柱体,椎体,台体的表面积与体积()


知识探究

柱体、锥体、台体的表面积

思考:面积是相对于平面图形而言的,体 积是相对于空间几何体而言的.你知道面 积和体积的含义吗? 面积:平面图形所占平面的大小

体积:几何体所占空间的大小

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积

面积:平面图形所占平面的大小
a b

S=ab
a
A

b

h

1 S ? ( a ? b) h 2

c

h

1 S ? ah ? 1 acsin B 2 2
C

r

S ?? ?r

2

B

a

b A a

S ? a ? ha ? b ? hb

l
r

? absin A

1 n S ? l ?r ? ? ?r2 360 2

圆心角为n0

多面体的平面展开图

表面积就是各个面的面积之和。

多面体的平面展开图
多面体是由一些平面多边形围成的几何 体,沿着多面体的某些棱将它剪开,各个面 就可展开在一个平面内,得到一个平面图形, 这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面 图形围成的几何体,它们的展开图是什 么?如何计算它们的表面积?

棱柱、棱锥、棱台的表面积


h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

h
侧面展开图是矩形
其中c是底面的周长, h是直棱柱的高(侧棱长)

S侧 ? ch
云在漫步

2013年9月14日星期六5时11分23秒

侧面展开

全正 等棱 的锥 等中 腰各 三侧 角面 形是 !

h?
h?

其中C是底面正多 边形的周长,h’是 正棱锥的斜高(侧 面内的高)

S侧

1 ? ch? 2
云在漫步

2013年9月14日星期六5时11分23秒

古埃及所有金字塔中最大的一座,是第四王朝法老 胡夫的金字塔。这座大金字塔原高146.59米,这座 金字塔的底面呈正方形,每边长230多米,绕金字 塔一周,差不多要走一公里的路程。如果垒成金字 塔的石头每块1.12立方米,大约需要多少块?
设h为高,a为底面边长, c为底面周长h’为斜高
则h=146.59米,a=230米

2013年9月14日星期六5时11分23秒

云在漫步

侧面展开
h' h'

S侧

1 ? ? c ? c ? ? h? 2
2013年9月14日星期六5时11分23秒 云在漫步

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 .

分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. 解:先求 ?ABC的面积,过点作 SD ? BC , S 交BC于点D. 3 ? a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2 A
B
S 所以: ?ABC ?

D

C

1 1 3 3 2 BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积
3 2 S ? 4? a ? 4 3a 2 .

圆柱的侧面展开图是一个矩形:
如果圆柱的底面半径为 r ,母线为 l , 那么圆柱的底面积为 ?r 2,侧面积为 2?rl 。 因此圆柱的表面积为

S ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2
O`

O

圆锥的侧面展开图是一个扇形:
如果圆锥的底面半径为 r ,母线为 l , 那么圆锥的底面积为 ?r 2,侧面积为 ?rl 。 因此圆锥的表面积为

S ? ?r ? ?rl ? ?r (r ? l )
2

S

2?r

O

圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于 上、下两个底面和加上侧面的面积,即

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'2 2 '

2?r `
O`

2?r

O

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积之间关系

r O?

r 'O’

l
O

l

l

r

O

r

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S 锥 ? ?r (r ? l )
r ?0
'

r ?r
'
2 2

S台 ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )

典型例题

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )?
20cm

解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15cm

? 1000(cm 2 )
cm2 答:花盆的表面积约是1000



练习
1、圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正

4? S 方形,那么这个圆柱的侧面积是_______。

r

O

2? r

l ? 2?r
S ??r
2

l l
O

S侧 ? 2? rl ? 4? r

2 2

2、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面
展开图是一个半圆,则这圆锥的底面直径

2 为 3?

3a? (m)


l
l

? l ? 2? r ? l ? 2r

2? r

a ? ? r (r ? l ) ? 3? r
?r? a 3?

2

r

O

练习:课本P27 1

3、若圆台的上、下底面半径分别是1和3, 它的侧面积是两底面积和的2倍,则圆台的 母线长为________. 5

r 'O

S侧 ? ? r l ? ? rl ? 4? l
'

l
r
O

S底 ? ? r ? ? r ? 10?
'2 2

4? l ? 20? ?l ?5

练习:课本P28

2

空间几何体的体积

体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3

长方体的体积=长×宽×高

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: (S为底面面积,h为高). V ? Sh

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
3 2

3
2 1

1

锥体体积

经过探究得知,棱锥是同底等高的棱柱体积

1 的 .即棱锥的体积: 3

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3

圆锥体积

圆锥的体积公式:

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3

柱体的体积计算公式: V 锥体的体积计算公式:
(其中S为底面积,h为高)
?

柱体=sh

V锥体=

1 sh 3

练习:三棱锥P-ABC的 高为6,底面是边长为2的 等边三角形,则三棱锥P2 3 ABC的体积为______.
B

P

A

问题解决 古埃及所有金字塔中最大的一座,是第四王朝法老 胡夫的金字塔。这座大金字塔原高146.59米,这座 金字塔的底面呈正方形,每边长230多米,绕金字 塔一周,差不多要走一公里的路程。如果垒成金字 塔的石头每块1.12立方米,大约需要多少块? 解:

V n? ? 2307919.94 ? 2307920 1.12
答:大约要2307920块。

1 1 2 V ? Sh ? ? 230 ?146.59 3 3 ? 2584870.33

台体体积

台体体积

棱台(圆台)的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台
(棱台)的高.

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S为底面面积, h为锥体高

1 S? ? 0 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3 S为底面面积, S分别为上、下底面 h为柱体高 面积,h 为台体高

例3、有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六 角螺帽重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm, 内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少 个(π取3.14)?
解: V

? Sh ? ? r 2 h 3 ? 10 ? 2 = ?12 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ? ? ?10 4 ?2? =2956 ? mm ? ? 2.956 ? cm
3 3 2

O

?

螺帽个数:5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252

答:这堆螺帽大约有252个。

练习:课本P28

3,4


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