三个正数的算术—几何平均不等式


高二数学组集体备课教案
主备人:郑飘伶 执行人:



题:三个正数的算术—几何平均不等式
1、 三个正数的算术-几何平均不等式及其推导;

内容及解析

2、 利用基本不等式证明; 3、 利用基本不等式及其变形形式求最大(小)值。 知识与技能目标:1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单 的不等式,解决最值问题; 2.了解基本不等式的推广形式。

目标及解析

②过程与方法目标:掌握基本不等式的推导方法,会用基本不等式求最值 ③情感、态度与价值观目标:培养类比、推广、求证的思想方法,在学生分析 问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神。 教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点:利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决 最值问题 1、 概念教学: 思考: 类比基本不等式, 是否存在: 如果 a, b, c ? R? , 那么 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

教学重、难点 支持条件分析

(当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立)呢?试证明。 重 要 不 等 式 : 已 知 a, b, c ? R? , 那 么 a ? b ? c ? 3abc 。 当 且 仅 当
3 3 3

a ? b ? c 时,等号成立。
注意:不等式成立的条件。可以拓宽为 a ? b ? c ? 0 教学设计过程 与设计意图 定理 3:如果 a, b, c ? R? ,那么 等号成立。 变形: a ? b ? c ? 3 3 abc , abc ? ?

a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 时, 3

? a?b?c ? ? 3 ? ?

3

推广: 对于 n 个正数 a1 , a2 ,?, an ,它们的算术平均不小于它们的几何平均, 即:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1 a 2 ? a n 。 当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时, 等号成立。 n
拓展:

2 2 2 a1 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an ? ? 1 1 1 n 2 ? ??? a1 a2 an

n

n

2、例题的教学 教材例 5 利用均值不等式证明不等式

三个的基本不等式的初步运用 由此题, 你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 教材例 6 : 点评:考查①数学建模;②利用

? a?b?c ? abc ? ? ? 求最大值,注意配 3 ? ?
凑和取等号的条件。 也可用导数求最值 变式训练 1 求 y ?

3

4 ? x 2 最小值。 4 x

变式训练 2

已知:长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高

各是多少时,它的体积最大,求出这个最大值. 小结: 我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________, 三者缺一不可。 另外, 由不等号的方向也可以知道:积定____________,和定______________. 3、交流互动 教材 P10 习题 1.1 第 11、12、13、14 题 4、课堂小结 通过本节学习,要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应用时,应 注意定理的适用条件。 5、作业 基础训练 P18 课后知能检测 教学问题诊断 1、 基本不等式及其推广形式; 2、 基本不等式及其变形的应用,比较灵活

后记与反思


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