2.2.2 对数函数及其性质 第一课时


数学必修 1

第二章

基本初等函数(1)

2.2.2
教学目的:

对数函数及其性质(第一课时)

1.了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系; 2.会求对数函数的定义域;
3.渗透应用意识,培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力。

教学重点:对数函数的定义、图象、性质 教学难点:对数函数与指数函数间的关系. 教学过程: 一、复习引入: 对于函数 y = 2 x ,根据对数的定义,可以写成对数的形式,就是 x ? log2 y 如果用 x 表示自变量, y 表示函数,这个函数就是 y ? log2 x 由反函数概念可知, y ? log2 x 与指数函数 y ? 2 x 互为反函数。 y ? log2 x 也 是一个非常重要的函数,把它称为对数函数。 二、新授内容: 1.对数函数的定义: 函 数 y ? l o a x (a ? 0且a ? 1) 叫 做 对 数 函 数 ; 它 是 指 数 函 数 y ? a x g

(a ? 0且a ? 1) 的反函数。
对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) ,值域为 (??,??) 。 2.对数函数的图象 由于对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a x 互为反函数,所以 y ? loga x 的图象 与 y ? a x 的图象关于直线 y ? x 对称。因此,我们只要画出和 y ? a x 的图象关 于 y ? x 对称的曲线,就可以得到 y ? loga x 的图象,然后根据图象特征得出对 数函数的性质。

王灵聪

1

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基本初等函数(1)

10
10

8
8

6
6

4
4

2
2

-10

-5

5

10

-10

-5

5

10

-2

-2

-4

-4

a ?1

0 ? a ?1

红:对数函数图像 蓝:指数函数图像

3.对数函数的性质 先回顾指数函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质。
0<a<1
y

a>1
y


1

1

象 1.定义域 性 2.值域 3.过定点

O

a

x

O

a

x

R (0,+∞) (0,1) ,即 x=0 时,y=1 x>0 时,0<y<1; x<0 时,y>1. 在 R 上是减函数

质 4. 函 数 值 x>0 时,y>1; 分布 5.单调性 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数

王灵聪

2

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基本初等函数(1)

由由反函数的性质和对数函数的图象,观察得出对数函数的性质.(引导学生自 己完成下表) a>1
y
y

0<a<1

x=1


O 1 a x
O a 1

x=1

x

象 1.定义域 性 2.值域 3.过定点 (0,+∞) R (1,0) ,即 x=1 时,y=0 0<x<1 时, y<0; x>1 时,y>0. 在(0,+∞)上是减函数

质 4. 函 数 值 x>1 时,y>0; 分布 5.单调性 0<x<1 时, y<0 在 (0,+∞)上是增函数

4、例题: 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ; (3) y ? loga (9 ? x 2 ) 解: (1)? x2 ? 0, ? x ? 0 (2)定义域 ? x x ? 4? (3)定义域 ? x ?3 ? x ? 3? (4)? ?22x ? 3 ? 2x ? 2 ? 0,?1 ? 2x ? 2,?0 ? x ? 1 故函数 y ? lg(?22x ? 3 ? 2x ? 2) 的定义域为(0,1). (2) y ? loga (4 ? x) ; (4) y ? lg(?22x ? 3 ? 2x ? 2) 故 y ? loga x 2 的定义域是 ? x x ? 0?

王灵聪

3

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例2

求下列函数的反函数

?1? (1) y ? ? ? ? 1 ?2?
?1? 解: (1) ? ? ? y ? 1 ?2?
1 2 (2) ( ) x ?1 ? y ? 3 2
x

x

1 2 (2) y ? ( ) x ?1 ? 3 2

( x ? 0)

∴ f ?1 ( x) ? log1 ( x ? 1)
2

( x ? ?1)

∴ f ?1 ( x) ? ? log 1 ( x ? 3) ? 1
2

7 (3 ? x ? ) 2

例3

求下列函数的值域: (2) y ? 2 ?x
2

(1) y ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 5) 解: (1)∵ x 2 ? 2x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 从而 log2 ( x 2 ? 2x ? 5) ? log2 4 ? 2 (2) ? ? x 2 ? 1 ? ?1 ∴ 2?x
2

?1

?

1 4

即函数值域为 [2,??)

?1

?

1 2

∴ 0 ? 2 ?x

2

?1

?

1 1 ? 4 4

∴0 ? y ?

1 2

1 ∴值域为 [0, ] 2

三、 课堂总结:这节课我们学习了对数函数的图像和性质及推导过程希望同学 们下来后记熟图像并用图像反复推导性质

四、练习:P84

1题 2题
3

1.画出函数 y= log3 x 及 y= log1 x 的图象, 并且说明这两个函数的相同性质和不同 性质. 解:相同性质:两图象都位于 y 轴右方,都经过点(1,0) ,这说 明两函数的定义域都是(0,+∞) ,且当 x=1,y=0. 不同性质:y= log3 x 的图象是上升的曲线,y= log1 x 的图象是下降
3

的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞) 上是减函数.
王灵聪 4

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2.求下列函数的定义域: (1)y= log3 (1-x) (3)y= log 7
1 1 ? 3x

(2)y=

1 log2 x

(4) y ? log3 x
1 题,2 题

五、作业:习题 2.8

王灵聪

5


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