贵州省遵义航天高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


贵州省遵义航天高级中学 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题 理
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.复数 z=1﹣i,则 A. B. =( ) C. D.

2.若

,且 a>1,则 a 的值为(

)

A.6 B.4 C.3 D.2 3. 数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于() A、28 B、32 C、33 D、27 2 4.“a=-1”是“直线 a x-y+6=0 与直线 4x-(a-3)y+9=0 互相垂直”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 5. 下列命题是真命题的是 (A) a>b是ac 2>bc 2 的充要条件 (C) ?x0 ? R, e 6.已知椭圆
x0

(B) a>1, b>1是ab>1 的充分条件 (D)若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真

?0

=1(a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为(



A. 10 B. 20 C. D. 7.已知直线 L 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点, 则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 8.用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )[来源:Z-xk.Com] (A)243 (B)252 (C)261 (D)279 9.已知直线 m:x+2y-3=0,函数 y=3x+cos x 的图象与直线 L 相切于Ρ 点,若 L⊥m,则Ρ 点的坐标可能是( ) A.(- ,- ) B.( , ) C.( , ) D.(- ,- )

10.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在 一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有( ) A. B. C. D.

11.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点 F,直线 x= 与其渐近线交于 A,B 两点,且△ABF 为钝角三角形,则[来源:学+科网ZXK] 双曲线离心率的取值范围是( A.( ,+∞) B.(1,
3 2

) ) C.( ,+∞) D.(1, ) )
1

12.当 x∈[-2,1]时,不等式 ax -x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A.[-5,-3]

B.[-6,- ]

C.[-6,-2]

D.[-4,-3]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 2an 13.在数列 {an}中, a1= 1, an+ 1= (n∈N+ ),试猜想这个数列的通项公式 2+ an



14.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3) +y =1 和圆(x-3) +y =4 上的点,则|PM|+|PN|的最小 值为 . 15. 如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D4 块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共 有 种(用数字作答).

2

2

2

2

16.设函数 f(x)的定义域为 D,若? x∈D,? y∈D,使得 f(y)=-f(x)成立,则称函数 f(x)为“美丽函数”.下 列所给出的五个函数: ①y=x ;②y=
2

;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3;

⑤y=2sin x-1. 其中是“美丽函数”的序号有 . 三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,其余每题 12 分) 17.有 4 个不同的球与 4 个不同的盒子,把球全部放入盒子内. (1) 恰有 1 个盒子不放球,共有几种放法? (2) )恰有 2 个盒子不放球,共有几种放法?

[来源:学+科网ZXK] 18.设函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax+8,其中 a∈R.已知 f(x)在 x=3 处取得极值. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在点 A(1,16)处的切线方程.
3 2

19 如图所示,斜率为 1 的直线过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,与抛物线交于 A,B 两点,M 为抛物线弧 AB 上的[来源:学科网Z-XK] 动点.

2

2

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求 S△ABM 的最大值.

20 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点. (1)求证:直线 AF∥平面 PEC; (2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

[来源:学+科网ZXK]

x2 y2 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 a b
2 ,过点 B(0,-2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. 2 (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

[来源:学科网Z-XK] 22. (本小题满分 12 分)设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) . (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ? ∞) 内的单调性并求极值;
3

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

4

1.D

高二理数参考答案 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.B 10. D 11. D 12.C 14. 7
2

2 13. an= . n+1

15. 480

16. ②③④

7 解析: 设抛物线方程 y =2px(p>0),

F 为抛物线焦点, 则直线 l 垂直于 x 轴, AF==6, 所以△ABP 的边 AB 上的高 h=6, 所以 S△ABP=?12?6=36.故选 C 8.解析:由 0,1,?,9 十个数字共可组成三位数个数为=900,其中无重复数字的三位数有=648(个),则符合题 意的三位数个数为 900-648=252.故选 B. 9.解析:由 l⊥m 可得直线 l 的斜率为 2,函数 y=3x+cos x 的图象与直线 l 相切于Ρ 点,也就是函数在 P 点的 导数值为 2,而 y ′=3-sin x=2,解得 sin x=1,只有 B,D 符合要求,而 D 中的点 不在函数图象上,因此选 B. 10 解析:先把 3 个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头 尾,油画与国画有种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有种. 11 解析:由题意设直线 x=与 x 轴的交点为 D, 因为三角形 ABF 为钝角三角形,且∠BFD=∠AFD, 所以∠AFD>,又|DF|=c-=,双曲线的渐近线方程为 y=±x, 所以可得 A,B 两点坐标分别为(,),(,-), 所以 tan∠AFD===>1,即 b<a,则 e==<=,故 e∈(1,).故选 D.[:Z-xk.Com] 3 2 12 解析:当 x∈(0,1]时,得 a≥-3() -4() +, 令 t=, 3 2 则 t∈[1,+∞),a≥-3t -4t +t, 3 2 令 g(t)=-3t -4t +t,t∈[1,+∞), 2 则 g′(t)=-9t -8t+1=-(t+1)(9t-1), 显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减, 所以 g(t)max=g(1)=-6, 因此 a≥-6; 同理,当 x∈[-2,0)时,得 a≤-2. 由以上两种情况得-6≤a≤-2. 显然当 x=0 时对任意实数 a 不等式也成立. 故实数 a 的取值范围为[-6,-2]. 14 解析:由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为 |PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:7[来源:学*科网] 15 解析:从 A 开始涂色,A 有 6 种涂色方法,B 有 5 种涂色方法,C 有 4 种涂色方法,D 若与 A 颜色相同有 1 种 涂色方法,否则有 3 种涂色方法.共有 6?5?4?(1+3)=480 种涂色方法. 答案:480 16.解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意.答案: ②③
5

④ 17.(1)144 (2)84 18 (1)f′(x)=6x -6(a+1)x+6a. ∵f(x)在 x=3 处取得极值, ∴f′(3)=6?9-6(a+1)?3+6a=0, 解得 a=3. ∴f(x)=2x -12x +18x+8. (2)A 点在 f(x)上, 由(1)可知 f′(x)=6x -24x+18,
2 3 2 2

f′(1)=6-24+18=0,
∴切线方程为 y=16. 19 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由条件知 lAB:y=x-,与 y =2px 联立, 2 2 消去 y,得 x -3px+p =0,则 x1+x2=3p. 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p. 2 又因为|AB|=8,即 p=2,则抛物线的方程为 y =4x. (2)由(1)知|AB|=4p,且 lAB:y=x-, 设与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 y=x+m, 代入抛物线方程, 2 2 2 2 得 x +2(m-p)x+m =0.由Δ =4(m-p) -4m =0,得 m=. 与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 y=x+, 2 两直线间的距离为 d==p,故 S△ABM 的最大值为?4p?p=p . 20.)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M,连接 EM.
2

因为点 F 为 PD 中点, 所以 FM=CD, 所以 AE=AB=FM, 所以四边形 AEMF 为平行四边形, 所以 AF∥EM, 因为 AF?平面 PEC,EM? 平面 PEC, 所以直线 AF∥平面 PEC. (2)解:连接 DE,因为∠DAB=60°, 所以 DE⊥DC.如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0), A(,-,0),B(,,0).所以=(-,,1), =(0,1,0). 设平面 PAB 的一个法向量为 n=(x,y,z), 因为 n?=0,n?=0, 所以取 x=1,则 z=, 所以平面 PAB 的一个法向量为 n=(1,0,), =(0,1,-1), 所以设向量 n 与所成角为θ , 所以 cos θ ===-, 所以 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为. 21.解析:
6

(1)由题意知 b=1, =

c a

2 2 2 2 ,且 c =a +b ,解得 a= 2,c=1. 2

易得椭圆方程为 +y =1. 2 (2)∵F1(-1,0),∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2,

x2

2

y=-2x-2 ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?2
2

得 9x +16x+6=0.

2

∵Δ =16 -4?9?6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 16 x +x =- ? ? 9 设为 C(x ,y ),D(x ,y ),则? 2 x ?x = ? ? 3
1 2 1 1 2 2 1 2

∴|CD|= 1+?-2? |x1-x2|= 5? ?x1+x2? -4x1x2= 5? 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= 1 4 故 S? CDF2 = |CD|?d= 10. 2 9 22 (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 4 5 , 5

2

2

?-16?2-4?2=10 2, ? 9? 3 9 ? ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:[来源:Z-xk.Com]

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x
F ?( x)
F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?
?

?
?

故 知 F ( x) 在 (0, 2) 内 是 减 函 数 , 在 (2, ? ∞) 内 是 增 函 数 , 所 以 , 在 x ? 2 处 取 得 极 小 值

F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a .[来源:学科网Z-XK]
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ? ∞) 内单调增加. 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 .

7

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

8


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