重庆市南开中学2011届高三3月月考试卷(数学文)


南开中学高 2011 级高三月考试卷(3 月) 数 学(文科)

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3.考试结束,监考人员将机读卡和答题卷一并收回. 一、选择题: (本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)各题答案必须答在机读卡 1.已知集合 M ? {1, 2 ,3, 4 ,5}, N ? {4 ,5, 6}, 则集合 M ? N 中的元素的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.给定空间中的直线 l 及平面 a,条件“直线 l 与平面 a 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与 a 平面垂直”的( )条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必 要 3.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(
2

)
D. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

A. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

B. x ? y ? x ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 0
2 2

4.等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2, S 4 ? 20, 则 S 6 ? ( A.16 B.24
1 a ? 1 b

) D.42

C.36 的最小值为(
C.3 ? 2 2

5.已知 a,b 为正实数,且 a ? 2 b ? 1, 则
A.4 2
B.6

)
D.3 ? 2 2

b.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移 C.向左平移

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图像(

)

?
4 ? 2

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向右平移

?
4 ? 2

个长度单位 个长度单位

? 2 ? x x ? ( ?? ,1] 1 7.若函数 f ( x ) ? ? ,则使 f ( x 0 ) ? 的 x 0 的取值范围为 ( 4 ? log 81 x x ? (1, ?? )



A. ( ?? ,1] ? (3, ?? ) C. ( ?? , 2) ? (3, ?? )

B. ( ?? , 2] ? (4, ?? ) D. ( ?? , 3) ? (4, ?? )

8.函数 f ( x ) 在定义域 R 内可导,若 f ( x ) ? f (2 ? x ), ( x ? 1) f ?( x ) ? 0 ,设 a ? f (0) ,
1 b ? f ( ) , c ? f (3) ,则( 2

) C. c ? b ? a D. b ? c ? a

A. a ? b ? c
3

B. c ? a ? b

9.函数 f ( x ) ? x ? x , x ? R , 当 ? 数 m 的取值范围是(
A.(0,1)

?
2

? ? ? 0 时, f ( m cos ? ) ? f (1 ? m ) ? 0 恒成立,则实

)
D.( ?? ,1]

1 B.( ?? , ) C.( ?? , 0) 2 10.如图所示, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形
PA ? AB ? 2 , O 为四棱锥 P ? ABCD 内一点, AO ? 1,

若 DO 与平面 PBC 成角中最大角为 ? ,则 ? = (
A.15 C.45
?

)
?

B.30 D.60

?

?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ(只 填结果,不要过程) .
? ? ? ? ? 11.已知向量 a ? (1, n ), b ? ( ? 1, n ), 若 a ? b , 则 | a |? _______ ?

12.在等比数列 { a n } 中, a1 ? a 2 ? 1, a 3 ? a 4 ? 2, ,则 a 5 ? a 6 ? a 7 ? a8 ? 13.在锐角 MBC 的三内角 A,B,C 的对边边长分别为 a,b,c,若 b ?
cos A ? _______ ?


5 a sin B , 则 2

14.在体积 4 3? 的球的表面上有 A , B , C 三点, AB ? 1, BC ?
3 3

2 , A , C 两点的球面距离为

? ,则球心到平面 ABC 的距离为
2 2



x y 15. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 着在双曲线的右支上 a b

存在一点 P,使得 | PF 1 |? 3 | PF 2 |, 则双曲线的离心率 e 的取值范围为_____. 三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必须写出必要 的文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (本小题 13 分)已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? (1)若 f (? ) ? 1, 求 sin ? ?cos ? 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间.

?
6

) ? cos x.
2

? ? ? ? 1 2 17. (本小题 13 分)己知 a ? ( ? 1, x ? m ), b ? ( m ? 1, ) ,当 m ? 0 时,求使不等式 a ?b ? 0 x

成立的 x 的取值范围.

18. (本小题 13 分)如图所示, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形,
? ABC ? 60 , PA ? AB ? 2, N 为 PC 的中点.
?

(1)求证: BD ? 平面 PAC . (2)求二面角 B ? AN ? C 的正切值.

19. (本小题 12 分)已知 x ? 1 为函数 f ( x ) ? x ? x ? ax ? 1 的一个极值点.
3 2

(1)求 a 及函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? [ ? 1, 2], t ? [1, 2], fx ) ? t ? 2 mt ? 2 恒成立,求 m 取值范围.
2

20.本小题 12 分) ( 已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 e ?

3 3

, 且过点 (0, 2 ) ,

A , B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点.

(1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A , B 均不重合,设直线 PA与 PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求 k1 ?k 2 的值; (3)M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 若
OP OM ? ? ( ? ? 0) , 求点 M 的轨迹方程.

21 . 本 小 题 12 分 ) 已 知 数 列 { a n } 的 前 以 项 和 为 S n , 且 对 于 任 意 的 n ? N *, 恒 有 (
S n ? 2 an ? n, 设 b n ? log 2 ( a n ? 1) ?

(1)求证:数列 { a n ? 1} 是等比数列; (2)求数列 { a n }, {b n } 的通项公式 a n 和 b n ; (3)若 c n ?
2
bn

a n ?a n ?1

, 证明: c1 ? c 2 ? ? ? c n ?

4 3

?

重庆南开中学高 2011 级高三月考(3 月)
数学参考答案 (文科) 一、选择题:BCADC 二、填空题:11. 2 三、解答题: 16.解:(1) f ( x ) ? sin 2 x cos BCADB 12.12
13 . 5 5 14 . 3 2
15 ? (1, 2 ]

?
6

? cos 2 x sin

?
6

?

1 ? cos 2 x 2

?

3 1 sin 2 x ? 2 2

………………………………………………5 分
3 , 所以 3

由 f (? ) ? 1, 可得 sin 2? ?
sin ? ?cos ? ? 1 2 sin 2? ? 3 . 6

…………9 分

(2)当 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,

即 x ? [?

?
4

? k? ,

?
4

? k ? ], k ? Z 时, f ( x ) 单调递增.

所以, 函数 f ( x ) 的单调增区间是 [ ? 分

?
4

? k? ,

?
4

? k ? ], k ? Z .

………………13

2 2 ? ? x ?m x ? ( m ? 1) x ? m ( x ? 1)( x ? m ) ? ? ? ? 0 ……………… 17. 解: a ?b ? ? ( m ? 1) ? x x x

4分
? 当 0<m<l 时, x ? (0, m ) ? (1, ??) ;…………………………7 分

当 m=l 时, x ? (0,1) ? (1, ?? ) ; ………………………………10 分

当 m>l 时, x ? (0,1) ? ( m, ??) ?

………………………………13 分

ABCD 是 菱 形 ? BD ? AC ? ? PA ? 平 面 ABCD ? ? 18.解:(1) ? ? BD ? PA ? ? BD ? 平 面 PAC BD ? 平 面 ABCD ? ? PA ? AC ? A ? ?

………5 分

(2)由(l)可知, BO⊥平面 PAC, 故在平面 PAC 内, OM⊥A, 作 连结 BM(如图) ,则∠BMO 为二面角 B ? AN ? C 的平 面角.在 Rt ? BMO 中,易知 AO ?
? tan ? BMO ? 6,
3 , OM ? 2 2

即二面角 B ? AN ? C 的正切值为 6 . 13 分
2 19.解:(1) f ?( x ) ? 3 x ? 2 x ? a ,

………………

……………………………………2 分 …………………………………………………………3

由 f ?(1) ? 0 得: a ? 1, 分
? f ?( x ) ? (3 x ? 1)( x ? 1),

………………………………………4 分

1 1 ? f ( x ) 在 ( ?? , ? ) 和 (1, ?? ) 上增函数, f ( x ) 在 ( ? ,1) 上减函数 …………6 3 3

分 (2) x ? ( ? 1, 2) 时, f ( x ) 最小值为 0 ………………………………8 分
? t ? 2 mt ? 2 ? 0 对 t ? [1, 2 ] 恒成立,分离参数得: m ?
2

t 2

?

1 t

易知: t ? [1, 2 ] 时 20.解:(1)由题意可得 b ?
c a

t 2

?

1 t

?

3 2

,?m ?

3 2

………………………12 分

2,

…………………………………………………………1 分

又e ?

?

3 , 即a ? 3
2 2

3c , a ? b ? c , 得 a ?
2 2 2

3 , c ? 1,

……………2 分

所以椭圆方程为

x y ? ? 1. 3 2

………………………………………………3 分
x0 y 2 2 2 ? 0 ? 1, 即 y 0 ? 2 ? x 0 , 3 2 3
2 2

(2)设 P ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 0 ), A ( ? 3 ,0 ), B ( 3 ,0 ), 则 ?

则 k1 ?

y0 x0 ? 3

, k2 ?
2 3

y0 x0 ? 3

, 即 k1 ?k 2 ?

y0
2 0

2

2? ?

2

x ?3

3 2 x0 ? 3

x0

2

2 ? 3

(3 ? x 0 )
2

x ?3
2 0

??

2 3

.

? k1 ?k 2 的值为 ?

. ………………………………………………8 分

(3)设 M ( x , y ) ,其中 x ? [ ? 3, 3 ].
x ?2?
2

2 3

| OP | 2 ? ? 及点 P 在椭圆 C 上可得 由已知 |OM |2
2 2 2 2

2

x

2

x2? y2

?

x ?6
2

3( x ? y )
2 2

?? ,
2

整理得 (3? ? 1) x ? 3? y ? 6 , 其中 x ? [ ? 3, 3 ].

………………12 分

21 . 解 : (1) 当 n=l 时 , S1 ? 2 a1 ? 1, 得 a1 ? 1.? s n ? 2 a n ? n ,? 当 n ? 2 时 ,
S n ?1 ? 2 a n ?1 ? ( n ? 1),













a n ? 2 a n ? 2 a n ?1 ? 1, ? a n ? 2 a n ?1 ? 1. ? a n ? 1 ? 2 a n ?1 ? 2 ? 2( a n ?1 ? 1), ? {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.……………………4 分

(2)由(1)得 a n ? 1 ? 2 ?2

n -1

? 2 , ? a n ? 2 ? 1, n ? N .
n n * n *

? bn ? log 2 ( a n ? 1) ? log 2 2 ? n , n ? N . ……………………………………8 分
2 2 (3) C n ? a a , c n ?1 ? a a , 由 { a n } 为正项数列,所以 {c n } 也为正项数列, n n ?1 ?1 n ? 2
cn 2a 2(2 ? 1) 2(2 ? 1) 1 ? n?2 ? , 所以数列 {c n } 递减, 从而 c ?1 ? a n ? n ? 2 n n?2 2 ?1 2 ?4 2
n n

n

n ?1

1 n 1? ( ) 2 n ?1 2 ?c ? 4 ? ……… 所以 c1 ? c 2 ? ? ? c n ? c1 ? c1 ? ( ) c1 ? ? ? ( ) c1 ? 1 1 3 2 2 2 1? 2
1 1 1

12 分 另证:由 c n ?
2 1 1 ? ? , (2 n ?1)(2 n ?1 ?1) 2 n ? 1 2 n ?1 ? 1
n

所以 c1 ? c 2 ? ? ? c n ? (
? 1? 1 2
n ?1

1 2 ?1
1

?

1 2 ?1
2

)?(

1 2 ?1
2

?

1 2 ?1
3

) ?? ?

1 2 ?1
n

?

1 2
n ?1

?1

?1

?1?

4 3

?


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