高考数学命题分析


江苏近三年数学学科高考命题特点及分析
一、试卷结构
实施新课改以来的 08、09 、10、11 四年江苏高考数学试卷分第Ⅰ卷和 第Ⅱ卷,其中第 Ⅰ卷试题由填空题和解答题两部分组成(文理合卷) ;第Ⅱ卷只有 4 道解答题(理科) 。艺术 生和文科生要求一样,数学试卷满分 160 分,题型有: 填空题 14 道(1~14 题) ,每题 5 分,共 70 分; 解答题 6 道(15~ 20 题) ,前 3 题每题 14 分,后 3 题每题 16 分,共 90 分; 文理合卷,总分 160 分。

二、教材分析及近三年考点分布表
1、整个高中教材中,共有 73 个考查点:A 级(了解)——29 个, B 级(理解)——36 个, C 级(掌握)——8 个。 2、近三年考点分布表

2009 年江苏高考知识点分布表
知识版块 集合 函数与导数 三角函数 平面向量 数列 不等式 复数 推理与证明 算法初步 概率统计 立体几何 直线与圆 圆锥曲线 总体情况 题号及等级要求 11B 3B,9B,10B,20C 4A 2C,15C 14C,17C 19C 1B 8B 7A 5B,6B 12B,16B 18C 13B 分值 考查内容 5 31 5 19 19 16 5 5 5 10 19 16 5 子集含义 函数单调性,求切点,指数、二次函数及其应用 函数 y=Asin(ω x+φ )性质 数量积与三角结合 等比数列,等差数列的基本运算 基本不等式应用 复数的有关概念, 复数的四则运算 类比推理 流程图 古典概型, 方差 线面平行与面面垂直 直线方程,直线与圆 求椭圆的离心率

A、B、C 级要求分别占分:10、64、86

2010 江苏高考知识点分布表
知识版块 集合 函数与导数 题号及等级要求 1B 5B,8B,11B,14B , 20B 分值 5 36 考查内容 集合的运算推理 函数的奇偶性,函数的切线方程,分段函数的单调性, 函数中的建模应用,函数的概念,性质、图象及导数

三角函数 平面向量 数列 不等式 复数 算法初步 概率统计 立体几何 直线与圆 圆锥曲线 总体情况

10A, 13B,17C 15C 8B,19C

24 14 21

三角函数的图象,正、余弦定理三角函数的应用, 解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用 平面向量的几何意义、线性运算、数量积 数列的通项,等差数列的通项、求和及基本不等式 不等式的基本性质,基本不等式应用 复数运算、模的性质 流程图 古典概型,频率分布直方图 直线与平面、平面与平面的位置关系 直线与圆 双曲线的定义,简单曲线的方程,直线与椭圆的方 程

12C,17(2)C, 13 2B 7A 3B,4B 16B 9C 6A,18B 5 5 10 14 5 21

A、B、C 级要求分别占分:15、96、49

2011 江苏高考知识点分布表
知识版块 集合 函数与导数 三角函数 平面向量 数列 不等式 复数 算法初步 概率统计 立体几何 直线与圆 圆锥曲线 总体情况 题号及等级要求 1B,20B 分值 5 考查内容 集合的运算推理,概念 函数的奇偶性,函数的切线方程,分段函数,单调性, 函数中的建模应用,函数的概念,性质、图象及导数 三角函数的图象,正、余弦定理三角函数的应用, 解三角形的知识、三角恒等变换 平面向量线性运算、数量积 数列的通项,等差等比数列的通项、求和 不等式的基本性质,基本不等式应用 复数运算 流程图 古典概型,方差 直线与平面、平面与平面的位置关系 直线与圆,数形结合思想 直线与椭圆的方程

2B,8B,11B,12B, 50 17B,19B(C) 7C,9A,15B 10C 13C,20C 8C,19B,17B 3B 4A 5B,6B 16B 14C,18B 18B 24 5 21 16 5 5 10 14 5 16

A、B、C 级要求分别占分:10、99、51

3、三年江苏高考数学试卷的特点 (1)紧扣考纲和考试说明,知识点覆盖全面是江苏高考的基本出发点。 (2)强调“三基”,突出“三基”,考查“三基”已成为江苏高考命题的主旋律。 (3)紧扣教材,适度改造,推陈出新是江苏高考命题的一大亮点。 (4)关注生活,贴近学生,学用结合是江苏高考命题迈出的可喜一步。 (5)考查重点,突出主干,渗透非重点是江苏高考命题的思路。

(6)渗透思想,体现创新,能力为先是江苏高考命题改革的方向。 (7)循序渐进,多题把关,公平公正是江苏高考命题的指导思想。 (8)注重知识的交叉、渗透和综合是江苏高考命题的一贯作风。

三、2012 备考策略
策略一、规划好第一轮复习的长度和内容排列的顺序 策略二、高度重视课本,切实夯实基础 策略三、提高课堂教学的有效性 策略四、提高课堂教学的针对性 策略五、打好一轮复习的首场战役 策略六、重视加强运算能力的训练 策略七、关爱每一位学生

四、对于艺术生,我们的重点应放在哪??(在此仅对后面六大题进行分析)
江苏高考卷,15-20 题考查的内容为:三角函数、立体几何、应用题、圆锥曲线、数列、函 数。其中,三角函数和立体几何基本上都是 15 和 16 两道题,这两道题的 28 分,对于我们 艺术生而言,非常重要,下面对近三年江苏高考卷中的这两部分内容进行分析: 第一大题:包括填空题部分 09 年:三角函数图象、三角与向量(向量的模、平行垂直、两角和的正切) 10 年:三角函数图像、正余弦定理、平面向量(坐标、模、数量积) 11 年:三角函数图像、两角和差公式、正余弦定理、

2009 年高考题:
4.函数 y ?

Asin(? x ? ? )( A,?,? 为常数,A ? 0,? ? 0) 在闭区间 [?? ,0] 上的图象如
.

图所示,则 ? ? 【解析】

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

15. (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? ,4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ?

? ? ) 的值;

?16 ,求证: a ∥ b .

【解析】由 a 与 b ? 2c 垂直, a ? (b ? 2c) ? a ? b ? 2a ? c ? 0 , 即 4sin(?

? ? ) ? 8cos(? ? ? ) ? 0 , tan(? ? ? ) ? 2 ;

b ? c ? (sin ? ? cos ? ,4cos ? ? 4sin ? ) | b ? c |2

? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ? ? 16cos2 ? ? 32cos ? sin ? ? 16sin 2 ?
? 17 ? 30sin ? cos ? ? 17 ? 15sin 2? ,

最大值为 32,所以 | b ? c | 的最大值为 4 由 tan ? tan ?

2。

? 16 得 sin ? sin ? ? 16cos? cos ? , ? sin ? sin ? ? 0 ,所以 a ∥ b .

即 4cos? ? 4cos ?

2010 年高考题:
10、定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作 2?

PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为____________。 【解析】 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3 b a ? ? 6 cos C , 则 a b

13 、 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

t a nC t a n C ? =________。 t a nA t a n B
【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: cos C ?

1 1 ? cos C 1 C 2 2 C ? ? , tan ? , tan , 3 2 1 ? cos C 2 2 2

tan A ? tan B ?

1 C tan 2

? 2,

tan C tan C ? = 4。 tan A tan B

(方法二)

a 2 ? b2 ? c 2 3c 2 b a ? ? 6 cos C ? 6ab cos C ? a 2 ? b 2 , 6ab ? ? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? a b 2ab 2 tan C tan C sin C cos B sin A ? sin B cos A sin C sin( A ? B) 1 sin 2 C ? ? ? ? ? ? ? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B cos C sin A sin B
由正弦定理,得:上式= ?

1 c2 c2 c2 ? ? ? ?4 cos C ab 1 (a 2 ? b 2 ) 1 3c 2 ? 6 6 2

2011 年高考题:
7、已知 tan( x ? 【解析】

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x

tan( x ? ) ? 1 ? ? 1 tan x tan x ( 1- tan 2 x) 4 4 tan x=tan( x ? ? ) ? ? , = = ? ? 2 tan x 4 4 2 9 tan( x ? ) ? 1 3 tan 2 x 2 4 1- tan x
9 、函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则

?

f (0) ? ____
【解析】由图可知:

y

? 3
O

7? 12

x

A ? 2,

T 7 ? ? ? 2 ? ? ? ? , ? ? 2, 2 ? ? ? ? k? , ? ? k? ? ? , 4 12 3 4 3 3

? 2

2 6 f (0) ? 2 sin(k? ? ? ) ? ? 3 2

15、 (本小题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
【解析】 (1)? sin( A ? (2)? cos A ?

?

?

6

) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ?

?
3

1 , b ? 3c,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 8c 2 , a ? 2 2c 3

由正弦定理得:

2 2c c 2 2 2 ,而 sin A ? 1 ? cos A ? ? , sin A sin C 3

? sin C ?

1 。 (也可以先推出直角三角形) 3

第二大题 09 年:线面、面面位置关系 10 年:线线关系、点面距离 11 年:线面关系、面面位置关系

2009 年高考题:
16. (本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? 中点,点 D 在 B1C1 上, A 1D ? B 1C 求证: (1) EF ∥ 平面ABC (2) 平面A 1FD ? 平面BB 1C1C 【解析】证明: ( 1 )因为 E,F 分别是

A1B1C1 中, E,F 分别是 A1B,AC 1 的
A1 D F B1 C1

A1B,AC 1 的中点,所以
∥ A

EF // BC ,又 EF ? 面ABC , BC ? 面ABC ,所以 EF

E C

平面ABC ;
(2)因为直三棱柱

ABC ? A 1B 1C 1 ,所以 BB 1 ? A 1D , 1 ? 面A 1B 1C 1 , BB

B

又A 1D ? B 1C ,所以 A 1D ? 面BB 1C1C ,又 A 1D ? 面A 1FD ,所以

平面A1FD ? 平面BB1C1C 。
2010 年高考题:
16、 (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=900。 (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC。 由∠BCD=900,得 CD⊥BC, 又 PD ? DC=D,PD、DC ? 平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC。 (2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F。

易知 DF=

2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 2

(方法二)体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。 从而 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V ?

1 1 S ?ABC ? PD ? 。 3 3

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1,所以 PC ? PD ? DC ? 2 。
2 2

由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC , S? PBC ? h ? V ? 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。

2 。 2

1 3

1 ,得 h ? 2 , 3

2011 年高考题:
16、 (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD 【解析】 (1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点,

? EF ? PD, 又? P, D ? 面PCD, E ? 面PCD

? 直线 EF‖平面 PCD
? (2)? AB=AD,?BAD=60 , F 是 AD 的中点,? BF ? AD,

又平面 PAD⊥平面 ABCD, 面PAD ? 面ABCD=AD, ? BF ? 面PAD, 所以,平面 BEF⊥平面 PAD。

(第16题图)

下面是 2011 年南京三份模拟卷中的三角函数与立体几何部分,可以做一下对比

2011 年 1 月一模试题:
15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 cos 2C ? 1 ? ⑴求

8b 2 . a2

1 1 8 ? 的值;⑵若 tan B ? ,求 tan A 及 tan C 的值. tan A tan C 15

8b 2 4b2 2 【解析】⑴∵ cos 2C ? 1 ? 2 ,∴ sin C ? 2 . a a
∵ C 为三角形内角,∴ sin C ? 0, ∴ sin C ? ∵

2b . a

a b b sin B ? ? ,∴ sin A sin B a sin A

. ∴ 2sin B ? sin A sin C

∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C . ∴ 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? sin A sin C .

1 1 1 ? ? . t a nA ta C n 2 1 1 1 2 tan C ? ? ,∴ tan A ? ⑵∵ .∵ A ? B ? C ? ? , tan A tan C 2 tan C ? 2
sin C ? 0 ,∴ ∵ sin A?
∴ tan B ? ? tan( A ? C ) ? ?

tan A ? tan C tan 2 c ? . 1 ? tan A tan C 2 tan 2 C ? tan C ? 2
整 理 得 t a nC ?
2



8 tan 2 c ? 15 2 tan 2 C ? tan C ? 2

tC a? n

C? ?1 6 0, tan 解得

4 ,

tan A ? 4 .
16. (本小题满分 14 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是

D1

O1
A

C1

O 分别是 菱形, ?ADC ? 120?, AA 1 ? AB ? 1 ,点 O 1、
上、下底面菱形的对角线的交点. ⑴求证: AO 1 ∥平面 CB 1D 1; ⑵求点 O 到平面 CB1D1 的距离.

B1

D

C
O

A

B

【解析】

2011 年 3 月南京二模
9、已知函数 f(x)=2sin(ω x+Ψ )( ω >0),若 f(

? ? )=0, f( )=2, 则实数ω 的最小值为______。 3 2

15、 (本题满分 14 分) 已知向量 a=(4,5cosσ ) ,b=(3,-4tanσ ) , (1) 若 a//b,试求 sinσ 的值。 (2) 若 a⊥b,且σ ∈(0,

? ? ) ,求 cos(2σ - )的值。 2 4

16、 (本题满分 14 分) 如图:四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,且 AB= 2 BC,E、F 分别为棱 AB、PC 的中点。 (1) 求证:EF//平面 PAD; (2) 若点 P 在平面 ABCD 内的正投影 O 在直线 AC 上,求证:平面 PAC⊥平面 PDE。

2011 年南京三模
15、 (本题满分 14 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 的三内角 A,B,C 的对边,且 a cos C ? c cos A ? 2b cos B (1)求角 B 的大小; (2)求 sinA+sinC 的取值范围。

16、 (本题满分 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E、F 分别为边 AB、AD 的中点,现将△ADE 沿 DE 折起,得四棱锥 A—BCDE. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积。


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