高中数学:1.1.3导数的几何意义教案


§1.1.3 导数的几何意义
教学目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点:导数的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 我们知道, 导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率, 反映了 函数 y=f(x)在 x=x0 附近 的变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢? 二.新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率:如图 3.1-2,当 P ( xn , f ( xn ))( n ?1,2,3,4) 沿着曲线 f ( x ) n 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线 PP 的变化趋势是什么? n

图 3.1-2 我们发现,当点 P 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PP 趋近于确定的位置,这个确 n n 定位置 的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题:⑴割线 PP 的 斜率 kn 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? n ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少?

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容易知道, 割线 PP 的斜率是 kn ? n

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P 沿着曲线无限接近点 P 时,kn 无限 n xn ? x0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ?x

趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim

?x ?0

说明: (1)设切线的倾斜角为 α ,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线 的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否 有极限位置来判断与 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切 线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以 无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ② 求 出 函 数 在 点 x0 处 的 变 化 率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ?x

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程. (二)导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y? , 即: f ?( x) ? y? ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (三)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数 之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之 比的极限, 它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是 函数 f(x)的导函数 3) 函数 f ( x ) 在点 x0 处的导 数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值, 这也是 求函数 在点 x0 处的导数的方法之一。 三.典例分析

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2 例 1:(1)求曲线 y=f(x)=x +1 在点 P(1,2)处的切线方程. 2 (2)求函数 y=3x 在点 (1,3) 处的导数. 解: (1) y? |x ?1 ? lim

[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 ? lim ? 2, ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

所以,所求切线的斜率为 2,因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 (2)因为 y? |x ?1 ? lim

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

所以,所求切线的斜率为 6,因此,所求的切线方程为 y ? 3 ? 6( x ? 1) 即 6 x ? y ? 3 ? 0 (2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
2

解:

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ? x ?0 ?x ? x ?0 ?x

f ?(?1) ? lim

例 2. (课本例 2)如图 3.1-3 ,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h( x) ? ?4.9x2 ? 6.5x ? 10 ,根据图像,请描述、比
较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 解:我们用曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 处的切线,刻画曲 线 h(t ) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t ? t0 时,曲线 h(t ) 在 t 0 处的切线 l0 平行于

x 轴,所以,在 t ? t0 附近曲线比较平坦,几
乎没有升降. (2) 当 t ? t1 时, 曲线 h(t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h?(t1 ) ? 0 , 所以, t ? t1 附近曲线下降, 在 即函数 h( x) ? ?4.9x ? 6.5x ? 10 在 t ? t1 附近单调递减.
2

(3) 当 t ? t2 时, 曲线 h(t ) 在 t 2 处的切线 l2 的斜率 h?(t2 ) ? 0 , 所以, t ? t2 附近曲线下降, 在 即函数 h( x) ? ?4.9x ? 6.5x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减.
2

-3-

从图 3.1-3 可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度,这说明曲线在 t1 附近比在

t 2 附近下降的缓慢.
例 3. (课本例 3)如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时间

t (单位: min )变化的图象.根据图像,估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时,血管中药物浓度的
瞬时变化率(精确到 0.1 ) .

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度 f (t ) 在此时刻的导数 ,从图像 上看,它表示曲线 f (t ) 在此点处的切线的斜率. 如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物 浓度瞬时变化率的近似值. 作 t ? 0.8 处的切线,并在切线上去两点,如 (0.7,0.91) , (1.0,0.48) ,则它的斜率为:

k?
所以

0.48 ? 0.91 ? ?1.4 1.0 ? 0.7

f ?(0.8) ? ?1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估 计值:

t
药物浓度瞬时变化率 f ' (t ) 四.课堂练习 1.求曲线 y=f(x)=x 在点 (1,1) 处的切线; 2.求曲线 y ?
3

0.2 0.4

0.4 0

0.6 -0.7

0.8 -1.4

x 在点 (4, 2) 处的切线.

五.回顾总结 1.曲线的切线及切线的斜率; 2.导数的几何意义 六.布置作业
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