专题:函数与导数的复习分析与指导


专题:函数与导数的复习分析与指导
学校:人大附中 一、专题内容分析 (一)本专题知识体系的梳理 主讲人:侯立伟

(二)本专题中研究的核心问题 培养函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题. 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策 略。简单地说,函数思想就是构造函数,利用函数的性质解决问题。使学生能够 揭示数学问题的本质,提升数学的思维水平,增强学习能力,提高数学素养。
函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程, 包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有 函数试题,考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函 数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析, 建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、 分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

(三)本专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、函数与方程的思想: 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转 化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式组),然后通过解方程或 不等式(组)使问题获解 2、数形结合的思想:实质是抽象的数学语言与直观图形的结合,使抽象思维
1

和形象思维在解题中交互运用。 通过对图形的认识,使初看很难或很繁的问题变 得容易和直观,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。 3、分类与整合的思想: 在研究问题时,若我们不能用同一种方法去处理,就 往往将这个问题恰当地划分成若干个部分的问题, 在解决了这些若干个部分问题 后,整个问题就得到了解决。确定分类的标准是分类法的关键。划分时,要注意 既不重复,又不遗漏。 4、化归与转化的思想:就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常 规、简单的问题。转化有等价与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果 是充要的。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正.(如 无理方程化有理方程要求验根) 转化能给人带来思维的闪光点,找到解题的突破 口。 2.关于导数的内容 微积分是数学中的重要内容,其思想方法和基本理论有着广泛的应用,恩格 斯称 “微积分是 17 世纪三大发明之一” , 是人类智慧的集中体现, 微积分的出现, 极大的促进了数学和科学技术的发展. 微积分在高中阶段介绍了导数、定积分等内容,为中学数学学习提供了新的方 法,同时也提供了重要的思想方法,学生也可以利用导数为工具,来研究函数的 性质.《课标》中对微积分的教学内容明确提出: “导数概念是微积分的核心概念 之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.要求学生通过大量实例,经历由 平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,体会导数的思想 及其内涵;了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积 分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础” . 微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果,是经过许多数学家、思想家的 艰苦努力才逐渐发展起来的关于连续性和无限小量的学说, 是继欧几里得几何之 后,数学中的一个最大的创造,关于微积分的辩证思想主要是: (1)常量与变量的辩证思想, (2)有限与无限的辩证思想, (3)以直代曲的辩 证思想. 切线概念:设 Q 为曲线 C 上不同于 P 点的一点,则直线 PQ 称为曲线的割线, 随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动,当点 Q 无限逼近 P 点时,直线 PQ 最终成为点 P 处最逼近曲线的直线 l ,这时直线 l 称为曲线在点
P 处的切线.
Q

y

M

导数的几何意义:已知曲线 C 是函数 y ? f ( x) 的图
P O

x

2

象, P( x0 , y0 ) 是曲线上一点,通过割线 PQ 的斜率的逼近切线的斜率. 点 Q 沿 着 曲 线 向 点 P 无 限 靠 近 时 , 也 就 是 说 ?x ? 0 , 那 么 当
?x ? 0, f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k .切线的斜率为 k , ?x

在学生的学习经验中,已有了圆的切线和圆锥曲线的切线的学习经历,对于 曲线的切线有了初步的感受,学会用代数的方法判定曲直线和曲线是否相切.在 学生的生活经验中, 通过观察透镜的反射现象, 能发现曲线的切线和法线的联系, 困难之一是正确理解切线的本质特征:割线的极限位置.原因是学生对于切线的 理解限于圆中的切线和圆锥曲线的切线

二、典型考题解构
关于切线概念的理解 例 1: 直线 y ? a 与函数 y ? 2( x ? 1) 和 y ? x ? ln x 分别交于 A, B 两点, 则 | AB | 的最小值 为____________1.5

概念的辨析: (1) 公共点个数:恰与曲线有一个公共点的直线未必是切线,且切线与曲线未必只有 一个公共点; (2) 判别式:对于高次的或非多项式的曲线,很难用判别式的方法进行切线的判定;
关于概念教学的思考: 一、有关概念教学环节 1.概念解构:概念的解构包括“学术解构”和“教学解构”。“学术解构”即从数学理论角度对概念 的内涵及其所反映的思想方法进行解析。包括的内容有:概念的内涵和外延;概念所反映的思想方法;概 念的发展历史 (用以说明概念的地位和作用) ; 概念的变式与联系 (从另一个侧面说明概念的地位和作用) ;

3

概念的教育价值;等。上述内容的呈现应该达到两个目的,一是让明确“这一概念的地位”;二是解决在 概念理解中可能出现的偏差,以提高对相应概念的认识水平。“教学解构”则是“学术解构”基础上对概 念的教学表达,重点放在概念发生发展过程的解析上,包括概念的概括过程、辨析过程(内涵与外延的变 式)和概念的应用(变式应用)等,其中寻找精当的例子以解释概念是一件具有创造性的工作 2.概念形成:学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。在概念 形成教学中,必须注意: (1)向学生提供适当数量、适当强度的刺激模式,以便于学生分析、比较; (2)要让学生进行充分的自主活动,使他们有机会经历概念产生的过程,并从共同属性中抽象出本 质属性; (3)概括成概念后,教师应引导学生对认知结构中的新旧概念进行分化,并将新概念纳入到已有的 概念系统中去 3.概念精致:在学习某个概念时,可能对所学概念有所拓展,有时甚至会做出某种推论,这个过程 被认知心理学家称为“精致”。在数学学习中,“精致”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细 的“深加工”,对“概念要素”进行具体界定,以使学生建立更清晰的概念表象,获得更多的概念例证, 对概念的细节把握更加准确,理解概念的各个方面,获得概念的某些限制条件等。它通常表现为对各种可 能的特例进行剖析,分析可能发生的概念理解错误,理解概念的各种变式。 4.概念图式:概念图式由一些反映概念属性的观念组成,概念图式中观念的多少、观念的准确与否、 观念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。 概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习,而是要 帮助学生获得概念的心理意义,即形成概念内涵的心理表象,或者说建构起良好的概念图式。良好的概念图 式是由一系列反映概念本质属性的观念组成。人类获取概念的主要方式是概念的形成与同化,概念的形成 是指从大量的具体例子出发,归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程,这是一种发现学习的过程。概 念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来接纳新概念的过程,这是一个接受学习的过程,它们的 最终目标都是掌握同类事物的关键属性,使学生建立起良好的概念认知图式 二、概念教学的基本模式 采用如下的基本教学流程:

4

三、概念教学反思模式的构建 在对“你在进行数学概念教学的反思时,通常的做法是________”的问卷中发现:有超过半数的教师 空白,其余教师也都是轻描淡写地写上几个字,如关注概念的形成、学生思维的发展等,没有涉及到真正 的反思。 反思项目 概念核心的 理解 内涵外延的 概 念 概 念 教 学 的 反 思 模 式 概 念 精 致 概 念 形 成 解 构 把握 思想方法的 渗透 教学目标的 要求 原概念图的 分析 问题背景的 呈现 概念得出的 过程 概念辨析的 设计 概念运用的 落实 概念深化的 程度 教学方法的 使用 学生能力的 师 生 活 动 培养 学生个性的 发展 课堂提问的 时效 评 价 方 式 与 程 度 对照教师用书或相关数学资料判断、分析自己在教学及设计中对概念的核心的理 解是否正确? 对照教师用书或相关数学资料判断、分析自己在教学及设计中对概念的内涵、外 延是否明确? 判断、分析自己在教学中是否为思想方法的渗透提供了合理的问题背景,是否只 停留在预设的层面上? 对照课程标准与教师用书(或目标测试的方式),判断、分析自己的教学达到了 要求中的哪个层次? 在教学及设计中是否有考虑学生已有的概念图式,并是否根据学生的最近发展区 进行教学? 呈现给学生进行归纳、概括并形成概念的背景的数量是否足够?是否有正、反两 方面的背景,是否由学生参与举例? 概念的得出是由教师自己完成,还是由学生通过对一类事物的共同本质属性进行 归纳、概括而成?学生的参与度如何? 概念中的注意事项是直接点出,还是通过设计适当的问题让学生自己感受、认识 到并总结出来的? 在运用概念解决问题时,设计的问题是否能够很好地加深学生对概念的理解与掌 握? 是否有效地结合问题深化概念,如概念变式等,是否已引导学生建立起新的概念 图式? 对于具体的概念课采用的教学方法是否合理?能否有效地引导学生积极开展双边 活动? 教学中是否重视学生的数学能力的培养,提供给学生的问题是否具有思维量,是 否给学生有足够思考的时间与空间? 是否关注学生的个体差异,并在教学设计时有所体现,课堂中能否把握学生的“奇 思妙想”? 课堂提问是否都有预设,提问是否恰时恰点,所提的问题是否都能符合学生的最 近发展区?

三、教学目标的分析与定位 关于函数的考试要求
要求层次 考试内容 A 函数的概念与表示 函数 映射 √
5

B

C √

函数概念 与指数函 数、 对数函 数、 幂函数 指数函数

单调性与最大(小)值 奇偶性 有理指数幂 实数指数幂 幂的运算 指数函数的概念、指数函数的图象及其性质 对数的概念及其运算性质 换底公式 对数函数 对数函数的概念、对数函数的图象及其性质 指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为 反函数( a ? 0 且 a ? 1 ) 幂函数的概念 幂函数
2 3 幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ?
1 2

√ √ √ √ √ √ √ √ √





1 , x



y ? x 的图象及其性质
函数的零点 函数模型 二分法 及其应用 函数模型的应用 √ √ √

关于导数的考试要求
考试内容 A 导数概念及 其几何意义 导数的概念 导数的几何意义 根据导数定义求函数 √ √ √ 要求层次 B C

y ? c, y ? x, y ? x2 , y ? x3 , y ?
导数的运算

1 , y ? x 的导数 x
√ √ √

导数的四则运算 简单的复合函数(仅限于形如 f (ax ? b) )的导数 导数公式表

6

导数在研究 函数中的应 用

利用导数研究函数的单调性(其中多项式函数不超过三 次) 函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) 利用导数解决某些实际问题 √ √ √

√ √

定积分与微 积分基本定 理

定积分的概念 微积分基本定理

函数是高考考查能力的重要素材, 以函数为基础与其它章节在知识综合考查能力的试题 在历年的高考试卷中占有较大的比重. 一般地,选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性、奇偶性、周期性、函数图象等 重要知识,关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透,着力体现概念性、思辨性和应用 意识.解答题大多以基本初等函数为载体,综合应用函数、导数、方程、不等式等知识,并 与数学思想方法紧密结合,对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无 限思想等进行较为深入的考查,体现了能力立意的命题原则.这些综合地统揽各种知识、应 用各种方法和能力的试题充分显示了函数的主干知识地位. 具体体现在以下几个方面 (1) 与函数有关的单独的试题仍然以小题形式 (选择与填空) 出现; 主要考查函数的概念、 表示法、定义域、值域;单调性、奇偶性、周期性、函数图象的对称等内容有关的小综合试 题;关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透,着力体现概念性、思辨性和应用意识. (2)考查有关函数单调性和奇偶性(周期性)的试题,从试题上看,抽象函数和具体函数 都有,另外试题注重对转化思想的考查. (3)考查与函数图象有关的试题,要从图中(或列表中)读取各种信息,注意利用平移变 换、伸缩变换、对称变换、函数值的变化趋势,特别注意函数的对称性对作图的帮助,培养 运用数形结合思想来解题的能力; (4)考查与指数函数和对数函数、幂函数有关的试题.对指数函数与对数函数、幂函数的 图象、性质从不同的角度结合运算推理加以考查. (5)加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题,引进变量建立函 数,运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识,发展能力. (6)解答题综合考查函数与导数,特别是导数在研究函数问题中的应用,突出考查函数与 方程、等价转化、数形结合、分类与整合、有限与无限等思想方法,所考查的问题具有一定 的综合性.试题会加强对创新意识和开放、探索精神的考查;随着导数的引进,特别是复杂 函数的单调性、方程是否有解、参数范围的讨论等。 (7)函数的应用主要是与实际生活结合的试题,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的 函数模型并用来解决问题.

四、教学实施建议

7

?? x2 ? ax, x ? 1, 例 2: (2012 海淀一模 7 题)已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 x ? 1, ?ax ? 1,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
(A) a < 2 (C) - 2 < a < 2 ( )

(B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2

分析:此题的背景是一个分段函数,解题的突破点在于正确理解两点: 第一点是是否能发现函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续. 第二点是如何理解“ ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立”. 符号“ ? ”意义是“存在” ,把题中的条件转化成文字语言,解读为“在实数集上,存 在两个不同的变量,使其对应的函数值不相等”.联想我们学过的函数性质,这就启发我们: 题目中其实说的就是“函数 f ( x) 在实数集上不单 调,求 a 的取值范围”.那么我们进一步可以思考, 如果能够转换为“函数 f ( x) 在实数集上单调 ,求 a .. 的取值范围” ,再求其补集即可. 当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x2 ? ax ,对称轴为 x ?

a , 2

开口向下,要使其在 (?? ,1] 单调,如图 1 ,只能

a ? 1 ,即 a ? 2 . 2
答案:A

图1

例 3.(2006 年北京高考 5 题)已知 f ( x ) ? ? 那么 a 的取值范围是( C ) (A) (0,1) (B) (0, )

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, log a x, x ? 1 ?
1 1 7 3 1 7

1 3

(C) [ , )

(D) [ ,1)

例 4.(2014 年北京理科) 已知函数

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2
8

?

(1)求证: (2)若 a ?

f ( x) ? 0 ;
sin x ? ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. 2 x

9

过程怎么写: (1)如何利用高等数学知识解决中学数学问题 错解:(求 b 的最小值) 令 g( x) ?

sin x x cos x ? sin x ? , x ? ( 0, ) ,则 g '( x ) ? 2 x x 2

所以 g '( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( 0, 运用洛必达法则 lim

?

2

) 上单调递减.

sin x cos x ? lim ? 1 ,所以 b 的最小值是 1. x ?0 x ?0 x 1

错因分析:

x )? ' 在运用洛必达法则时候,用到了 (sin
lim s i nx ? 1,所以这就是循环论证了. x ?0 x

co xs, 但 是 这 个 结 论 的 证 明 要 依 赖 于

10

2 cos( sin( x ? ?x ) ? sin x 即: (sin x )' ? lim ? lim ?x ?0 ?x?0 ?x 2 x ? ?x ?x cos( ) sin( ) 2 2 ? cos x ? lim ?x ?0 ?x 2
sin? ? sin ? ? 2 cos

2 x ? ?x ?x )sin( ) 2 2 ?x

???
2

sin

???
2

实际上这里如果用到泰勒级数的比较直观得到极限值.

sin x ? x ?

x3 x5 x7 x 4 n? 3 x 4 n?1 ? ? ?? ? ?? 3! 5! 7 ! ( 4n ? 3)! ( 4n ? 1)!

2.可以借图说话 若 0<α<

?
2

,则 sinα<α<tanα,

如图,在单位圆 O 中,

S?OMP ? S扇形OAP ? S?OAT ,
1 1 1 S?OMP ? sin ? , S扇形OAP ? ? , S?OAT ? tan ? 2 2 2
所以 sinα<α<tanα, 当 0<α<

O

?
2



sin x ? 1 ,故 b 的最小值为 1. x

3.不能以图代证 错解:

sin x ? b ,等价于 sin x ? bx ,讨论 y ? sin x 在 x=0 处的切线。 x

分析:只能画出 y ? sin x 的图象的草图,在原点附近,当 x 趋近于 0 时,是无法做出准确 的估计的.

11

例 5: (2014 年北京高考文科 20 题)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x .
3

(Ⅰ)求 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (Ⅱ)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 t 的取值范围; (Ⅲ)问过点 A(?1, 2), B (2,10),C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?(只需 写出结论) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 2 x ? 3x 得 f '( x) ? 6 x ? 3 .
3 2

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?

2 2 或x? . 2 2 2 2 ) ? 2, f ( ) ? ? 2, f (1) ? ?1 , 2 2 2 )? 2. 2

因为 f (?2) ? ?10, f (?

所以 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值为 f (?

(Ⅱ)设过点 P(1, t ) 的直线与曲线 y ? f ( x) 相切于点 ( x0 , y0 ) ,
3 2 则 y0 ? 2 x0 ? 3x0 ,且切线斜率为 k ? 6x0 ? 3. 2 所以切线方程为 y ? y0 ? (6x0 ? 3)( x ? x0 ) . 2 因此 t ? y0 ? (6x0 ? 3)(1 ? x0 ) . 3 2 整理得 4x0 ? 6x0 ?t ?3 ? 0.

设 g ( x) ? 4 x ? 6 x ? t ? 3 .
3 2

12

则“过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切”等价于“ g ( x) 有 3 个不同零点”.

g '( x) ? 12x2 ?12x ? 12x( x ?1) .
g ( x) 和 g '( x ) 的情况如下:

x
g '( x ) g ( x)

(??, 0)

0
0
t ?3

(0, 1)

1
0
t ?1

(1, ? ?)

?


?


?


所以, g (0) ? t ? 3 是 g ( x) 的极大值, g (1) ? t ? 1 是 g ( x) 的极小值. 当 g (0) ? t ? 3 ? 0 ,即 t ? ?3 时,此时 g ( x) 在区间 (??, 1] 和 (1, ? ?) 上分别至多有 1 个零点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点. 当 g (1) ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? ?1 时,此时 g ( x) 在区间 (??, 0) 和 [0, ? ?) 上分别至多有 1 个零 点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点. 当 g (0) ? 0 且 g (1) ? 0 ,即 ?3 ? t ? ?1 时,因为 g (?1) ? t ? 7 ? 0, g (2) ? t ? 11 ? 0 ,所以 和 [1, 2) 上 恰 有 1 个 零 点 . 由 于 g ( x) 在 区 间 (?? , 0 )和 g ( x) 分 别 在 区 间 [? 1, 0), [ 0, 1)

(1, ? ?) 上单调,所以 g ( x) 分别在区间 (??, 0) 和 [1, ? ?) 上恰有 1 个零点.
综上,当过点 P(1, t) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切时, t 的取值范围是 (?3, ?1) .

(Ⅲ)过点 A(?1, 2) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切; 过点 B(2,10) 存在 2 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切; 过点 C (0, 2) 存在 1 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切. A 点处切线情况:
3.5 3 2.5

A

C
2 1.5

1

0.5

6

5

4

3

2

1

O
0.5

11

2

3

4

5

6

1

D
1.5 2

2.5

(B 点在抛物线上,不是对称中心,有两条)
3 3.5

13

4

3

C 点处的切线

A

C
2

1

6

4

2

O
1

1

2

4

6

2

3

4

拓展研究: (预备定理) (1)t=-1 和-3 的含义是什么?几何意义是什么? (2)设 P( x0 , y0 ) 为函数 f ( x ) 图象上一个定点,过 P 点可以作函数 f ( x ) 几条切线? 试证明你的结论. 证明: 过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条; 过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.

例 6 逻辑推理的考察 (2016 年北京高考文科)设函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c.
3 2

(I)求曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程; (II)设 a ? b ? 4 ,若函数 f ? x ? 有三个不同零点,求 c 的取值范围;
2 (III)求证: a ? 3b>0 是 f ? x ? 有三个不同零点的必要而不充分条件.

?

?

解: (I)由 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ,得 f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b .
3 2 2

因为 f ? 0? ? c , f ? ? 0? ? b , 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程为 y ? bx ? c .

?

?

14

(II)当 a ? b ? 4 时, f ? x ? ? x ? 4x ? 4x ? c ,
3 2

所以 f ? ? x ? ? 3x ? 8x ? 4 .
2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 3x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 或 x ? ?

2 . 3

f ? x ? 与 f ? ? x ? 在区间 ? ??, ??? 上的情况如下:

x
f ? ? x?
f ? x?

? ??, ?2?
?
?

?2

2? ? ? ?2, ? ? 3? ?

?

2 3

? 2 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?

0

?
?

0
c? 32 27

?
?

c

所以,当 c ? 0 且 c ?

32 2? ? ? 0 时,存在 x1 ? ? ?4, ?2? , x2 ? ? ?2, ? ? , 27 3? ?

? 2 ? x3 ? ? ? , 0 ? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 . ? 3 ?
由 f ? x ? 的单调性知,当且仅当 c ? ? 0, 零点.
2 (III)当 ? ? 4a ? 12b ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ? 0 , x ? ? ??, ??? ,

? ?

32 ? 3 2 ? 时,函数 f ? x ? ? x ? 4x ? 4x ? c 有三个不同 27 ?

2

此时函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ??? 上单调递增,所以 f ? x ? 不可能有三个不同零点.
2 当 ? ? 4a ? 12b ? 0 时, f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b 只有一个零点,记作 x0 .

2

当 x ? ? ??, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ? ??, x0 ? 上单调递增; 当 x ? ? x0 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在区间 ? x0 , ??? 上单调递增. 所以 f ? x ? 不可能有三个不同零点.
2 综上所述,若函数 f ? x ? 有三个不同零点,则必有 ? ? 4a ? 12b ? 0 . 2 故 a ? 3b ? 0 是 f ? x ? 有三个不同零点的必要条件.
3 2 2 当 a ? b ? 4 , c ? 0 时, a ? 3b ? 0 , f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 x ? x ? x ? 2 ? 只有两个不同 2

15

零点, 所以 a2 ? 3b ? 0 不是 f ? x ? 有三个不同零点的充分条件. 因此 a2 ? 3b ? 0 是 f ? x ? 有三个不同零点的必要而不充分条件. 例 7(函数映射概念的灵活应用) (2007 年:北京 20 题) 已知集合 A ? ?a1,a2, 2, ?,k ) ,由 A 中的元素构成两 ?,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1, 个相应的集合:

S ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? , T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? .
其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ? A ,总有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P . (I)检验集合 ?0, , 2, 3? 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写出相应 1, 2, 3? 与 ??1 的集合 S 和 T ; (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤

k ( k ? 1) ; 2

(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论.

(I)解:集合 ?0, 1, 2, 3? 不具有性质 P . 集合 ??1 , 2, 3? 具有性质 P ,其相应的集合 S 和 T 是 S ? ?(?13) ,,, (3 ?1)? ,

T ? ?(2, ?1),, ?2 3?? .
(II)证明:首先,由 A 中元素构成的有序数对 (ai,a j ) 共有 k 个. 因为 0 ? A ,所以 (ai,ai ) ?T (i ? 1 , 2, ?,k ) ; 又因为当 a ? A 时, ? a ? A 时,所以当 (ai,a j ) ?T 时, (a j,ai ) ?T (i,j ? 1 , 2, ?,k ) . 从而,集合 T 中元素的个数最多为 即n≤
2

1 2 k (k ? 1) (k ? k ) ? , 2 2

(III)解: m ? n ,证明如下: (1)对于 (a,b) ? S ,根据定义, a ? A , b ? A ,且 a ? b ? A , 因为 (a ? b) ? b ? a ? A ,从而 (a ? b,b) ? T . 如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而
16

k ( k ? 1) . 2

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立.
故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 T 的不同元素. 可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n , (2)对于 (a,b) ? T ,根据定义, a ? A ,b ? A ,且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? S .如 果 (a,b) 与 (c,d ) 是 T 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立,
故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 S 的不同元素. 可见, T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m ? n .

五、教学资源
1.【2016 北京理 18】
?x ,f ( 2 ) )的切线方程为 e ? bx . 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 2 设 函 数 f ( x )? x a 处

y ? (e ? 1) x ? 4 .

(Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间. 2.(2015 理科)已知函数 f ? x ? ? ln

1? x . 1? x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

3.(2015 文科)设函数 f ? x ? ?

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

4.(2014 理科)已知函数 f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0,

? ]. 2

17

(Ⅰ)求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 a ?

sin x ? ? b 对 x ? (0, ) 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2

5.(2014 文科 20)已知函数

f ( x) ? 2x3 ? 3x .

(Ⅰ)求 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (Ⅱ)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 t 的取值范围; (Ⅲ) 问过点 A(?1, 2), B(2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切? (只需写 出结论)

6.(2013 北京理 18)设 l 为曲线 C : y ? (Ⅰ)求 l 的方程;

ln x 在点 ?1,0 ? 处的切线. x

(Ⅱ)证明:除切点 ?1,0 ? 之外,曲线 C 在直线 l 的下方. 7.(2013 北京文)已知函数 f ? x ? ? x2 ? x sin x ? cos x . ⑴ 若曲线 y ? f ? x ? 在点 ? a ,f ? a ?? 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; ⑵ 若曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? b 的两个不同交点,求 b 的取值范围.

8. (2012 北京 理 18 (本小题 13 分) ) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 1 (a ? 0) ,g ( x) ? x3 ? bx . (1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,求 a , b 的值; (2)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值.
2

(2012 北京文科) (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 28,求 k 的取值范围. 9.(2011 北京 理 18 (本小题 13 分) ) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e k 。
2 x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;
18

(Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x ) ≤

1 ,求 k 的取值范围。 e

10.(2011 北京 文 18 (本小题 13 分) )已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值. 11.(2010 北京 理 18 (本小题 13 分) )已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? x ? (Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间. 12.(2010 北京 文 18(本小题共 14 分) ) 设定函数 f ( x) ?

k 2 x 2

( k ? 0)

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , 且方程 f ? ( x ) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1, 4。 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。 13.(2009 北京 理 18 (本小题 13 分) )设函数 f ( x) ? xe (k ? 0)
kx

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 14.(2009 北京 文 18(本小题共 14 分) ) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 已知函数 f ( x) ?

15.(2008 北京 理 18 (本小题 13 分) )

2x ? b ,求导函数 f ?( x ) , ( x ? 1)2

并确定 f ( x ) 的单调区间.
19

16.(2008 北京 文 18(本小题共 13 分) ) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0) ,且 g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数. (Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

17.(2006 北京 理 16 (本小题 13 分) ) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极 大值 5 , 其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) , 如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值. 18.(2005 北京 理 15 (本小题 13 分) )已知函数 f(x)=-x3+ 3x2+9x+a, (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 19.(2005 年高考·北京 理 12)过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点的坐标为 切线的斜率为 .(1,e) e ,

20.(2009 北京 理 11)设 f ( x ) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率 为 1,则该曲线在 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率为_________.

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