2.1.1-2分数指数幂


2. 1.1 第二课时分数指数幂教案

【教学目标】 1. 通过与初中所学知识进行类比,理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质. 2. 掌握分数指数幂和根式的互化, 掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、 抽 象类比的能力 3. 能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、 求值, 培养学生严谨的思维和科学 正确的计算能力. 【教学重难点】 教学重点: (1)分数指数幂概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理数指数幂性质进行化简求值. 教学难点: (1)分数指数幂概念的理解 (2)有理数指数幂性质的灵活应用. 【教学过程】 1、导入新课 同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广 呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 (1) 整数指数幂的运算性质是什么? (2) 观察以下式子,并总结出规律: a ? 0 ① a
5 10
8

? (a ) ? a 2
5 2 5
4 2 4

?a5 ;

10

② a ? (a ) ? a

8 ? a2 ;

③ 4 a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 4 ; ④ 2 a10 ? 2 (a5 )2 ? a5

12

?a2 .

10

(3) 利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?
4 3

5 ,

5

a7 , n xm ( x ? 0, m, n ? N * , 且 n>1)

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?(5)你能推广到一般情形吗? 活动:学生回 顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和 最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点 启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2) (3) ,我们把具体推广到一般,对写正确的同学 及时表扬,其他同学鼓励提示. 讨论结果:形式变了,本质没变,方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义,教师板书:
1

规定:正数的正分数指数幂的意义是 a m ?

n

n

a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) .

提出问题 (1) 负整数指数幂的意义是怎么规定的? (2) 你能得出负分数指数幂的意义吗? (3) 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义? (4) 综合上述,如何规定分数指数幂的意义? (5) 分数指数幂的意义中, 为什么规定 a ? 0 , 去掉这个规定会产生什么样的后果? (6) 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质 是否也适用于有理数指数幂呢? 活动:学生回顾初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意 义和负整数指数幂的意义来类比, 把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起 来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书, 学生合作交流,以具体的实例说明 a ? 0 的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果:有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运 算性质如下 : 对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质: ①

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ?Q)



(ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q)



(a ? b)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
3、应用示例
2

例 1 求值: (1)8 3 ;(2)25 2 ;(3)(

?

1

16 ? 3 ) 4 81

点评:本题主要考察幂值运算,要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式. 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.

a 3 ? a ; a 2 ? 3 a 2 ; a 3 a (a ? 0)
点评:利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算 性质进行根式运算时,其顺序是 先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统 一用什么形式但不能 不伦不类. 变式训练 求值: (1) 3 3 ? 3 3 ? 6 3 ; 4、拓展提升 已知 a ? a ? 3, 探究下列各式的值的求法.
1 2 1 2

(2) 6 (

27m3 4 ) 125n6

(1) a ? a ;(2) a ? a ;(3)
2

?1

?2

a ?a a ?a
1 2

3 2

? ?

3 2 1 2

2

点评::对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换” 或“求值后代换”两种方法求值 5、课堂小结 (1) 分 数 指 数 幂 的 意 义就 是 : 正 数 的 正 分数 指 数 幂 的 意 义是
m am ? n a ( a? 0 , m, ? n * N, ? n, 1正 ) 数 的负分数指 数幂的意义是
? n m

n

a

?

1 a
n m

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1), 零的正分数次幂等于零, 零的负分数指

数幂没有意义. (2) 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3) 有理数指数幂的运算性质: ① ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ?Q) ② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) ③ (a ? b)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 【板书设计】 一、分数指数幂 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】课本习题 2.1A 组 2、4.

2.1.1-2 分数指数幂

课前预习学案 一. 预习目标 1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念 2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二. 预习内容 1.正整数指数幂:一个非零实数的零次幂的意义是: 负整数指数幂的意义是: . 2.分数指数幂:正数的正分数指数幂的意义是: . 正数的负分数指数幂的意义是: . 0的正分数指数幂的意义是: . 0的负分数指数幂的意义是: . 3.有理指数幂的运算性质:如果a>0,b>0,r,s ? Q,那么



a ?a

r

s





(ar)

s





(ab)

r





4.根式的运算,可以先把根式化成分数指数幂,然后利用

3

的运算性质进行运算. 三. 提出疑惑 通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上 课内探究学案 一. 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念 2. 掌握有理数指数幂的运算性质,并能初步运用性质进行化简或求值 学习重点: (1)分数指数幂概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理数指数幂性质进行化简求值. 学习难点: (1)分数指数幂概念的理解 (2)有理数指数幂性质的灵活应用. 二. 学习过程 探究一 1.若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 ( )

a ?a ? an A、
m n

m

a ?a ? a B、
m n

m ?n

C、 a

? ?

m n

? a m?n

1? a ? a D、
n

0? n

2.c<0,下列不等式中正确的是 ( )

A.c≥2 c 1 C.2 c <( ) c 2
3.若 (

1 B.c>( ) c 2 1 D.2 c >( ) c 2
? 3 4

1?2x)

有意义,则x的取值范围是( C.x>0.5

) D.X<0.5

A.x ? R B.x ? 0.5

4.比较 a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7 三个数的大小关系是________. 探究二 例1:化简下列各式: (1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?
1

2

? 3 ?1 ? a ? ;
3

1 2 6 1 ?2 2 ?1 ?3 (2) a 3 b (?3 a 2 b ) ? ( 4 a3b ) 5

4

例2:求值: (1)已知

2

x

? 2 ? a (常数)求 8 ? 8

?x

x

?x

的值;
1 2 1 2

(2) 已知x+y=12,xy=9x,且x<y,求

x x

1 2 1 2

? ?

y y

的值

例3:已知

a

2x

?

?a 2 ? 1 ,求 a a ?a
x

3x

?3 x ?x

的值.

三. 当堂检测 1.下列各式中正确的是(


?1

A.

(?1)

0

? ?1

B.

(?1)

? ?1

C. 3

a

?2

?

1 3a
2

(? x) ? D. x (? x)
5 3

2

2.

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( ? ? ? ? ? ? ? ?
B、 a8
) B.
6

4

4

) C、 a 4
1 3

A、 a16
1 2

D、 a 2

3.下列互化中正确的是( A. ?

x ? (? x) ( x ? 0)

y

2

?

y

( y ? 0)

5

x C. ( ) y

?

3 4

?4

y ( ) ( x, y ? 0) x
b ?b

3

D.

x

1 3

? ?3 x

4.若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于(
C、 ?2


) D、2

A、 6
5.使

B、 ?2
2
? 3 4

(3? 2 x ? x )

有意义的x的取值范围是(

A.R B. x ? 1 且 x ? 3

C.-3<X<1 D.X<-3或x>1

课后练习与提高 1.已知a>0,b>0,且 A. 4 3 2. B.9 C.
2

a ?b
D.
3

b

a

,b=9a,则a等于(



1 9

9
2 ?2

x

?2

? x ? 2 2 且x>1,则 x ? x 的值(
D.2



A.2或-2 B.-2 C. 6 3. 2 3 ? 3 1.5 ? 12

1 ? . 6 n 1 2 4.已知 n ? N ? 则 [1 ? (?1) ]( n ? 1) = 8
1 1 ? ? 1? 2 n ? a ?a n ? 5.已知 a ? 0, x ? ,求 x ? 1 ? x ? ? 2? ?



?

? 的值.
n

6


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