辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学(文)总复习课件 合情推理与演绎推理


必考部分

第六章
不等式、推理与证明

第五节

合情推理与演绎推理

考 纲 点 击

1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体 会并认识合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差 异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些 简单的演绎推理.

理基础

悟题型

明考向

课时作业



知识梳理

1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理,或者由个 别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理.简言之,归 纳推理是由 部分到整体、由个别到一般 的推理.

(2)类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到 特殊 的推 理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比 , 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

2.演绎推理 (1)演绎推理: 从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况 下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推 理是由一般到 特殊 的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

基础自测
1. 命题“有些有理数是无限循环小数, 整数是有理数, 所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是 ( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误

解析:由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的.

答案:C

2.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质;

)

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内角和都是 180° ; ③张军某次考试成绩是 100 分, 由此推出全班同学的成 绩都是 100 分;

④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边 形内角和是 540° ,由此得凸 n 边形内角和是(n-2)· 180° . A.①② C.①②④ B.①③ D.②④

解析:①是类比推理,②是归纳推理,④是归纳推理, 所以①②④为合情推理.

答案:C

3 .观察以下等式: 13 = 1,13 + 23 = 9,13 + 23 + 33 = 36,13 + 23 +33+ 43 = 100,13+ 23 +33+ 43 + 53 = 225. 由此可以推测 13+23+33+?+n3=( n?n+1? A. 2 n2?n-1? C. 4 )

B.(2n-1)2 n2?n+1?2 D. 4

解析:归纳得 13+23+33+?+n3=(1+2+3+?+n)2 n?n+1? 2 n2?n+1?2 =[ 2 ] = . 4

答案:D

4.“两条直线平行,同时和第三条直线相交,内错角 相等,∠A 和∠B 是内错角,则∠A=∠B”.该证明过程的 大 前 提 是 __________ , 小 前 提 是 __________ , 结 论 是 __________.

解析:由三段论的相关概念可知,大前提是“两条直线 平行, 同时和第三条直线相交, 内错角相等”, 小前提是“∠ A 和∠B 是内错角”,结论是“∠A=∠B”.
答案:两条直线平行,同时和第三条直线相交,内错角 相等 ∠A 和∠B 是内错角 ∠A=∠B

5.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的 平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到 命题: “__________”, 这个类比命题的真假性是__________.

解析:由类比推理可知

答案:夹在两个平行平面间的平行线段相等

真命题

要点点拨
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究 中.在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结 论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供 思路与方向.

2.合情推理的过程概括为: 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想 3.演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情 况下的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一 般模式是三段论,数学问题的证明主要通过演绎推理来进 行.

4.合情推理仅是“合乎情理”的推理.它得到的结论 不一定正确.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规 律.为我们提供证明的思路和方向.而演绎推理得到的结论 一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). 5.在数学中,证明命题的正确性都是使用演绎推理, 而合情推理不能用作证明.

热点题型一

归纳推理

[例 1]

(2012· 湖北)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数

学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过 如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3,6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除 的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推 测: (1)b2 012 是数列{an}中的第__________项; (2)b2k-1=__________.(用 k 表示)

[解析]

(1)求出数列{an},{bn}的通项公式.由题意可

n?n+1? 得 an=1+2+3+?+n= 2 ,n∈N*,当 n=5k-1 或 n =5k,k∈N*时,对应的三角形数是 5 的倍数,为数列{bn} 中的项,将 5k-1 和 5k 列为一组,所以 b2 012 是第 1 006 组 的后面一项, 即 b2 012 是数列{an}中的第 5×1 006=5 030 项; (2)b2k-1 是第 k 组的前面一个,是数列{an}中的第 5k-1 项, 5k?5k-1? 即 b2k-1=a5k-1= . 2 5k?5k-1? [答案] (1)5030 (2) 2

[规律总结]

本题实质是根据前几项,归纳猜想一般规

律,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归 纳推理所得的结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多, 越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一 种发现一般性规律的重要方法.

变式训练 1 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 它 们是由整数的倒数组成的, 1 1 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3

1 4 1 5 1 20

1 12 1 30

1 12 1 20

1 4 1 5

??

1 第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2), 每个数是它下 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 一行左右相邻两数的和, 如1=2+2, ?, 2=3+6, 3=4+12, 则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为( 1 A.360 1 C. 840 1 B.504 1 D. 1 260 )

[解析]

依题意,结合题图,归纳规律,可知第 8 行的

1 1 1 第一个数、第二个数分别等于8、7-8,第 9 行的第一个数、 1 1 1 1 1 1 1 第二个数、第三个数分别等于9、8-9、(7-8)-(8-9),第 10 行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 于10、9-10、(8-9)-(9-10)、[(7-8)-(8-9)]-[(8-9) 1 1 1 -( - )]= . 9 10 840

[答案] C

热点题型二

类比推理

[例 2]

(2013· 聊城模拟)已知命题:“若数列{an}是 n

等比数列, 且 an>0, 则数列 bn= a1a2?an(n∈N*)也是等 比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一 个什么性质?并证明你的结论.

[思路点拨]

等差数列中的和类比等比数列中的积,等

差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数, 故本 题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数 类比.

[解]

类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个

性质是:若数列{an}是等差数列, a1+a2+?+an 则数列 bn= 也是等差数列. n 证明如下:

a1+a2+?+an 设等差数列{an}的公差为 d,则 bn= = n n?n-1?d na1+ 2 n d =a1+2(n-1),

d 所以数列{bn}是以 a1 为首项, 为公差的等差数列. 2

[规律总结]

1.在数学中,类比是发现概念、方法、定

理和公式的重要手段,数与式、平面与空间、一元与多元、 低次与高次、等差与等比之间有不少结论,都是先用类比法 猜想,而后加以证明的. 2.类比的关键是确定两类对象之间,某些性质的可比 性与合理性.

变式训练 2 已知结论:“在正三角形 ABC 中,若 D 是边 BC 的中 AG 点,G 是三角形 ABC 的重心,则GD=2”.若把该结论推 广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体 ABCD 中, 若△BCD 的中心为 M,四面体内部一点 O 到四面体各面的 AO 距离都相等”,则 =( OM A.1 C.3 ) B.2 D.4

[解析]

如图设正四面体的棱长为 1, 则易知其高 AM=

6 3 ,此时易知点 O 即为正四面体内切球的球心,设其半径 1 3 1 3 6 6 为 r,利用等积法有 4× × r= × × ?r= , 3 4 3 4 3 12

6 6 6 故 AO=AM-MO= 3 - 12 = 4 , 6 6 故 AO∶OM= 4 ∶ 12 =3.

[答案] C

热点题型三

演绎推理

[例 3]

已知 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

1 1 1 (1)设 a>0,证明:当 0<x< 时,f( +x)>f( -x); a a a (2)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,线 段 AB 中点的横坐标为 x0,证明:f′(x0)<0.

[证明]

1 1 (1)证明:设函数 g(x)=f(a+x)-f(a-x),则

g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2 1 当 0<x<a时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x)>0. 1 1 1 故当 0<x< 时,f( +x)>f( -x). a a a

(2)证明:当 a≤0 时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)单调递增. 函数 y=f(x)的图象与 x 轴至多有一个交点,故 a>0, 1 由 f′(x)=0 得 x=a, 1 1 从而 f(x)的最大值为 f( ),且 f( )>0. a a 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,

1 则 0<x1<a<x2. 2 1 1 由(1)得 f(a-x1)=f(a+a-x1)>f(x1)=0. x1+x2 1 2 从而 x2> -x1,于是 x0= > . a 2 a 综上所述,f′(x0)<0.

[规律总结]

演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般

形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么 是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略.

变式训练 3 (2012· 湖北)设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2 a+b+c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20,则 =( x+y+z
2 2 2

)

1 A. 4 1 C. 2

1 B. 3 3 D. 4

[解析]

x2 y2 z2 ∵由题意可得, 4 + 4 + 4 =10,

2 2 2 x y z ∴a2+b2+c2+ 4 + 4 + 4 -ax-by-cz=0,

x2 y2 z 2 即(a-2) +(b-2) +(c-2) =0. x y z ∴a=2,b=2,c=2. x+y+z a+b+c 2 1 ∴ = = . x+y+z x+y+z 2

[答案] C

命题透视
从近两年的高考试题来看,归纳推理、类比推理、演绎 推理等问题是高考的热点,归纳推理、类比推理大部分在填 空题中出现,为中低档题,突出“小而巧”,主要考查类比 推理、归纳推理的能力;演绎推理大多出现在解答题中,为 中高档题目,在知识交汇点处命题,考查学生的逻辑推理能 力,以及分析问题、解决问题的能力.

创新探究——化归思想在推理与证明中的应用

[ 例题]

(2012· 福建) 某同学在一次研究性学习中发

现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; ②sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; ③sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ;

⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒 等式,并证明你的结论. [思路点拨] (1)选择第②个式子计算比较简单. (2)由角

的关系归纳可得,证明可选择三角恒等变换的公式,也可选 择两角和与差的余弦公式或半角公式.

[解]

(1)选择②式,计算如下:

sin215° +cos215° -sin15° cos15° 1 1 3 =1-2sin30° =1-4=4. (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° - α) 3 =4. 证明如下:sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) = sin2α+ (cos30° cosα+ sin30° sinα)2 - sinα(cos30° cosα+ sin30° sinα)

3 2 3 1 2 3 1 = sin α+ 4 cos α + 2 sinαcosα + 4 sin α- 2 sinαcosα - 2
2

3 2 3 2 3 sin α=4sin α+4cos α=4.
2

【阅卷人点评】

(1)本题考查三角函数的恒等变换知

识,考查运算及抽象概括等能力,考查一般与特殊,化归与 转化思想. (2)归纳问题要充分分析式子的特点, 才好归纳出 正确结果.

考题体验
1.(2012· 江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3 +b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=( A.28 C.123 B.76 D.199 )

解析:∵1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18 =29,?,47+76=123,故选 C.

答案:C

2.(2012· 湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开 立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方 除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 3 16 V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈ V.人们还用过一些 9 类似的近似公式.根据 π=3.141 59?判断,下列近似公式 中最精确的一个是( )

3 16 A.d≈ V 9 3 300 C.d≈ 157V

B.d≈ 2V 3 21 D.d≈ 11V

3

3 6V 4 3 3V 6V 3 3 解析:∵V=3πR ,∴R = 4π ,∴d = π ,即 d= π, 6V 21 由四项比较得 π 与11V 最接近.

答案:D

3.(2012· 湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都 一样的正整数.如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数 有 9 个: 11,22,33, ?, 99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121, ?, 191,202,?,999.则 (1)4 位回文数有__________个; (2)2n+1(n∈N+)位回文数有__________个.

解析: (1)3 位回文数与 4 位回文数的个数相同, 例如 101 变成 1001. (2)4 位回文数变 5 位回文数是 1 个变 10 个,例如 1001 变 10001,10101,?,10901,∴5 位回文数有 900 个,6 位 回文数与 5 位回文数个数相同,7 位回文数有 9000 个,归 纳知,2n+1 位回文数有 9×10n 个.
答案:(1)90 (2)9×10n

温 馨 提 示

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