辽宁师大附中2015-2016学年高二上学期12月月考试题 数学(文)


辽师大附中 2015—2016 学年上学期第二次模块考试 高二数学文
一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是( A. 2 3
1 x 2

) D. 1 )

B. 2

C.

3

2.曲线 y= e 在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( 9 2 A e B 4e2 C 2e2 D e2 2 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ′(x)在 (a,b)内的图像如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内 有极小值点的个数为( A.1 C.3 )

B. 2 D.4

x2 y2 4.如果双曲线 - =1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的左 4 12 焦点的距离是( A.4 C.4 或 12 5.若双曲线 A.y=±2x ) B.12 D.不确定 )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( a 2 b2

B.y= ? 2 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2
2 2

y x π x2 y2 ? 2 ? 1 的( 6.已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 与 C2 : 2 cos ? sin ? 4 sin ? cos ?

)

A.实轴长相等 B.焦距相等 2 7.设函数 f(x)=x+lnx,则( ) 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点

C.离心率相等

D.虚轴长相等

1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 D.x=2 为 f(x)的极小值点

x2 y2 8. 已知点 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x a b
轴的直线与椭圆交于 A、 B 两点, 若△ABF2 为正三角形, 则椭圆的离心率是( A.
2 2

)

B. 2

C.3

D.

3 3

9.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)= f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其 导函数 f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则 A. f (2a ) ? f (3) ? f (log2 a) C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2a ) B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2a ) D. f (log2 a) ? f (2a ) ? f (3)

10. 函数 f(x)的定义域是 R, f(0)=2 ,对任意 x∈ R, f(x)+ f′(x)>1,则不等式 ex· f(x)>ex+1 的解集为( ).

A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|x<-1,或0<x<1} 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) x2 y2 11.方程 + =1 表示椭圆,则 k 的取值范围是________. k-3 k+3 12.在△ABC 中,AB=BC,cos B=- 则该椭圆的离心率 e=________. 13.点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点,则 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是 ________. 14.已知函数 f(x)= 1-x 7 ,若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C, 18

ax

+lnx,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数 a

的取值范围为________. 三.解答题 15.根据下列条件求双曲线的标准方程. (12 分)

2 9 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M( ,-1); 3 2 (2)与椭圆 x2 y2 5 + =1 有公共焦点,且离心率 e= . 49 24 4

1 16.已知函数 f(x)= x3-m2x(m>0). 3

(12 分)

(1)当 f(x)在 x=1 处取得极值时,求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 f(x)的极大值不小于 时,求 m 的取值范围. 3 x2 y2 17.如图,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知 a b ? 2? 点 M? 3, ?在椭圆上,且点 M 到两焦点距离之和为 4. 2 ? ?

(1)求椭圆的方程; →· → (2)设与 MO(O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于 A, B(A, B 不重合), 求OA OB 的取值范围. (12 分)

18.设函数 f(x)=

1- a 2 x +ax-lnx(a∈R) . 2

(14 分)

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a≥2 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ∈[1,2],恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立,求实数 m 的取值范围.

辽师大附中 2015—2016 学年上学期第二次模块考试 高二数学文(答案)
一. 选择题 1----5 DDACB 6----10 BDDCA 3 8 13. 14. [1,+∞)

二.11. k>3
三.

12.

2

15. [解析] (1)∵双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0, ∴可设双曲线的方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0). 9 81 ? 又 ∵双曲线过点 M? ?2,-1?,∴λ=4× 4 -9=72. ∴双曲线方程为 4x2-9y2=72,即 (2)解法 1(设标准方程) 由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0), 即 c=5 且焦点在 x 轴上, ∴可设双曲线的标准方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0),且 c=5. a2 b2 c 5 又 e=a= ,∴a=4,∴b2=c2-a2=9. 4 x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 解法 2(设共焦点双曲线系方程) ∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴可设双曲线方程为 - =1(24<λ<49). 49-λ λ-24 λ-24 25 5 又 e= ,∴ = -1,解得 λ=33. 4 49-λ 16 x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 1 16.解:(1)因为 f(x)= x3-m2x(m>0), 3 所以 f′(x)=x2-m2. 因为 f(x)在 x=1 处取得极值, 所以 f′(1)=1-m2=0(m>0), x2 y2 - =1. 18 8

1 所以 m=1,故 f(x)= x3-x. 3 (2)f′(x)=x2-m2.令 f′(x)=0,解得 x=± m. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-m) + ? -m 0 极大值 (-m,m) - ? m 0 极小值 (m,+∞) + ?

由上表,得 f(x)极大值=f(-m)=-

m3 +m3, 3

2 由题意知 f(x)极大值≥ ,所以 m3≥1,解得 m≥1. 3 故 m 的取值范围是[1,+∞). 17.



(1)∵2a=4,∴a=2,

? 2? 又 M? 3, ?在椭圆上, 2? ? 3 1 ∴ + 2=1,解得 b2=2, 4 2b x2 y2 ∴所求椭圆方程 + =1. 4 2 (2)由题意知 kMO= 6 ,∴kAB=- 6. 6

设直线 AB 的方程为 y=- 6x+m, ?x y ? + =1, 联立方程组? 4 2 ? ?y=- 6x+m, 消去 y,得 13x2-4 6mx+2m2-4=0, Δ=(4 6m)2-4×13×(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0, ∴m2<26,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得 x1+x2= 2m2-4 4 6m ,x1x2= , 13 13
2 2

3m2-28 ? 28 50? → → 2 则OA· OB=x1x2+y1y2=7x1x2- 6m(x1+x2)+m = ∈?-13,13?. 13 ? ? 28 50? →· → 的取值范围是? ?-13,13?. ∴OA OB ? ?
18 .

函 数 的 定 义 域 为 (0, ? ?) , 当 a ? 1 时 , f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x



f '( x) ? 0, 得x ? 1. ,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,? f ( x)在(0,1) 单
调递减,在 (1, ??) 单调递增,? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1 ,无极大值 ;


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