大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案


1、(本小题 5 分)

x 3 ? 12 x ? 16 求极限  lim 3 x ?2 2 x ? 9 x 2 ? 12 x ? 4

2、(本小题 5 分)

求?

x dx. (1 ? x 2 ) 2

3、(本小题 5 分)

求极限 lim arctan x ? arcsin
x ??

1 x

4、(本小题 5 分)

求?

x d x. 1? x

5、(本小题 5 分)



d dx

?

x2

0

1 ? t 2 dt.

6、(本小题 5 分)

求 ? cot 6 x ? csc 4 x d x.

第 1 页,共 10 页

(第七题删掉了)
8、(本小题 5 分)
t 2 ? dy ? x ? e cos t 设? 确定了函数y ? y ( x ), 求 . 2t dx ? ? y ? e sin t

9、(本小题 5 分)

求? x 1 ? x dx.
0

3

10、(本小题 5 分)

求函数 y ? 4 ? 2 x ? x 2 的单调区间

11、(本小题 5 分)

求? 2
0

?

sin x dx . 8 ? sin 2 x

12、(本小题 5 分)

设 x(t ) ? e ?kt (3 cos?t ? 4 sin ?t ),求dx.

13、(本小题 5 分)

设函数y ? y ( x ) 由方程y 2 ? ln y 2 ? x 6 所确定 , 求

dy . dx

14、(本小题 5 分)

求函数y ? 2e x ? e ? x 的极值
第 2 页,共 10 页

15、(本小题 5 分)

求极限 lim

( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1) 2 ? (3x ? 1) 2 ???(10x ? 1) 2 x ?? (10x ? 1)(11x ? 1)

16、(本小题 5 分)

求?

二、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 14 分) 1、(本小题 7 分)

cos2 x d x. 1 ? sin x cos x

某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 , 一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时, 才能使材料最省 .

2、(本小题 7 分)

求由曲线y ?

x2 x3 和y ? 所围成的平面图形绕 ox轴旋转所得的旋转体的 体积. 2 8

三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

设f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3), 证明f ?( x) ? 0有且仅有三个实根.

(答案)
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题,总计 77 分) 1、(本小题 3 分)

第 3 页,共 10 页

解: 原式 ? lim

3x 2 ? 12 x ? 2 6 x 2 ? 18 x ? 12 6x     ? lim x ? 2 12 x ? 18     ? 2 x dx (1 ? x 2 ) 2

2、(本小题 3 分)

?
?

2 1 d(1 ? x ) 2 ? (1 ? x 2 ) 2 1 1 ?? ? c. 2 1? x2

3、(本小题 3 分)

因为 arctan x ?
x ??

?
2

而 lim arcsin
x ??

1 ?0 x

故 lim arctan x ? arcsin
4、(本小题 3 分)

1 ?0 x

1 ? x ?1 dx 1? x dx ? ?? d x ? ? 1? x ? ? x ? ln 1 ? x ? c. ? ??
5、(本小题 3 分)

? 1? x d x

x



d dx

?

x2

0

1 ? t 2 dt.

原式 ? 2 x 1 ? x 4
6、(本小题 4 分)

? cot x ? csc x d x ? ? ? cot x(1 ? cot
6 4
6

2

x) d(cot x)

1 1 ? ? cot 7 x ? cot 9 x ? c. 7 9
8、(本小题 4 分)
t 2 ? dy ? x ? e cos t 设? 确定了函数 y ? y ( x ), 求 . 2t dx ? y ? e sin t ? dy e 2 t (2 sin t ? cos t ) 解:   ? t dx e (cos t 2 ? 2t sin t 2 )

e t (2 sin t ? cos t )       ? (cos t 2 ? 2t sin t 2 )
9、(本小题 4 分)

求? x 1 ? x dx.
0

3

令  1 ? x ? u

原式 ? 2? (u 4 ? u 2 )du
1

2

第 4 页,共 10 页

? 2(

u5 u 3 2 ? )1 5 3 116 ? 15

10、(本小题 5 分)

求函数 y ? 4 ? 2 x ? x 2 的单调区间

(??,??) 解: 函数定义域
y ? ? 2 ? 2 x ? 2(1 ? x) 当x ? 1,y ? ? 0 ?? ?,1? 当x ? 1, y ? ? 0函数单调增区间为

?1,??? 当x ? 1,y ? ? 0函数的单调减区间为
求?
? 2 0

11、(本小题 5 分)

sin x dx . 2 8?si n x
?
0

原式 ? ? ? 2

d cos x 9 ? cos2 x
?

1 3 ? cos x 2 ? ? ln 6 3 ? cos x 0 1 ? ln 2 6
12、(本小题 6 分)

设 x(t ) ? e ?kt (3 cos?t ? 4 sin ?t ),求dx.
解: dx ? x ?(t )dt

  ? e ?kt ?(4? ? 3k ) cos?t ? (4k ? 3? ) sin ?t ?dt
13、(本小题 6 分)

设函数y ? y ( x ) 由方程y 2 ? ln y 2 ? x 6 所确定 , 求

2 yy ? ?

2y? ? 6x 5 y

dy . dx

3yx 5 y? ? 2 y ?1
14、(本小题 6 分)

求函数y ? 2e x ? e ? x 的极值

解: 定义域(??, ? ?), 且连续
1 y ? ? 2e ? x ( e 2 x ? ) 2 1 1 驻点:x ? ln 2 2 由于y ?? ? 2e x ? e ? x ? 0 1 1 故函数有极小值 , , y( ln ) ? 2 2 2 2

15、(本小题 8 分)

求极限 lim

( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1) 2 ? (3x ? 1) 2 ???(10x ? 1) 2 x ?? (10x ? 1)(11x ? 1)
第 5 页,共 10 页

16、(本小题 10 分)

1 1 1 1 (1 ? ) 2 ? (2 ? ) 2 ? (3 ? ) 2 ???(10 ? ) 2 x x x x 原式 ? lim x ?? 1 1 (10 ? )(11 ? ) x x 10 ? 11 ? 21 ? 6 ? 10 ? 11 7 ? 2
cos 2 x cos 2 x dx ? ? dx 1 ? sin x cos x 1 ? 1 sin 2 x 2 1 d( s i n 2 x ? 1) 2 ?? 1? 1 s i n 2x 2 1 ? ln 1 ? sin 2 x ? c 2

解: ?

二、解答下列各题 (本大题共 2 小题,总计 13 分) 1、(本小题 5 分)

某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 , 一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时, 才能使材料最省 .
设晒谷场宽为x, 则长为 L ? 2x ? 512 米, 新砌石条围沿的总长为 x

512   ( x ? 0) x 512 L ? ? 2 ? 2    唯一驻点 x ? 16 x 1024 L ?? ? 3 ? 0   即x ? 16为极小值点 x 512 故晒谷场宽为16米 , 长为 ? 32 米时 , 可使新砌石条围沿 16 所用材料最省
2、(本小题 8 分)

x2 x3 求由曲线y ? 和y ? 所围成的平面图形绕 ox轴旋转所得的旋转体的 体积. 2 8 解:   x2 x3 ? ,8 x 2 ? 2 x 3  x1 ? 0, x1 ? 4. 2 8 2 4 4? x 4 x x3 2 ? x6 2 Vx ? ? ? ?( ) ? ( ) ?dx ? ? ? ( ? )dx 0 0 8 ? 4 64 ? 2

1 1 1 1 ? ? ( ? x5 ? ? x7 ) 4 5 64 7 0 1 1 512 ? ?4 4 ( ? ) ? ? 5 7 35
三、解答下列各题 ( 本 大 题 10 分 )

4

设f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3), 证明f ?( x) ? 0有且仅有三个实根.
第 6 页,共 10 页

证明: f ( x) 在(??,??) 连续, 可导, 从而在[0,3]; 连续, 可导. 又f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f ( x) 应用罗尔定理得, 至少存在 ? 1 ?(0,1), ? 2 ?(1,2), ? 3 ?(2,3) 使f ?(? 1 ) ? f ?(? 2 ) ? f ?(? 3 ) ? 0 , 它至多有三个实根 , 即f ?( x) ? 0至少有三个实根, 又f ?( x) ? 0, 是三次方程 由上述f ?( x) 有且仅有三个实根

一、 填空题(每小题 3 分,本题共 15 分)
2

.。 1、 lim(1 ? 3x) x ? ______
x ?0
x ? x?0 ?e 在 x ? 0 处连续. 2 ? x ? k x ? 0 ?

2、当

时, f ( x) ? ?

3、设 y ? x ? ln x ,则

dx ? ______ dy

4、曲线 y ? e ? x 在点(0,1)处的切线方程是
x

5、若

? f ( x)dx ? sin 2 x ? C , C 为常数,则 f ( x) ?



二、 单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分) 1、若函数 f ( x) ? A、0

x x

,则 lim f ( x ) ? (
x?0



B、 ? 1

C、1 )

D、不存在

2、下列变量中,是无穷小量的为( A. ln

1 ( x ? 0? ) x

B. ln x( x ? 1)

C. cosx ( x ? 0)

D.

x?2 ( x ? 2) x2 ? 4

3、满足方程 f ?( x) ? 0 的 x 是函数 y ? f ( x) 的( A.极大值点 4、下列无穷积分收敛的是( A、 B.极小值点 )

) . C.驻点 D.间断点

?

??

0

sin xdx

B、

?

??

0

e ?2 x dx

C、

?

??

0

1 dx x

D、

?

??

1 x

0

dx

5、设空间三点的坐标分别为 M(1,1,1) 、A(2,2,1) 、B(2,1,2) 。则 ?AMB =

第 7 页,共 10 页

A、

? 3

B、

? 4

C、

? 2

D、 ?

三、 计算题(每小题 7 分,本题共 56 分) 1、求极限 2、求极限

lim
x ?0

4? x ?2 sin 2 x



1 1 lim( ? x ) x ?0 x e ?1
cos x

3、求极限

lim
x ?0

?e
1

?t 2

dt

x2

5 2 4、设 y ? e ? ln( x ? 1 ? x ) ,求 y ?

? x ? ln(1 ? t 2 ) d2y 5、设 f ? y ( x) 由已知 ? ,求 dx 2 ? y ? arctan t
6、求不定积分 7、求不定积分

?x

1
2

2 sin( ? 3)dx x

?e

x

cos xdx

? 1 ? ?1 ? e x 8、设 f ( x ) ? ? ? 1 ? ?1 ? x
四、 应用题(本题 7 分)

x?0
, 求

x?0

?

2

0

f ( x ? 1)dx

求曲线 y ? x 与 x ? y 所围成图形的面积 A 以及 A 饶 y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
2 2

五、 证明题(本题 7 分) 若 f ( x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f (0) ? f (1) ? 0 , f ( ) ? 1 ,证明: 在(0,1)内至少有一点 ? ,使 f ?(? ) ? 1 。

1 2

参考答案
一。填空题(每小题 3 分,本题共 15 分) 1、 e
6

2、k =1 .

3、

x 1? x

4、 y ? 1

5、 f ( x) ? 2 cos 2 x

二.单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分)
第 8 页,共 10 页

1、D

2、B

3、C

4、B

5、A

三.计算题(本题共 56 分,每小题 7 分) 1.解: lim
x ?0

x 1 2x 1 4? x ?2 ? lim ? lim ? x ?0 sin 2 x sin 2 x( 4 ? x ? 2) 2 x?0 sin 2 x( 4 ? x ? 2) 8

1 1 e x ?1 ? x e x ?1 ex 1 2.解 : lim( ? x ) ? lim ? lim x ? lim x ? x x x x x ?0 x x ? 0 x ? 0 x ? 0 2 e ?1 x(e ? 1) e ? 1 ? xe e ? e ? xe
cos x

3、解:

lim
x ?0

?e
1

?t 2

dt

x

2

? sin xe ? cos ? lim x ?0 2x

2

x

??

1 2e

4、解:

y? ?

1 x ? 1? x
2

(1 ?

1 1? x
2

)

?

1 1? x2

1 dy 1 ? t 2 1 5、解: ? ? 2t dx 2t 2 1? t
d 2 y d dy ? ( ) dx 2 dt dx dx ? ? 1 2t 2 ?? 1? t2 4t 3

dt

2t 1? t2

6、解:

?x

1
2

2 1 2 2 1 2 sin( ? 3)dx ? ? ? sin( ? 3)d ( ? 3) ? cos( ? 3) ? C x 2 x 3 2 x

7、 解:

?e

x

cos xdx ? ? cos xde x ? e x cos x ? ? e x sinxdx ? e x cos x ? ? sin xde x ? e x cos x ? e x sin x ? ? e x cos xdx

? e x (sin x ? cos x) ? C
8、解:

?

2

0

f ( x ? 1)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx …
?1 ?1 0

1

0

1

??

1 dx dx ?? x ?1 1 ? e 0 1? x 0

? ? (1 ?
?1

0

ex 1 )dx ? ln(1 ? x ) 0 x 1? e
0 ?1

? 1 ? ln(1 ? e x )

? ln 2

第 9 页,共 10 页

? 1 ? ln(1 ? e ?1 ) ? ln(1 ? e)
四. 应用题(本题 7 分)

解:曲线 y ? x 2 与 x ? y 2 的交点为(1,1) , 于是曲线 y ? x 2 与 x ? y 2 所围成图形的面积 A 为

2 1 1 A ? ? ( x ? x 2 )dx ? [ x 2 ? x 2 ]1 0 ? 3 3 3 0
A 绕 y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:

1

3

? y2 y5 ? 3 V ? ? ? ( y ) ? y dy ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 0 10 ? 2 0
1 2 4

?

?

1

五、证明题(本题 7 分) 证明: 设 F ( x) ? f ( x) ? x ,

显然 F ( x ) 在 [ ,1] 上连续,在 ( ,1) 内可导,

1 2

1 2



1 1 F ( ) ? ? 0 , F (1) ? ?1 ? 0 . 2 2 1 2

由零点定理知存在 x1 ? [ ,1] ,使 F ( x1 ) ? 0 . 由 F (0) ? 0 ,在 [0, x1 ] 上应用罗尔定理知,至少存在一点

? ? (0, x1 ) ? (0,1) ,使 F ?(? ) ? f ?(? ) ? 1 ? 0 ,即 f ?(? ) ? 1 …

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