a| 5. (2013· 天津)设 a+b=2,b>0,则 + 的最小值为________. 2|a| b 3 答案 4 1 |a| 1 a a+b a 1 ? b a? 5 解析 当 a>0 时, + = + = + = +?4a+b?≥ ; 2|a| b 2a b 4a b 4 4 -a -a a+b -a 1 |a| 1 1 ? b 1 3 + ?≥- +1= . 当 a<0 时, + = + = + =- +? 2|a| b -2a b -4a b 4 ?-4a b ? 4 4 ? 1 |a| 3 综上所述, + 的最小值是 . 2|a| b 4

题型一 由数学概念、运算引起的分类讨论 2 ? ?sin?πx ?,-1<x<0, ? 例 1 函数 f(x)= x-1 若 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能值为 ?e ,x≥0, ? 2 A.1 B.1,- 2 2 2 C.- D.1, 2 2

(

)

审题破题 由于 f(x)为分段函数,故求 f(a)时要分-1<a<0,a≥0 两种情形讨论. 答案 B 解析 f(1)=e0=1,即 f(1)=1.


当 a≥0 时,f(a)=1=ea 1,∴a=1. 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2)=1, π ∴πa2=2kπ+ (k∈Z). 2 1 1 ∴a2=2k+ (k∈Z),k 只取 0,此时 a2= . 2 2 2 ∵-1<a<0,∴a=- . 2 反思归纳 (1)分段函数在自变量不同取值范围内,对应关系不同,必须进行讨论.由数 学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定,解决这类问题要求熟练掌握并理解概念 的内涵与外延. (2)在数学运算中,有时需对不同的情况作出解释,就需要进行讨论,如解二元不等式涉

及到两根的大小等. 变式训练 1 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn-1(p 是常数),则数列{an}是 A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 答案 D 解析 ∵Sn=pn-1, ∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn 1(n≥2),


(

)

当 p≠1 且 p≠0 时,{an}是等比数列; 当 p=1 时,{an}是等差数列; 当 p=0 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列. (2)若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 答案 D 解析 由题意知 a=0 时,满足条件.a≠0 时, ? ?a>0 由? 得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 2 ?Δ=a -4a≤0 ? 题型二 由图形或图象引起的分类讨论 x2 y2 例 2 设 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一个直 9 4 |PF1| 角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|.求 的值. |PF2| 审题破题 直角三角形关键是确定直角顶点, 由|PF1|>|PF2|知, 只需分∠PF2F1 和∠F1PF2 分别为直角两种情况即可. 解 若∠PF2F1=90° , B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4} ( )

则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 又∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5, |PF1| 7 14 4 解得|PF1|= ,|PF2|= ,∴ = . 3 3 |PF2| 2 若∠F1PF2=90° , 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20, 又|PF1|>|PF2|,∴|PF1|=4,|PF2|=2, |PF1| |PF1| 7 ∴ =2.综上知, = 或 2. |PF2| |PF2| 2

反思归纳 (1)本题中直角顶点的位置不定,影响边长关系,需按直角顶点不同的位置进 行讨论. (2)涉及几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性,需要根据图形的特征 进行分类讨论. 变式训练 2 已知 m∈R,求函数 f(x)=(4-3m)x2-2x+m 在区间[0,1]上的最大值. 4 解 ①当 4-3m=0,即 m= 时, 3 4 函数 y=-2x+ ,它在[0,1]上是减函数. 3 4 所以 ymax=f(0)= . 3 4 ②当 4-3m≠0 时,即 m≠ 时,y 是二次函数. 3 4 1 ⅰ若 4-3m>0,即 m< 时,二次函数 y 的图象开口向上,对称轴 x= >0,它在[0,1] 3 4-3m 上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值, 故不需讨论区间与对称轴的关 系). f(0)=m,f(1)=2-2m. 4 2 4 当 m≥2-2m,又 m< ,即 ≤m< 时,ymax=m. 3 3 3 4 2 当 m<2-2m,又 m< ,即 m< 时,ymax=2-2m. 3 3 4 1 ⅱ若 4-3m<0, 即 m> 时, 二次函数 y 的图象开口向下, 又它的对称轴方程 x= <0, 3 4-3m 所以函数 y 在[0,1]上是减函数,于是 ymax=f(0)=m. 由①、②可知,这个函数的最大值为 2 2-2m,m< , 3 ymax= 2 m,m≥ . 3

? ? ?

题型三 由参数引起的分类讨论 例3 已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.讨论函数 f(x)的单调性. 审题破题 根据函数 f(x)的导函数求解函数 f(x)的单调区间, 需要对参数 a 进行分类讨论, 从而通过函数 f(x)的导函数是否大于零判断函数 f(x)的单调性. 解 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞), a+1 2ax2+a+1 f′(x)= +2ax= . x x ①当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减. a+1 ③当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= - , 2a a+1? ? 则当 x∈?0, ?时,f′(x)>0; - 2a ? ?

a+1 ? - ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ? a+1? ? 故 f(x)在?0, ?上单调递增, - 2a ? ? a+1 ? ? 在? - ,+∞?上单调递减. 2a ? ? 当 x∈? 综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; a+1? ? 当-1<a<0 时,f(x)在?0, ?上单调递增, - 2a ? ? a+1 ? ? 在? - ,+∞?上单调递减. 2a ? ? 反思归纳 一般地,遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响 进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有 几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏. 3 变式训练 3 是否存在非零实数 a, 使函数 f(x)=ax2+(a-2)x+1 在[-2,3]上的最大值为 ?若 4 存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 3 17 33 解 若 f(-2)= ,则 a=- ,此时,抛物线的开口向下,对称轴方程为 x=- ∈[- 4 8 34 17 2,3],显然 f(-2)不可能是最大值,因此 a≠- . 8 a-2? 3 若 f?- ? 2a ?=4, a-2?2 a-2? 3 即 a?- +(a-2)?- +1= , 4 ? 2a ? ? 2a ? 则 a2-5a+4=0,解得 a=1 或 a=4. 1? 1 当 a=1 时,抛物线的开口向上,且对称轴为直线 x= ∈[-2,3],此时 f? ?2?是最小值而不 2 是最大值,因此 a≠1; 1? 1 当 a=4 时,抛物线的开口向上,且对称轴为直线 x=- ∈[-2,3],此时 f? ?-4?是最小值 4 而不是最大值,因此 a≠4. 3 23 73 若 f(3)= ,则 a= ,抛物线的开口向上,且对称轴为直线 x= ∈[-2,3],此时,在[- 4 48 46 23 2,3]内 f(-2)是最大值,因此 a≠ . 48 综上可知满足条件的 a 不存在.

? ?

典例

(13 分)(2012· 北京)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.

(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.

规范解答 解 (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,

因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3.[4 分] 1 (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a2 时, 4 1 1 h(x)=x3+ax2+ a2x+1,h′(x)=3x2+2ax+ a2.[6 分] 4 4 a a 令 h′(x)=0,得 x1=- ,x2=- . 2 6 a>0 时,h(x)与 h′(x)的变化情况如下: a ?-∞,-a? ?-a,-a? - x 2? 2 6? ? ? 2 h′(x) h(x) + ↗ 0 - a 6

- 0

?-a,+∞? ? 6 ?
+ ↗

↘ a a 所以函数 h(x)的单调递增区间为(-∞,- )和(- ,+∞); 2 6 a a ? 单调递减区间为? ?-2,-6?.[8 分] a 当- ≥-1,即 0<a≤2 时, 2

函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a 1 - a2. 4 a a 当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 a? ? a ? 函数 h(x)在区间? ?-∞,-2?上单调递增,在区间?-2,-1?上单调递减,h(x)在区间 a? (-∞,-1]上的最大值为 h? ?-2?=1. a a a a -∞,- ?上单调递增,在区间?- ,- ?上 当- <-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间? 2? 6? ? ? 2 6 a ? 单调递减,在区间? ?-6,-1?上单调递增, a? 1 2 1 2 又因为 h? ?-2?-h(-1)=1-a+4a =4(a-2) >0, a? 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h? ?-2?=1.[12 分] a? ? a a? ? ? a 综上所述:f(x)+g(x)的增区间为? ?-∞,-2?和?-6,+∞?;减区间为?-2,-6?. 1 当 0<a≤2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1]上的最大值为 a- a2; 4 当 a>2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1]上的最大值为 1.[13 分] 评分细则 (1)求出 f′(x),g′(x)给 1 分;(2)没有列表,语言叙述的参照给分;(3)讨论 时漏掉端点扣 1 分.

阅卷老师提醒 (1)本题利用分类与整合思想,在求解时要注意讨论的对象,同时要理顺 讨论的目的; (2)分类讨论要保证不重不漏,讨论中要灵活处理临界值.

1. 函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为一切实数,则实数 m 的取值范围是 A.[0,1] C.[4,+∞) 答案 D 解析 因为函数 f(x)的定义域为一切实数, 所以 mx2+mx+1≥0 对一切实数恒成立, 当 m=0 时,原不等式即 1≥0 对一切实数恒成立, ?m>0 ? 当 m≠0 时,则需? ,解得 0<m≤4. 2 ?Δ=m -4m≤0 ? 综上,实数 m 的取值范围是[0,4]. B.(0,4) D.[0,4]

(

)

2. 中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 都相切,则 双曲线 C 的离心率是 6 A. 3或 2 2 3 C. 或2 3 答案 C 解析 设圆的两条过原点的切线方程为 y=kx. 2 由 2 =1 得 k=± 3. k +1 b c b2 当 = 3时,e= = 1+ 2=2. a a a a c b2 2 3 当 = 3时,e= = 1+ 2= . b a a 3 3. 若方程 lg kx=2lg(x+1)仅有一个实根,那么实数 k 的取值范围是________. 答案 {4}∪(-∞,0) ( B.2 或 3 2 3 6 D. 或 3 2 )

解析 当 k>0 时,由 lg kx=2lg(x+1),得 lg kx-2lg(x+1)=0,即 kx=(x+1)2 在(0,+ ∞)上仅有一个解,即 x2-(k-2)x+1=0 在(0,+∞)上仅有一个解. 令 f(x)=x2-(k-2)x+1,则 f(0)>0,由 Δ=0,得 k=0 或 4.当 k=0 时,方程无意义,舍 去,所以 k=4. 当 k<0 时,函数定义域是(-1,0),函数 y=kx 的图象是一条递减且过(-1,-k)与(0,0) 的线段,函数 y=(x+1)2 在(-1,0)上递增且过(-1,0)与(0,1)两点,此时两曲线段恒有一

个交点,故 k<0 符合题意. 综上所述,实数 k 的取值范围是{4}∪(-∞,0). 4. 直线 l1:kx+(1-k)y-3=0 和 l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则 k=________. 答案 1 或-3 2 解析 若 k=1,直线 l1:x=3,l2:y= ,满足两直线垂直. 5 1-k k 若 k≠1,直线 l1,l2 的斜率分别为 k1= ,k2= ,由 k1· k2=-1 得 k=-3,综上 k-1 2k+3 k=1 或 k=-3. 5. 若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-1,则它的通项公式 an=________. 答案 2×3n
-1 - -

解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n 1-1)=2×3n 1;当 n=1 时,a1=S1=2, 也满足式子 an=2×3n 1,


∴数列{an}的通项公式为 an=2×3n 1.


6. 若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b 的取值范围为 ________________. 答案 a>0 且 b≤0 解析 ①当 a>0 时,需 x-b 恒为非负数, 即 a>0,b≤0. ②当 a<0 时,需 x-b 恒为非正数. 又∵x∈[0,+∞),∴不成立. 综上所述,a、b 的取值范围为 a>0 且 b≤0.

专题限时规范训练
一、选择题 1. 若 A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且 A∩B=?,则实数 p 的取值范围是 ( A.p>-4 C.p≥0 答案 A 解析 当 A=?时,Δ=(p+2)2-4<0,∴-4<p<0. 当 A≠?时,方程 x2+(p+2)x+1=0 有两负根, ?Δ≥0, ? ∴? ∴p≥0. ? ?x1+x2=-?p+2?<0, 综上所述,p>-4. B.-4<p<0 D.R )

2. 设函数 f(x)=

.若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 (

)

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 答案 C 解析 若 a>0, 则 log2a> a),即 2 (-a)<0, a, 即 2log2a>0, 所以 a>1; 若 a<0, 则 (-a)>log2(-

所以 0<-a<1,-1<a<0. 所以实数 a 的取值范围是 a>1 或-1<a<0, 即 a∈(-1,0)∪(1,+∞). 3. 抛物线 y2=4px (p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等腰三 角形,则这样的点 P 的个数为 A.2 答案 C 解析 当|PO|=|PF|时,点 P 在线段 OF 的中垂线上,此时,点 P 的位置有两个;当|OP| =|OF|时,点 P 的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点 P 不存在.事实上,F(p,0), 若设 P(x,y),则|FO|=p,|FP|= ?x-p?2+y2,若 ?x-p?2+y2=p,则有 x2-2px+y2= 0,又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得 x=0 或 x=-2p,当 x=0 时,不构成三角形.当 x=-2p 时,与点 P 在抛物线上矛盾.所以符合要求的 P 点一共有 4 个. 4. (2012· 湖北)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 答案 C 解析 根据 x2 的范围判断 y=cos x2 在区间[0,4]上的零点个数. 当 x=0 时,f(x)=0.又因为 x∈[0,4],所以 0≤x2≤16. 11π 因为 5π<16< , 2 π 3π 5π 7π 9π 所以函数 y=cos x2 在 x2 取 , , , , 时为 0, 2 2 2 2 2 此时 f(x)=0,所以 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 6. 5. 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是 A.(-∞,2] C.(-2,2] 答案 C 解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0 恒成立,所以 a=2;当 a-2≠0 时,则 a B.[-2,2] D.(-∞,-2) ( ) B.5 C.6 D.7 ( ) B.3 C.4 D.6 ( )

? ?a-2<0 满足? ,解得-2<a<2,所以 a 的范围是{a|-2<a≤2},故选 C. ?Δ<0 ?

6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为 8 2 8 A. 3 B.4 3 C. 3 D.4 3或 3 9 9 3 答案 D 解析 分侧面矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种情况. 3 7. 已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为 4 5 5 A. B. 3 2 5 15 5 5 C. 或 D. 或 2 3 3 4 答案 D b 3 解析 当双曲线焦点在 x 轴上时, = , a 4 2 2 2 b c -a 9 ∴ 2= 2 =e2-1= , a a 16 25 5 ∴e2= ,∴e= ; 16 4 b 4 当双曲线焦点在 y 轴上时, = , a 3 2 2 2 b c -a 16 25 5 ∴ 2= 2 =e2-1= ,∴e2= ,∴e= . a a 9 9 3

(

)

(

)

8. 函数 f(x)的图象如图所示,f(x)为奇函数,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则不等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为 ( )

A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞) 答案 A 解析 由 x[f(x)-f(-x)]<0 得,2xf(x)<0.当 x<0 时,则 f(x)>0,由图象知-3<x<0;当 x>0 时,则 f(x)<0,由图象知 0<x<3. 二、填空题 9. (2012· 山东)若函数 f(x)=ax(a>0, a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4, 最小值为 m, 且函数 g(x) =(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 1 答案 4

解析 讨论字母的取值,从而确定函数的最大值与最小值. 1 - 若 a>1,有 a2=4,a 1=m,此时 a=2,m= ,此时 g(x)=- x为减函数,不合题意; 2 若 0<a<1,有 a 1=4,a2=m, 1 1 故 a= ,m= ,检验知符合题意. 4 16


a ? ? 2n,当an为偶数时, 10.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1=? 若 a6=1,则 ? ?3an+1,当an为奇数时. m 所有可能的取值为________. 答案 4,5,32 解析 根据题意可知,当 an 为奇数时,an+1 为偶数,∴由 a6=1 为奇数可以判定 a5 为偶 数,∴a5=2a6=2.又当 an+1 为偶数时,若 an+1 是被 3 除余 1 的数,则 an 为奇数或偶数, 否则 an 仍为偶数.a4 可能为奇数也可能为偶数,∴a4=4,依次有 a3=1,a2=2,a1=4, 即 m=4.或者 a3=8,a2=16,a1=32 或 a1=5. 11.有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是____________. 答案 (0,4)

解析 根据条件,四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱锥形的铁架, 有以下两种情况: ①底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2,a,a,如图(1), 此时 a 可以取最大值,可知 AD= 3,SD= a2-1, 则有 a2-1<2+ 3,即 a2<8+4 3=( 6+ 2)2, 即有 a< 6+ 2,又 2a>2,∴1<a< 6+ 2;

②构成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2, 如图(2),此时 a>0 且 a<4,即 0<a<4. 综上分析可知 a∈(0,4). 12.已知 a>0,命题 p:函数 y=ax (a≠1)在 R 上单调递减,命题 q:不等式|x-2a|+x>1 的 解集为 R,若 p 和 q 有且只有一个是真命题,则 a 的取值范围是________. 1? 答案 ? ?0,2?∪(1,+∞) 解析 若 p 真,则 0<a<1;若 p 假,则 a>1. 1 若 q 真,因为函数 y=|x-2a|+x 在 R 上的最小值为 2a,由 2a>1,得 a> ;若 q 假,则 2

1 0<a≤ . 2 1 ①若 p 真 q 假,则 0<a≤ ;②若 p 假 q 真,则 a>1. 2 1 故 a 的取值范围是 0<a≤ 或 a>1. 2 三、解答题 13.已知函数 f(x)=-aln x+ 2a2 +x(a≠0). x

(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x-2y=0 垂直,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 解 (1)由已知得 f(x)的定义域为{x|x>0}, a 2a2 f′(x)=- - 2 +1(x>0). x x 根据题意,得 f′(1)=-2, ∴-a-2a2+1=-2,即 2a2+a-3=0. 3 解得 a=1 或 a=- . 2 x2-ax-2a2 a 2a2 (2)∵f′(x)=- - 2 +1= x x x2 ?x+a??x-2a? = (x>0). x2 ①当 a>0 时, 由 f′(x)>0,及 x>0 得 x>2a; 由 f′(x)<0,及 x>0 得 0<x<2a. ②当 a<0 时, 由 f′(x)>0,及 x>0 得 x>-a; 由 f′(x)<0,及 x>0 得 0<x<-a. ∴当 a>0 时,函数 f(x)在(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减;当 a<0 时,函数 f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增. 14.已知函数 f(x)=2asin2x-2 π? 3asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域是? ?0,2?,值域是[-5,1],

求常数 a,b 的值. 1 解 f(x)=2a· (1-cos 2x)- 3asin 2x+a+b 2 1 3 =-2a? cos 2x+ sin 2x?+2a+b 2 ?2 ? π ? =-2asin? ?2x+6?+2a+b, π π π 7 又∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ π, 2 6 6 6 π 1 ? ∴- ≤sin? ?2x+6?≤1. 2 因此,由 f(x)的值域为[-5,1]

a>0, ? ? 1 可得?-2a×?-2?+2a+b=1, ?-2a×1+2a+b=-5, ? a<0, ? ?-2a×1+2a+b=1, 或? 1 ? ?-2a×?-2?+2a+b=-5,
?a=2 ?a=-2 ? ? 解得? 或? . ? ? ?b=-5 ?b=1


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