高一抽象函数专题课件


抽象函数专题
定义:我们把只给出函数的一些性质没有给出具体 解析式的函数称为抽象函数

一.几类常见的抽象函数
抽象函数满足条件 1 代表函数

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? kx ( k ? 0 )

2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
3

f ( x) ? a x( a ? 0, a ? 1 )

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? loga x

4

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
f ( x) ? ? 1 f ( x)

f ( x) ? xa
f ( x) ? loga x

5

二、题型分析 问题一:抽象函数定义域问题 例1 (1)若 f ( x ) 的定义域是 ?1,1 , 求 f (2 x ? 1) 的定义域。 (2)若 f (2 x ? 1) 的定义域是 ?1,1 , 求 f ( x ) 的定义域。
方法总结: 若函数 f ( x ) 的定义域为 D , 则在函数 f ? g ( x ) ? 中 g ( x ) ? D ,从中求出 x 的范围即为 f ? g ( x ) ? 的定义域。 (注意:定义域一定是指单位 x (自变量)的取值范围)

?

?

?

?

问题二:.抽象函数求值问题 例 2. 已知 f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 对一切正实 数 x, y 都成立,若 f (8) ? 4 ,则 f (2) ? _______。 例 3 已知 f ( x ) 满足 f (a ? b) ? f (a ) f (b) ,且 f (1) ? 3 ,
?

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) 则 ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)

方法总结:赋值法

问题三:抽象函数与不等式问题 例 4.定义在 ?? 1,1? 上的奇函数 f ( x ) 是增函数,且

f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ? 0 ,求 x 的取值范围.
2

例 5 设定义在 ?2, 2 上的偶函数 f ( x ) 在 0, 2

?

?

?

?

上单调递减,若 f (1 ? m) ? f (m) ,求实数 m 的 取值范围。

方 法 总 结 : 利 用 奇 偶 性 将 已 知 转 化 为

f ( g ( x )) ? f ( h( x )) 的形式,再利用 f ( x ) 的单调性
得到关于 x 的不等式,求出 x 的范围

问题四:抽象函数奇偶性的问题 例 6.已知 f ( x ) 的定义域为 R,且对任意实数 x, y 满足

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求证: f ( x ) 是偶函数。
例 7.已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实 数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证 f ( x ) 为偶函数。

方法总结:通过赋值,得出 f ( ? x )与 f ( x ) 的关 系,判断出奇偶性

问题五:抽象函数的单调性问题 例 8. 函数 f(x)对任意 x , y ? R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x >0 时,f(x)<0

(1)判断f ( x )的奇偶性;
(2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)若 f(1)=-2,求 f(x)在[-3,3]上 的最大值和最小值。

例 9. 已知函数 f(x)为定义域 (0,? ?) 上的函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),且 x>1 时,f(x)>0 (1)求证 f(x)在定义域上是增函数 (2)若 f(2)=1 解不等式 f(x)+f(x-2)<3。
f ( x1 ) 方法总结:由已知推出 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (或 )的表达式, f ( x2 )
再用单调性的定义得出结论。

例 10:函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且 f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1, 且对任意的 a、b ? R ,都有 f ( a ? b) ? f ( a ) f ( b) . (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)求证:对任意的 x ? R, 都有f ( x ) ? 0; (3)证明 f ( x ) 在 R 上是增函数; (4)若 f ( x ) f (2 x ? x ) ? 1, 求 x 的取值范围。
2

?? 1,1?, 当 例 11. 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 的 值域为
x ? 0 时? 1 ? f ( x ) ? 0 , 且 对 任 意 a , b ? R , 满 足

f (a ) ? f (b) f (a ? b) ? . 1 ? f (a ) f (b)
(1)求 f (0)的 值; (2)求证 f ( x )是奇函数; (3)判断 f ( x )在R上的单调性

练习 1.若 f ( x ? 2) 的定义域是 ? ?1,0? ,求 f ( 2x ?1) 的定义域。

2. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且满足: f ( x ? 2) ? ? f ( x ) . (1)求证: f ( x ? 4) ? f ( x ) ;

) 的值。 (2)若 f (1) ? 2014,求 f ( 2001

3.已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,求 x 的取值范围.

5.函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时, 恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.


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