江苏省南京市2014届高三年级数学第三次模拟考试及答案详解


南京市 2014 届高三年级第三次模拟考试


注意事项:?



2014.05

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内.试题的答案写在答题纸 上 ... 对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x≤-2,x∈R},B={x|x<1,x∈ R},则(? ▲ . ▲ .
UA) ∩ B=

2 2.已知(1+ )2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 a+b= i

3.某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测,甲校有学生 800 人,乙校有学生 500 人,现用 分层抽样的方法在这 1300 名学生中抽取一个样本.已知在甲校抽取了 48 人,则在乙校应抽取 学生人数为 ▲ .

4.现有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 共五张牌,从这五张牌中随机取 2 张牌,则所取 2 张牌均为红 心的概率为 ▲ . ▲ . S←1 I←3 While 200 S←S×I I←I+2 End While Print I
(第 5 题图)

5.执行右边的伪代码,输出的结果是

S ≤

6.已知抛物线 y2=2px 过点 M(2,2),则点 M 到抛物线焦点的距离为 π 7.已知 tanα=-2, ,且 <α<π,则 cosα+sinα= 2 ▲ .?





8.已知 m,n 是不重合的两条直线,α,β 是不重合的两个平面.下列命题: ①若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β; ?若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;

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③若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; 其中所有真命题的序号是 ▲ .

④若 m∥α,m?β,则 α∥β.

π π 9.将函数 f(x)=sin(3x+ )的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x) 4 3 π 2π 在[ , ]上的最小值为 3 3 ▲ .

10.已知数列{an}满足 an=an-1-an-2(n≥3,n N*),它的前 n 项和为 Sn.若 S9=6,S10=5, 则 a1 的值为 ▲ . ▲ .

?x,x≥0, 11.已知函数 f (x)=? 2 ,则关于 x 的不等式 f(x2)>f(3-2x)的解集是 ?x ,x<0,

→ → 12.在 Rt△ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN= 2,则 CM · CN 的取值范围为 ▲ .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+y2=4,P 为圆 C 上一点.若存在一个定 圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,当 P 在圆 C 上运动时,使得∠APB 恒为 60?,则圆 M 的方程为 .? 14.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数)的导函数为 f′(x).对任意 x∈R,不等式 f(x) b2 ≥f′(x)恒成立,则 2 2的最大值为 a +c ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) tanB 2c 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 +1= . tanA a (1)求 B; π 1 (2)若 cos(C+ )= ,求 sinA 的值. 6 3

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,AB?平面 PAD,△PAD 是正三角形, DC//AB,DA=DC=2AB. (1)若点 E 为棱 PA 上一点,且 OE∥平面 PBC,求 (2)求证:平面 PBC?平面 PDC.
B O C 高三数学试卷第 2 页(共 4 页) (第 16 题图) D

AE 的值; PE

P

E A

17.(本小题满分 14 分) 某种树苗栽种时高度为 A(A 为常数)米,栽种 n 年后的高度记为 f(n).经研究发现 f(n)近似地 ?2 9A 3 满足 f(n)= ,a,b 为常数,n N,f(0)=A.已知栽种 3 年后该树木 n,其中 t=2 a+b? 的高度为栽种时高度的 3 倍. (1)栽种多少年后,该树木的高度是栽种时高度的 8 倍; (2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.

18.(本小题满分 16 分) x2 y2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆的半焦距,且 c= 2b.过点 a b P作 两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=lnx-mx(m∈R). (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,-1),求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (3)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1,x2,求证:x1x2>e2.

20.(本小题满分 16 分) 已知 a, 在 a, …, …, b 是不相等的正数, b 之间分别插入 m 个正数 a1, a2, am 和正数 b1, b 2, bm,使 a,a1,a2,…,am,b 是等差数列,a,b1,b2,…,bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5, = ,求 的值; b3 4 a (2)若 b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在 n (n∈N*,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小 值及此时 m 的值;
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(3)求证:an>bn(n N*,n≤m).

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数学附加题
注意事项:? 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟.

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3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内.试题的答案写在答题纸 ... 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 . . 卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 已知圆 O 的内接?ABC 中,D 为 BC 上一点,且△ADC 为正三角形,点 E 为 BC 的延长线上一 点,AE 为圆 O 的切线,求证:CD2=BD?EC.
O · A

B

D

C

E

(第 21 题 A 图)

B.选修 4—2:矩阵与变换

?a k ? ? k? 已知矩阵 A=? ? (k?0)的一个特征向量为 α=?-1?,A 的逆矩阵 A-1 对应的变换将点 ? ? ?0 1?
(3,1)变为点(1,1).求实数 a,k 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 M 是椭圆 + =1 上在第一象限的点,A(2,0),B(0, 4 12 2 3) 是椭圆两个顶点,求四边形 OAMB 的面积的最大值.

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D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b,c∈R,a2+2b2+3c2=6,求 a+b+c 的最大值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应 . ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 1 如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=AB= 2,点 M,N 分别在线段 PA 和 BD 上,BN= 3 BD. 1 (1)若 PM= PA,求证:MN⊥AD; 3 π (2)若二面角 M-BD-A 的大小为 ,求线段 MN 的长度. 4
P



D A

C N · B (第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分) 已知非空有限实数集 S 的所有非空子集依次记为 S1,S2,S3,……,集合 Sk 中所有元素的平 均 值记为 bk.将所有 bk 组成数组 T:b1,b2,b3,……,数组 T 中所有数的平均值记为 m(T). (1)若 S={1,2},求 m(T); (2)若 S={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥2) ,求 m(T).

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数学参考答案
2014.05
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.(-2,1) ??? 8.②?? 9.- 2 2 10.1 14.2 2-2 11.(-∞,-3)∪(1,3) 3 12.[ ,2] 2 2.-7 3.30 3 4. 10 5.11 5 6. 2 7. 5 5

13.(x-1)2+y2=1 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分)

tanB 2c sinBcosA 2sinC 解:(1)由 +1= 及正弦定理,得 +1= ,……………………………………… tanA a cosBsinA sinA 2分 sinBcosA+cosBsinA 2sinC sin(A+B) 2sinC sinC 2sinC 所以 = ,即 = ,则 = . cosBsinA sinA cosBsinA sinA cosBsinA sinA 因为在△ABC 中,sinA?0,sinC?0,

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1 所以 cosB= . 2 分 π 因为 B∈(0,π),所以 B= . 3 分 2π π π 5π (2)因为 0<C< ,所以 <C+ < . 3 6 6 6 π 1 π 2 2 因为 cos(C+ )= , 所以 sin(C+ )= . 6 3 6 3 10 分 所 π ] 6 以 sinA = sin(B + C) = sin(C

??………………………………………5

?………………………………………7

??………………………………………



π 3

)



sin[(C



π 6

)



………………………………………12 分 π π π π =sin(C+ )cos +cos(C+ )sin 6 6 6 6 = 2 6+1 . 6 ??? ?………………………………………14

分 16.(本小题满分 14 分) 证 (1)因为 OE∥平面 PBC,OE?平面 PAC,平面 PAC∩平面 PBC=PC,所以 OE∥PC, 所 以 AO ∶ OC = AE ∶

EP.????????????????????????………………………………………3 分 因为 DC//AB,DC=2AB,所以 AO∶OC=AB∶DC=1∶2. AE 1 所以 = . PE 2 (2)法一:取 PC 的中点 F,连结 FB,FD. 因为△PAD 是正三角形,DA=DC,所以 DP=DC. 因 为 F 为 PC 的 中 点 , 所 以 DF ⊥ PC. ?………………………………………6 分

????????????………………………………………8 分 因为 AB?平面 PAD,所以 AB?PA,AB?AD,AB?PD. 因为 DC//AB,所以 DC?DP,DC?DA. 设 AB=a,在等腰直角三角形 PCD 中,DF=PF= 2a. 在 Rt?PAB 中,PB= 5a.

高三数学试卷第 7 页(共 4 页)

在直角梯形 ABCD 中,BD=BC= 5a. 因为 BC=PB= 5a,点 F 为 PC 的中点,所以 PC⊥FB. 在 Rt?PFB 中,FB= 3a.????????????????????? 在?FDB 中,由 DF= 2a,FB= 3a,BD= 5a,可知 DF2+FB2=BD2,所以 FB⊥DF.? ………………………………………12 分 由 DF⊥PC,DF⊥FB,PC∩FB=F,PC、FB?平面 PBC,所以 DF⊥平面 PBC. 又 DF?平面 PCD,所以平面 PBC?平面 PDC. ?………………………………………14 分

法二:取 PD,PC 的中点,分别为 M,F,连结 AM,FB,MF, 1 所以 MF?DC,MF= DC. 2 1 因为 DC//AB,AB= DC,所以 MF∥AB,MF=AB, 2 即四边形 ABFM 为平行四边形,所以 AM∥BF.????………………………………………8 分 在正三角形 PAD 中,M 为 PD 中点,所以 AM⊥PD. 因为 AB⊥平面 PAD,所以 AB⊥AM.? 又因为 DC//AB,所以 DC⊥AM.? 因为 BF//AM,所以 BF⊥PD,BF⊥CD.? 又因为 PD∩DC=D,PD、DC?平面 PCD,所以 BF⊥平面 PCD.……………………………12 分 因为 BF?平面 PBC, 所以平面 PBC^平面 PDC. 分 ………………………………………14

17.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 f(0)=A,f(3)=3A. 9A ? ?a+b=A, ? 9A =3A, 1 ? a+ b ? 4









a



1



b



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8.

………………………………………4 分 ?2 9A 3 所以 f(n)= . n,其中 t=2 1+8×t 9A 1 令 f(n)=8A,得 =8A,解得 tn= , 64 1+8×tn ?2n 1 即 2 3 = ,所以 n=9. 64 所 以 栽 种 9 年 后 , 该 树 木 的 高 度 是 栽 种 时 高 度 的 倍.??………………………………………6 分 9A (2)由(1)知 f(n)= . 1+8×tn 第 n 年 的 增 长 高 度 为 △ = f(n) - f(n - 1) = 9A - 1+8×tn 8

9A - .??……………………………9 分 1+8×tn 1 72Atn 1(1-t) 72Atn 1(1-t) 所以△= - = - - (1+8tn)(1+8tn 1) 1+8tn 1(t+1)+64t2n 1
- -

= 72A (1-t) t
n-1

1

+64tn+8(t+1) ≤ 2 72A (1-t)

………………………………………12 分

72A (1-t) 9A (1- t ) = = . 1 8(1+ t )2 1+ t ? 64t × n-1+8(t+1) t

n-1) ?2(23 1 1 当且仅当 64tn= n-1,即 2 = 时取等号,此时 n=5. 64 t

所 大.

















5















………………………………………14 分

18.(本小题满分 16 分) 1 1 4 解: (1)由条件得 2+ 2=1,且 c2=2b2,所以 a2=3b2,解得 b2= ,a2=4. a b 3 所 以 椭 圆 方 程 为 : x2 4 + 3y2 4 =

1. ?………………………………………3 分 (2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1),?
?y=kx+k-1, 联立? 2 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0.? 2 ?x +3y =4,

因为 P 为 (-1, 1) , 解得 M ( 5分

-3k2+6k+1 3k2+2k-1 , ) . ……………………………………… 1+3k2 1+3k2

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k ?0









1 k





k





N



k2-6k-3 k2+3



-k2-2k+3 ) . ………………………………………7 分 k2+3 将 k=-1 代入,得 M(-2,0) ,N(1,1) . 因为 P(-1,-1) ,所以 PM= 2,PN=2 2, 1 所以△PMN 的面积为 ? 2?2 2=2. 2 分 (3)解法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
?x12+3y12=4, ? 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,?? 2 ?x2 +3y2 =4,

………………………………………9

因 为 线 段 MN 的 中 点 在 x 轴 上 , 所 以 y1 + y2 = 0 , 从 而 可 得 (x1 + x2)(x1 - x2) = 0.…………………12 分 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1).? → → ?因为 PM⊥PN,所以PM?PN=0,得 x12+y12=2.? ?????又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=?1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,- 1),N(-1,?1). 所 以 直 线 MN 的 方 程 为 y = - x.???????????????????????………………………………………14 分 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1) , → → 因为 PM⊥PN,所以PM?PN=0,得 y12=(x1+1)2+1.? 1 ?????又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=- 或-1,? 2 1 经检验:x=- 满足条件,x=-1 不满足条件.? 2 综 上 , 直 线 MN 的 方 程 为 x + y = ? 或 x = - 1 .???????????………………………………………16 分 2 3k2+2k-1 解法二:由(2)知,当 k≠0 时,因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 =- 1+3k2 -k2-2k+3 ,? k2+3 化 5. 简 得 4k (k2 - 4k - 1) = 0 , 解 得 k = 2 ±

………………………………………12 分 1 5 1 5 1 若 k=2+ 5,则 M(- , ) ,N(- ,- ) ,此时直线 MN 的方程为 x=- . 2 2 2 2 2

1 5 1 5 1 若 k=2- 5, 则M (- , - ) , N (- , ) , 此时直线 MN 的方程为 x=- . ………… 2 2 2 2 2 14 分

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当 k=0 时,M(1,-1) ,N(-1,1) ,满足题意,此时直线 MN 的方程为 x+y=0. 综 0. 上 , 直 线 MN 的 方 程 为 x = - 1 2 或 x + y =

………………………………………16 分

19.(本小题满分 16 分) 解: (1)因为点 P(1,-1)在曲线 y=f(x)上,所以-m=-1,解得 m=1. 因 为 f ′(x) = 1 - 1, 所以切 线的 斜率为 0,所 以切线 方程为 y= - x

1.…………………………………3 分 1-mx 1 (2)因为 f ′(x)= -m= . x x ①当 m≤0 时,?x∈(1,e), f ′(x)>0,所以函数 f (x)在(1,e)上单调递增,则 f (x) max =f (e)=1-me. 1 1 ②当 ≥e,即 0<m≤ 时,x∈(1,e), f ′(x)>0,所以函数 f (x)在(1,e)上单调递增, m e 则 f (x)max=? f (e) = 1 -

me . ?????????????????????????????????????? … … …………………………………5 分 1 1 1 1 ?当 1< <e,即 <m<1 时,函数 f (x)在 (1, )上单调递增,在( ,e)上单调递减, m e m m 则 f (x)
max



f

(

1 m

)





lnm



1. ????????????????????????………………………………………7 分? 1 ④当 ≤1,即 m≥1 时,x∈(1,e), f ′(x)<0,函数 f (x)在(1,e)上单调递减,则 f (x) m
max=f

(1)=-m. ………………………………………

9分 1 综上,①当 m≤ 时,f (x)max=1-me; e 1 ②当 <m<1 时,f (x)max=-lnm-1; e ? 当 m ≥ 1 时 , f (x)max = -

m.???????????????????………………………………………10 分 (3)不妨设 x1>x2>0.因为 f (x1)=f (x2)=0,所以 lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,

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可得 lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2). 要证明 x1x2>e2,即证明 lnx1+lnx2>2,也就是 m(x1+x2)>2. lnx1-lnx2 lnx1-lnx2 2 x1 2(x1-x2) 因为 m= ,所以即证明 > ,即 ln > .? x2 x1-x2 x1-x2 x1+x2 x1+x2 …………………………………… …12 分 2(t-1) x1 令 =t,则 t>1,于是 lnt> . x2 t+1 2(t-1) (t-1)2 1 4 令?(t)=lnt- (t>1) ,则? ′(t)= - >0 . 2= t (t+1) t(t+1)2 t+1 2(t-1) 故函数?(t)在(1,+∞)上是增函数,所以?(t)>?(1)=0,即 lnt> 成立. t +1 所 以 原 不 等 式 成

立.????????????????????????????????……………………… ………………16 分 20.(本小题满分 16 分) 解: (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, b-a 则 d= ,q= 6 a3 ab. = a
6

b .? a + 3d = a+b 2 , b3 = aq3 =

?………………………………………2 分 a3 5 b 1 因为 = , 所以 2a-5 ab+2b=0, 解得 =4 或 . ……………………………………… b3 4 a 4

4分 λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a×n. m+1 m+1 因为 λa=a×qm 1,所以 q=λm+1,从而得 bn=a×λm+1.


1

n

因为 an-5=bn,所以 a+

n (λ-1)(n-5) ×a=a×λm+1. m+1

n (λ-1)(n-5) m+1 因为 a>0, 所以 1+ =λ (*) . m+1

………………………………………

6分 (λ-1)(n-5) 因为 λ,m,n∈N*,所以 1+ 为有理数. m+1

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n

要使(*)成立,则 λm+1必须为有理数. 因为 n≤m,所以 n<m+1.
n

若 λ=2,则 λm+1为无理数,不满足条件. 同理,λ=3 不满足条件. 分 当 λ=4 时,4
n m+1

………………………………………8

=2

2n m +1

.要使 2

2n m+1

2n 为有理数,则 必须为整数. m+1

又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 3(n-5) 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. 分 (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和. Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ }为递增数列. n Sn nbn+1 证明:当 n∈N*时, < =bn+1. n n 因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ Sn n+1 Sn Sn+1 Sn = S ,所以 < ,即数列{ }为递增数列. n n n n n+1 n ……………………………………… ………………………………………10

Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ }为递减数列. n 12 分

Sm+1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈N*,n≤m 时, > . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 aqm 1-a aqn-a 即 > ,即 > . n n m+1 m+1


因为 b=aqm 1,bn=aqn,d=


b-a , m+1

bn-a 所以 d> ,即 a+nd>bn,即 an>bn. n Sm+1 Sn ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 即 < . n m+1


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aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > .以下同①. n m+1


综上, an>bn(n∈N*, n≤m). 16 分

………………………………………

证法二:设等差数列 a,a1,a2,…,am,b 的公差为 d,等比数列 a,b1,b2,…,bm,b 的公比为 q, b=λa(λ>0,λ≠1).
1 λ-1 m+1 由题意,得 d= a,q=aλ , m+1 n λ-1 所以 an=a+nd=a+ an,bn=aλm+1. m+1

要证 an>bn(n∈N*,n≤m), 只要证 1+ 12 分 构造函数 f(x)=1+
x λ-1 x-λm+1(λ>0,λ≠1,0<x<m+1), m+1 n λ-1 n-λm+1>0(λ>0, λ≠1, n∈N*, n≤m). ……………………………………… m+1

x λ-1 λ-1 1 m+1 则 f′(x)= - λ lnλ.令 f′(x)=0,解得 x0=(m+1)logλ . lnλ m+1 m+1

λ-1 以下证明 0<logλ <1. lnλ λ-1 不妨设 λ>1,即证明 1< <λ,即证明 lnλ-λ+1<0,λlnλ-λ+1>0. lnλ 1 设 g(λ)=lnλ-λ+1,h(λ)=λlnλ-λ+1(λ>1),则 g′(λ)= -1<0,h′(λ)=lnλ>0, λ 所以函数 g(λ)=lnλ-λ+1(λ>1)为减函数,函数 h(λ)=λlnλ-λ+1(λ>1)为增函数. 所以 g(λ)<g(1)=0,h(λ)>h(1)=0. 所 以 1 < λ-1 < λ , 从 而 lnλ 0 < logλ λ-1 < 1 , 所 以 lnλ 0 < x0 < m +

1.………………………………………14 分 因为在(0,x0)上 f′(x)>0,函数 f(x)在(0,x0)上是增函数; 因为在(x0,m+1)上 f′(x)<0,函数 f(x)在(x0,m+1)上是减函数. 所以 f(x)>min{f(0),f(m+1)}=0. 所以 an>bn(n∈N*,n≤m). 同 理 , 当 0 < λ < 1 时 , an > bn(n∈N* m). ………………………………………16 分



n



高三数学试卷第 14 页(共 4 页)

南京市 2014 届高三年级第三次模拟考试? 数学附加题参考答案及评分标准
说明:? 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 纸 . . . 指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ..... A.选修 4—1:几何证明选讲 证: 因为 AE 为圆 O 的切线, 所以∠ABD=∠CAE. 2分 因为△ ACD 为等边三角形,所以∠ADC=∠ACD, 所 以 ∠ADB = ∠ECA , 所 以 ………………………………………

2014.05

△ ABD∽△ EAC. 所 BD· EC. 以 AD BD

………………………………………6 分 = EC CA , 即 AD· CA =

………………………………………8 分

因为△ ACD 为等边三角形,所以 AD=AC=CD, 所 BD· EC. B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设特征向量为 α=? 以 CD2 ………………………………………10 分 =

? k ? ?对应的特征值为 λ, ?-1?

?ak-k=λk, ?a k ? ? k ? ? k ? 则? ? ?-1?=λ?-1?,即? λ=1. ? ?0 1? ? ? ? ?

因为 k≠0, 所以 a=2. 因为 A
-1

………………………………………5 分

2 k ? ?1? ?3? ?3?=?1?,所以 A?1?=?3?,即? ? ? = , ?1? ?1? ?1? ?1? ?0 1? ?1? ?1?

所以 2+k=3,解得 k=1.
高三数学试卷第 15 页(共 4 页)

综上,a=2,k=1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 解:设 M(2cosθ,2 3sinθ),θ∈(0, ). 2 由题知 OA=2,OB=2 3,

………………………………………10 分

………………………………………2 分

1 1 所以四边形 OAMB 的面积 S= ×OA×2 3sinθ+ ×OB×2cosθ 2 2 π =2 3sinθ+2 3cosθ=2 6sin(θ+ ). 4 8分 π 所以当 θ= 时, 四边形 OAMB 的面积的最大值为 2 6. 4 10 分 D.选修 4—5:不等式选讲 解 : 由 柯 西 不 等 式 , 得 [a 2 + ( c)2.……………………………8 分 因为 a2+2b2+3c2=6,所以(a+b+c)2≤11, 所以- 11≤a+b+c≤ 11. 所 以 6 11 . 11 a + b + c 的 最 大 值 为 11 , 当 且 仅 当 a = 2b = 3c = 2 b )2 + ( 3 c)2][12 + ( 1 2 1 2 ) +( ) ] ≥ (a + b + 2 3 ……………………………………… ………………………………………

………………………………10 分

22. (本小题满分 10 分) 证明:连接 AC,BD 交于点 O,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向,OP 为 z 轴建立 空间直角坐标系. 因为 PA=AB= 2,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1). 1 1 2 → 1→ → 1→ (1)由 BN = BD ,得 N(0, ,0),由 PM = PA ,得 M( ,0, ), 3 3 3 3 3 1 1 2 → → 所以 MN =(- , ,- ), AD =(-1,-1,0). 3 3 3 → → 因为 MN · AD =0.所以 MN⊥AD. ………………………………………4 分

→ → (2)因为 M 在 PA 上,可设 PM =λ PA ,得 M(λ,0,1-λ). → → 所以 BM =(λ,-1,1-λ), BD =(0,-2,0).
高三数学试卷第 16 页(共 4 页)

设平面 MBD 的法向量 n=(x,y,z),

? ?n· → BD =0, ?-2y=0, 由? 得? ?λx-y+(1-λ)z=0, ? n· → BM =0, ?
其中一组解为 x=λ-1, y=0, z=λ, 所以可取 n=(λ-1, 0, λ). ……………………………… 8分 → 因为平面 ABD 的法向量为 OP =(0,0,1), π 所以 cos = 4 OP | n· → |,即 22= |n|| OP | → λ 1 ,解得 λ= , 2 (λ-1)2+λ2

1 1 1 从而 M( ,0, ),N(0, ,0), 2 2 3 所 22 . 6 以 MN = 1 1 1 ( -0)2+(0- )2+( -0)2 2 3 2 =

………………………………………10 分

23. (本小题满分 10 分) 3 解: (1)S={1,2}的所有非空子集为:{1},{2},{1,2},所以数组 T 为:1,2, . 2 3 1+2+ 2 3 因此 m(T)= = . 3 2

………………………………………3 分

(2)因为 S={a1,a2,…, an},n∈N*,n≥2,
1 2 n-1 1) ?ai+( Cn-1) ?ai+…+( Cn-1) ? ai ?ai+(2Cn- 3 n

n

1

n

1

n

1

n

i=1

i=1

i=1

i =1

所以 m(T)=

2 3 n C1 n+Cn+Cn+…+Cn

1 1 1 2 1 n-1 1+ Cn- 1+ Cn-1+…+ Cn-1 n 2 3 n = ?ai . 1 3 n Cn +C2 n+Cn+…+Cn i=1 又 因 为 1 C k
k -1 n-1

………………………………………6 分



(n-1)! (n-1)! 1 1 n! 1 · = = · = k n n (k-1) ! (n-k) ! k ! (n-k) ! (n-k) ! k!

k Cn ,……………………………8 分

1 1 1 2 1 3 1 Cn+ Cn+ Cn+…+ Cn n n n n n n 1n 所以 m(T)= ai = ? ai . ………………………………………10 分 ? 1 2 3 n ni=1 Cn+Cn+Cn+…+Cn i=1

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