选修2-1第二章圆锥曲线方程测试题


《圆锥曲线》测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、设定点 F 1 ? PF 2 ? a ?a > 0? ,则动点 1 ? 0, ?3? , F 2 ? 0,3? ,动点 P ? x, y ? 满足条件 PF

P 的轨迹是(
A. 椭圆 2、抛物线 y ?

). B. 线段 C. 不存在 ) . D.椭圆或线段或不存在

1 2 x 的焦点坐标为( m
B.

A.?

? 1 ? ,0 ? ?4m ?

? 1 ? ? 0, ? ? 4m ?

C.

?m ? ? ,0 ? ?4 ?
). D.

D.? 0,

? ?

m? ? 4?

3、双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

1 4

4 、椭圆的中心为点 E (? 1 , 0) ,它的一个焦点为 F (?3 , 0) ,相应于焦点 F 的准线方程为

x??
A.

7 ,则这个椭圆的方程是( 2

).

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

B.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

C.

D.

x2 y 2 9 F ? ? 1 上三个不同的点,则 5 、设 A( x1 , y1 ), B (4, ),C (x2 , y2 )是右焦点为 的椭圆 5 25 9
“ AF , BF , CF A.充要条件 C.充分不必要条件 6、P 是双曲线 成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的( B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要 ).

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+ 9 16
). D.9

y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( A. 6 B.7 C.8
x2 ?

7、过双曲线

y2 ?1 2 的右焦点作直线 l,交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则这样的直

线的条数为( A. 1 8、设直线

). B.2

C.3

D.4

l1 : y ? 2 x ,直线 l 2 经过点(2,1),抛物线 C: y 2 ? 4 x ,已知 l1 、 l 2 与 C 共有三 l 2 的条数为(
C.3 ). D.4

个交点,则满足条件的直线 A. 1 B.2

9、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ). D1 A.直线 B. 抛物线 C.双曲线 D. 圆

C1 B1 P C B

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 10、 以过椭圆 a 的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的 A 1
位置关系是( C ). A. 相交 B.相切

D
C. 相离 D.不能确定

x2 ?
11、过双曲线 M:

y2 ?1 b2 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M
).

A

的两条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 (

A. 10

B. 5

10 C. 3

5 D. 2

2 x? y?0 12 、若抛物线 y ? ax ? 1 上总存在两点关于直线 对称,则实数 a 的取值范围是



).

1 A.( , ??) 4

3 B. ( ?? , ) 4

1 C. ( 0 , ) 4

1 3 D.( , ) 4 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

3 x 13、已知双曲线的渐近线方程为 y=± 4 ,则此双曲线的离心率为________.
2 14、长度为 a 的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线 y ? 2 px( p ? 0且a ? 2 p) 上滑动,则线

段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离是

.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 F, F F F PF b 15、 1 2 是椭圆 a 的两个焦点,点 P 是椭圆上任意一点,从 1 引∠ 1 2 的外
角平分线的垂线,交

F2 P 的延长线于 M,则点 M 的轨迹是

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0且a ? b) F,F2 为双曲线 a 2 b2 16、已知 1 的两个焦点, P 为双曲线右支

上异于顶点的任意一点, O 为坐标原点.下面四个命题( A. B. C. D.

).

△PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x ? a 上; △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x ? b 上; △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上; △PF1F2 的内切圆必通过点 ? a, 0? .

其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分)

4 x2 y 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 2 b 椭圆 a 的两个焦点为 F1、 F2,点 P 在椭圆 C 上,且 |P F1|= 3 ,| P 14 F2|= 3 ,
P F1⊥PF2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对 称,求直线 L 的方程. 18、 (本小题满分 12 分) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验 . 设计 方案是:如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程

y2 x2 ? ?1 为 100 25 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛

64 ? ? M ? 0, ? 7 ? 为顶 物线) 后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 ?
点 的 抛 物 线 的 实 线 部 分 , 降 落 点 为 D( 8, 0 ) . 观 测 点

A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:若航天器在 x 轴上方,则在观测点 A 、 B 测得离航天器的距离分别为多少时,应 向航天器发出变轨指令? 19、 (本小题满分 12 分) 已知两定点

F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0

? ,满足条件 PF

2

? PF1 ? 2

的点 P 的轨迹是曲线 E , 直

线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点.如果 20、(本小题满分 12 分)

AB ? 6 3

,求直线 AB 的方程。

x2 y 2 5 ? 2 ?1 2 (a ? 0,b ? 0) 的离心率为 2 . F1,F2 分别为左、右焦点, M b 如图,双曲线 a
F1M ? F2 M ? ? 1 4.

为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且 (1)求双曲线的方程;

?1 ? B? , 0 (0 ? m ? 1) 0) 和 ? m ? ? (2)设 A(m, 是 x 轴上的两点,过点 A 作斜率不为 0 的直线 l ,
使得 l 交双曲线于 C,D 两点,作直线 BC 交双曲线于另一点 E .证明直线 DE 垂直于 x 轴. 21、(本小题满分 12 分) → → 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且AF=λFB(λ>0) .过 A、 B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. → → (1)证明FM· AB为定值; (2)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值. 22、 (本小题满分 14 分)

x 2 y2 + 2 =1 2 b 如图,椭圆 Q: a (a?b?0)的右焦点 F(c,0) ,过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转
动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 H 的方程;

? (2)在 Q 的方程中,令 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0??? 2 ) ,确定 ? 的值,使原点
距椭圆的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时, 三角形 ABD 的面积最大? 答案详解

F,F FF 1. 答案:D. 解:当 a ? 6 时轨迹是以 1 2 为焦点的椭圆;当 a ? 6 时轨迹是线段 1 2 ;
当 a ? 6 时轨迹不存在.故选 D.

? m? ? 0, ? 2.答案:D. 解:∵抛物线方程的标准形式为: x ? my ,∴其焦点坐标为 ? 4 ? ,故选
2

D.

3.答案:A. 解:

mx2 ? y 2 ? 1 是双曲线,∴
?

x2 y ? ?1 1 ?m m<0,且其标准方程为 .又
2

其虚轴长是实轴长的 2 倍,∴

1 1 m?? ?4 m 4 ,故选 A. ,∴
∴ c ? 2. 又相应于

4.答案:C. 解: 椭圆的中心为 (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0),

x??
焦点 F 的准线方程为

a2 7 a2 5 7 1+ ? ? 2 2 2 2, ∴ c 2 , ∴ c 2 ,∴ a ? 5,  c ? 4,  b ? 1,∴

( x ? 1)2 2 ? y ?1 所求椭圆的方程是 5 ,故选 C.
4 4 5.答案:A.解: a=5,b=3,∴c=4,F(4,0) , e= 5 .由焦半径公式可得|AF|=5- 5 x1, 4 9 4 4 AF , BF , CF |BF|=5- 5 ×4= 5 ,|CF|=5- 5 x2,故 成等差数列 ?(5- 5 x1)+(5 4 9 x ? x2 ? 8 ,故选 A. - 5 x2)=2× 5 ? 1
6.答案:D. 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是 两 圆 的 圆 心 .

PM ? MF 1 ? PF 1 , PN ? NF 2 ? PF 2 ,



PM ? PN ? PF1 ? PF2 ? MF1 ? NF2
? 6 ? MF1 ? NF2
=6+2+1=9,当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及点 P 与 N、F2 三点

共线时取等号,故选 D. 7.答案:C. 解:∵ 2a ? 2, 而

AB ? 4 ,∴A,B 分别在双曲线两支上的直线有 2 条;又∵通
l

径长=4,∴A,B 在双曲线同一支上的直线恰有 1 条,∴满足条件的直线共有 3 条. 故选 C. 8.答案:C. 解:∵点 P(2,1)在抛物线内部,且直线 1 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,∴过点 P 的直线

l 2 再过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意,∴满足条件的直线 l 2 共有 3 条.
PC1 .由 C1 是定点, BC 是定

9.答案:B.解:易知点 P 到直线 C1D1 的距离为

直线.据题意,动点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离.由抛物线的定义,知轨迹为 抛物线.故选 B. 10. 答案:C. 解:设过焦点 P 的弦的两个端点及弦的中点分别为 A、B、P,它们在右准线

上的射影分别为 A? 、 B ? 、 P ? ,则圆心 P 到准线的距离

PP ? ?

1 ? AA? ? BB? ? 2 ,而圆的半

AB 1 e ? ? AF ? BF ? ? ? AA? ? BB? ? 2 2 径= 2 ,又∵e<1,∴圆心 P 到准线的距离>圆的半
径, ∴圆与右准线相离.

11. 答案: A. 解: 据题意, 直线 l 的方程为 y=x-1, 代入双曲线 M 的渐近线

x2 ?

y2 ?0 b2 方

B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) , 程得 (b ?1) x ? 2 x ?1 ? 0 ,设两交点为
2 2

2 ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? b2 ? ? x ?x ? 1 ? 1 2 1 ? b 2 ,∴ 则 ?

1 ? x1 ? ? ? 4 ? ?x ? ? 1 ? 2 2 ,∴ b2=9, x1+x2=2x1x2.又 | AB |?| BC | ,∴点 B 为 AC 的中点,∴2x1=1+x2,解得 ?
c ? 10 ∴ c ? 10 ,∴双曲线 M 的离心率 e= a ,选 A.
12. 答 案 : B. 提 示 : 设 P 、 Q 关 于

x? y?0

对 称 , 则 可 设 直 线 PQ 的 方 程 为 :
2
?

y ? x ? b,由y ? x ? b
a(b ? 1) ? 0

2 , ax ? x ? b ? 1 ? 0 . 和 y ? ax ? 1 联 立 , 消 去 y 得



=1+4

,??① 又 PQ 中点

M(

1 1 1 , ? b) b?? x? y?0 2a 2b a 在 上,得 ??② 联立

a?
①②,解得

3 4 ,故选 B.

5 5 a 3 4 5 5 e? ? 3 或4. 13. 答案: 3 或 4 . 解:据题意, b 4 或 3 ,∴
1 1 ( a ? p) ( a ? p) 2 14. 答案: .提示: 当线段 AB 过焦点时, 点 M 到准线的距离最小, 其值为 2 .

15. 答案: 以点

F2 为圆心, 以 2a 为半径的圆. 提示: ∵|MP|=|F1P|,∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a, F2 为圆心,以 2a 为半径的圆.

∴点 M 到点 F2 的距离为定值 2a,∴点 M 的轨迹是以点 16. 答案:A、D.解:设

△PF1F2 的内切圆分别与 PF1、PF2 切于点 A、B,与 F1F2 切于点

M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又点 P 在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|

=2a, 故|F1M|-|F2M|=2a, 而|F1M|+|F2M|=2c, 设 M 点坐标为 (x, 0) , 则由|F1M|-|F2M| =2a 可得(x+c)-(c-x)=2a,解得 x=a,显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴,故 A、D 正确. 17. 解:(1) ∵点 P 在椭圆 C 上,∴ 在 Rt△PF1F2 中,

2a ? PF1 ? PF2 ? 6
2

,a=3.

F1 F2 ?

PF2 ? PF1

2

? 2 5,

故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? 4 =1. 从而 b2=a2-c2=4, ∴椭圆 C 的方程为 9
(2)设 A,B 的坐标分别为(x1, y1) 、 (x2, y2). ∵圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, ∴ 圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. ??(*)

又∵A、B 关于点 M 对称.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2 ∴

k?
解得

8 9,

y?
∴直线 l 的方程为

8 ( x ? 2) ? 1, 9

即 8x-9y+25=0. 此时方程(*)的 ? ? 0 ,故所求

的直线方程为 8x-9y+25=0. 解法二:(1)同解法一. (2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

由题意 x1 ? x2 且
2

∴圆心 M 的坐标为(-2,1).

x1 y ? 1 ? 1, 9 4 ??①

2

2

x2 y ? 2 ? 1, 9 4 ??②

2

由①-②得

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4

??③

y1 ? y 2 8 x ? x2 = 9 ,即直线 l 的 又∵A、B 关于点 M 对称,∴x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得 1
8 斜率为 9 , 8 ∴直线 l 的方程为 y-1= 9 (x+2) ,即 8x-9y+25=0. 此时方程(*)的 ? ? 0 ,故所求的
直线方程为 8x-9y+25=0.

y ? ax 2 ?
18. 解 : (1)由题意,设曲线方程为

64 7 , 将 点 D(8,0) 的 坐 标 代 入 , 得

0 ? a ? 64 ?

64 7 .

a??


1 7 ,

y??
∴ 曲线方程为

1 2 64 x ? 7 7 .

(2) 设变轨点为 C(x,y), 根据题意可知

? x2 y2 ? ? ? 100 25 ? 1,?? ?1? ? ? y ? ? 1 x 2 ? 64 ,?? ?2 ? ? 7 7 ?

将 (2) 代入 (1) ,

得 4y2-7y-36=0,解之,得 y=4(y=-9/4 舍去) ,于是 x=6,所以点 C 的坐标为(6,4) . 所以

AC ? 2 5 BC ? 4
,

.

因此,在观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为 2 5,4 时,应向航天器发出变轨指令. 19. 解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 且c ?

F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0

? 为焦点的双曲线的左支,

2 2 2, a ? 1 ,∴ b ? 1 , 故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? .

? y ? kx ? 1, ? 2 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? x ? y 2 ? 1, 设 ,由题意建立方程组 ?
1 ? k 2 x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 y 消去 ,得 .
? 1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0, ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0, 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ? 0, ? 1? k 2 已 知 直 线 与 双 曲 线 左 支 交 于 两 点 A, B , ∴ ?
∴ ? 2 ? k ? ?1 . 又∵
2 AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?

y

?

?

A

B O

x

? x1 ? x2 ?
2 2 2

2

? 4 x1 x2

?2 ? 2 ? ?2k ? ? 1? k 2 ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ? ,
2

2

依题意得

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3
4 2 , 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0 ,

k2 ?


5 5 k2 ? 7或 4

但 ? 2 ? k ? ?1

k ??


5 2 ,

5 x ? y ?1 ? 0 故直线 AB 的方程为 2 .

20. 解:(1)根据题设条件,

F1 (?c,0), F2 (c,0).

设点 M ( x, y ), 则 x 、 y 满足

? a2 x ? ? . ? ? c ? ? y ? ? b x. ? a ?

e?

2a 2b c 5 M (? , ) ? , 5 5 , a 2 ∴可解得
2a 2b 2a 2b ? c, ) ? (? ? c, ) 5 5 5 5

C

故F1M .F2 M ? (?
?

4 2 2 4 2 1 a ?c ? b ? ? . 5 5 4 5 1 c2 ? , a 2 ? 1 , b2 ? . 2 2 4 于是 4 因此,所求双曲线方程为 x ? 4 y ? 1. 由 a ?b ? c ,得
2 2 2

(2)设点

C( x1, y1 ), D( x2 , y2 ), E( x3 , y3 ), 则直线 l 的方程为

y?

y1 ( x ? m). x1 ? m

于是

C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) 两点坐标满足

y1 ? ? y ? x ? m ( x ? m) 1 ? ? x2 ? 4 y2 ? 1 ?

① ②

将①代入②得

( x12 ? 2x1m ? m2 ? 4 y12 ) x2 ? 8my12 x ? 4 y12m2 ? x12 ? 2mx1 ? m2 ? 0.

x12 ? 2mx1 ? m2 x12 xx ?? . m2 ? 2x1m ? 1 ? 0. 于是 1 2 m2 ? 2 x1m ? 1 由已知,显然 x2 ? ?


x1 ? 0,

x1 ? 2m ? m2 x1 . m2 ? 2 x1m ? 1

同理,

C ( x1 , y1 ) 、 E ( x3 , y3 ) 两点坐标满足
x1 ? 2

y1 1 ? y? ( x ? ), ? 1 m ? x1 ? ? m ? 2 2 ? ? x ? 4 y ? 1,
所以

1 1 ? ( ) 2 x1 m2 x1 ? 2m ? x1 m m x3 ? ? ?? . 2 1 2 1 ? 2 x m ? m 1 ( ) ? 2 x1m ? 1 m 可解得

x2 ? x3 ,故直线 DE 垂直于 x 轴.

→ → 21. 解:(1)由已知条件,得 F(0,1),λ>0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).由AF=λFB,

? ① ?-x1=λx2 得(-x1,1-y)=λ(x2,y2-1),∴ ? ? ?1-y1=λ(y2-1) ②

1 1 将①式两边平方并把 y1= x12,y2= x22 代入得 y1=λ2y2 4 4 1 由②、③得 y1=λ,y2= ,∴x1x2=-λx22=-4λy2=-4. λ 又 1 1 抛物线方程为 y= x2,∴y′= x. 4 2



∴过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是: 1 1 1 1 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2,即 y= x1x- x12,y= x2x- x22. 2 2 2 4 2 4 x1+x2 x1x2 x1+x2 由此可得两条切线的交点 M 的坐标为( , )=( ,-1). 2 4 2 x1+x2 → → 1 1 1 ∴FM· AB=( ,-2)· (x2-x1,y2-y1)= (x22-x12)-2( x22- x12)=0, 2 2 4 4 → → ∴FM· AB为定值 0. 1 (2)由(1)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 又|FM|= = x1+x2 ( )2+(-2)2= 2 1 2 1 2 1 x + x + x x +4= 4 1 4 2 2 1 2 1 y1+y2+ ×(-4)+4 2

1 1 λ+ +2= λ+ . λ λ

1 1 又据抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+ +2=( λ+ )2. λ λ

1
1 1 ∴S= |AB||FM|= 2 ( λ+ )3, 2 λ 由 λ+ 1 1 ≥2 知 S≥4,当且仅当 λ= λ λ 即 λ=1 时等号 y m B F O P A D x

成立,∴

Smin ? 4.

x 2 y2 + 2 =1 2 b 22. 解:如图, (1)设椭圆 Q: a (a?b?0)上的
点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,又设 P 点坐标为 P(x,y) ,
2 2 2 2 2 2 ? ?b x1+a y1=a b , ? 2 2 2 2 2 2 ?b x 2+a y 2=a b , 则?

l

?1? ? 2?

1? 当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, (1)-(2)得 b2(x1-x2) ? 2x+a2(y1-y2) ? 2y=0,

y1-y2 b2 x y =- 2 = x -x 2 a y x-c ∴ 1



∴b2x2+a2y2-b2cx=0????(3) 2? 当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F,适合方程(3). 故所求点 P 的轨迹 H 的方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0.

a2 a2 (2)因为椭圆 Q 的右准线 l 的方程是 x= c ,原点距 l 的距离为 c , c2=a2-b2, a 2 1+cos ?+sin ? ? ? ? 1+cos ? 又 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0??? 2 ) ,∴ c = =2sin( 2 + 4 ).

? ∴当 ?= 2 时,上式达到最大值,此时 a2=2,b2=1,c=1,D(2,0) ,|DF|=1,
x2 +y 2=1 从而椭圆 Q 的方程为 2 .
1 1 1 设椭圆 Q 上的点 A (x1, y1) 、 B (x2, y2) , 则三角形 ABD 的面积 S= 2 |y1|+ 2 |y2|= 2 |y1
-y2|.

x2 +y 2=1 2 又设直线 m 的方程为 x=ky+1,代入 ,得(2+k2)y2+2ky-1=0,

由韦达定理得 y1+y2=

2k 1 - 2 2+k ,y1y2= 2+k 2 ,

8(k 2+1) 2 2 ∴4S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4 y1y2=(k +2) .

8t 8 8 = ? =2 2 (t+ 1) t+1+2 4 t 令 t=k2+1?1,得 4S2= ,当且仅当 t=1,k=0 时取等号,
∴当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴的位置时,三角形 ABD 的面积最大.


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