【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5


3.3.2 简单的线性规划问题 .

学习目标 1.了解线性规划的意义. 了解线性规划的意义. 了解线性规划的意义 2.准确利用线性规划知识求解目标函数的最 . 值. 3.掌握线性规划在解决实际问题中的两种类 . 型.

3. 3.2 简 单 的 线 性 规 划 问 题

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0或≥0或 .二元一次不等式 + + > 或 或 或 ≤0)所表示的平面区域为直线 +By+C=0的一 所表示的平面区域为直线Ax+ + = 的一 所表示的平面区域为直线 侧. 2.确定二元一次不等式(组)所表示的平面区域的 .确定二元一次不等式 组 所表示的平面区域的 基本方法是“直线定界,点定域 . 基本方法是 直线定界,点定域”. 直线定界

知新盖能 线性规划中的基本概念 名称 约束条件 意义 变量x, 满足的一组条件 变量 ,y满足的一组条件

的二元______不等式 或方程)组 不等式(或方程 线性约 由x,y的二元 一次 不等式 或方程 组 , 的二元 束条件 成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x, 目标 欲求最大值或最小值所涉及的变量 ,y 函数 的解析式 目标函数是关于x, 的二元 的二元____解析 线性目 目标函数是关于 ,y的二元 解析 一次 标函数 式

名称 可行解 可行域

意义 满足线性约束条件的解(x, 满足线性约束条件的解 ,y) 所有可行解组成的集合

使目标函数取得最大值或最小值的可行 最优解 解 线性规 在线性约束条件下,求线性目标函数的 在线性约束条件下, 最大值或最小值问题 划问题

思考感悟 1.在线性约束条件下,最优解唯一吗? .在线性约束条件下,最优解唯一吗? 提示:不一定.最优解可能有一个, 提示:不一定.最优解可能有一个,也可能有多 个,甚至可能有无数多个. 甚至可能有无数多个. 2.在线性目标函数z=x+y中,目标函数 的最 .在线性目标函数 = + 中 目标函数z的最 大、最小值与截距的对应关系是怎样的? 最小值与截距的对应关系是怎样的? 提示: 的最大值对应于截距的最大值 的最小 的最大值对应于截距的最大值, 提示:z的最大值对应于截距的最大值,z的最小 值对应于截距的最小值. 值对应于截距的最小值.

课堂互动讲练

考点突破 求线性目标函数的最值 求目标函数最值的一般步骤是: 求目标函数最值的一般步骤是:①画:在直角坐 标平面上画出可行域和直线ax+ =0(目标函数 标平面上画出可行域和直线 +by=0(目标函数 平行移动直线ax+ = , 为z=ax+by);②移:平行移动直线 +by=0, = + ; 确定使z= + 取得最大值或最小值的点 取得最大值或最小值的点; 确定使 =ax+by取得最大值或最小值的点;③求: 求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组 解方程组) 求出取得最大值或最小值的点的坐标 解方程组 及最大值和最小值;④答:给出正确答案. 及最大值和最小值; 给出正确答案.

例1

(2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约 年高考山东卷)设变量 、 则目标函数 z=3x-4y = - ) B.- ,- .-3,- .- ,-11 D.11,3 .

?x-y+2≥0, - + ≥ , ? - + ≤ , 束条件?x-5y+10≤0, ? + - ≤ , ?x+y-8≤0,

的最大值和最小值分别为( 的最大值和最小值分别为( A.3,- ,-11 . ,- C.11,- ,-3 . ,-
【思路点拨】 思路点拨】

解答本题可先画出可行域, 解答本题可先画出可行域,再平

移直线3x- = ,求最值. 移直线 -4y=0,求最值.

【解析】 作出可行域如图阴影部分所示,由图 解析】 作出可行域如图阴影部分所示, 可知z= - 经过点 经过点A时 有最小值 经过点B时 有最小值, 可知 =3x-4y经过点 时z有最小值,经过点 时z 有最大值.易求A(3,5),B(5,3),∴z最大=3×5- 有最大值.易求 , , × - 4×3=3,z最小=3×3-4×5=- =-11. × = , × - × =-

【答案】 答案】

A

变式训练 1

(2010 年高卷天津卷 设变量 x,y 满 年高卷天津卷)设变量 , 则目标函数 z= 4x+ = +

?x+y≤3, + ≤ , ? - ≥ , 足约束条件?x-y≥-1, ? ≥ , ?y≥1,

2y 的最大值为 的最大值为( A.12 . C.8 .

) B.10 . D.2 .

解析: 画出可行域如图中阴影部分所示, 解析:选 B.画出可行域如图中阴影部分所示,目标 画出可行域如图中阴影部分所示 z =-2x+ 函数 z=4x+2y 可转化为 y=- + , = + =- 2 =-2x 作出直线 y=- 并平移,显然当其过点 A 时纵截 =- 并平移, ?x+y=3 + = z 最大, 距 最大,解方程组? 2 = ?y=1 得 A(2,1),∴zmax=10. ,

已知目标函数的最值求参数 解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思 在可行域的顶点或边界取得, 想方法求解.同时, 想方法求解.同时,要注意边界直线斜率与目标 函数斜率的关系. 函数斜率的关系.

例2

已知变量x,y满足约束条件 已知变量 , 满足约束条件1≤x+y≤4,- + ,- 满足约束条件

2≤x-y≤2.若目标函数 =ax+y(其中 >0)仅在点 - 若目标函数z= + 其中 其中a> 仅在点 若目标函数 (3,1)处取得最大值,则a的取值范围为 处取得最大值, 的取值范围为________. 处取得最大值 的取值范围为 . 【思路点拨】 思路点拨】 画出可行域,根据题意, 画出可行域,根据题意,结合图

形找出目标函数斜率与边界斜率间的关系

如图). 【解析】 由约束条件画出可行域 如图 . 解析】 由约束条件画出可行域(如图 的坐标为(3,1),z最大时,即平移 =- 使直 最大时, =-ax使直 点C的坐标为 的坐标为 , 最大时 即平移y=- 线在y轴上的截距最大 轴上的截距最大. 线在 轴上的截距最大.∴-a<kCD, < <-1, 即-a<- ,∴a>1. <- >

【答案】 答案】

a>1 >

互动探究

本例中,若将约束条件变为 目标函数仅在点(3,0)处取得最 处取得最 目标函数仅在点

?x+2y-3≤0 + - ≤ ? ?x+3y-3≥0, + - ≥ , ? - ≤ ?y-1≤0

大值,其他条件不变, 的取值范围是什么? 大值,其他条件不变,则 a 的取值范围是什么?

解:由约束条件画出可行域如图所示,要使目标 由约束条件画出可行域如图所示, 1 函数仅在点(3,0)处取得最大值,则-a<- ,所 处取得最大值, 函数仅在点 处取得最大值 <- 2 1 以 a> . > 2

线性规划的实际应用 利用图解法解决线性规划实际问题, 利用图解法解决线性规划实际问题,要注意合理 利用表格,处理繁杂的数据;另一方面约束条件 利用表格,处理繁杂的数据; 要注意实际问题的要求,如果要求整点, 要注意实际问题的要求,如果要求整点,则用逐 步平移法验证. 步平移法验证.

(2010年高考广东卷 某营养师要为某个儿 年高考广东卷)某营养师要为某个儿 年高考广东卷 童预订午餐和晚餐,已知1个单位的午餐含 个单位的午餐含12个 童预订午餐和晚餐,已知 个单位的午餐含 个 单位的碳水化合物, 个单位的蛋白质和 个单位的蛋白质和6个单位 单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和 个单位 的维生素C; 个单位的晚餐含 个单位的晚餐含8个单位的碳水化 的维生素 ;1个单位的晚餐含 个单位的碳水化 合物, 个单位的蛋白质和 个单位的维生素C.另 个单位的蛋白质和10个单位的维生素 合物,6个单位的蛋白质和 个单位的维生素 另 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位 外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 个单位 的碳水化合物, 个单位的蛋白质和 个单位的蛋白质和54个单位的 的碳水化合物,42个单位的蛋白质和 个单位的 维生素C.如果 个单位的午餐、晚餐的费用分别是 维生素 如果1个单位的午餐、 如果 个单位的午餐 2.5元和 元,那么要满足上述的营养要求,并且 元和4元 那么要满足上述的营养要求, 元和 花费最少, 花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的 午餐和晚餐? 午餐和晚餐?
例3

【 思 路 点 拨 设未知数, 设未知数,确定线性约束条件和目标函数 → 画出可行域和目标函数对应的初始直线 → 平移直线确定最优解 → 求目标函数的最大值
【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分



别为x个单位和 个单位 所花的费用为z元 别为 个单位和y个单位,所花的费用为 元, 个单位和 个单位, 则依题意, = 则依题意,得z=2.5x+4y,且x,y满足 + , , 满足

?x≥0,y≥0, ≥ , ≥ , ? ?12x+8y≥64, + ≥ , ? + ≥ , ?6x+6y≥42, ? + ≥ , ?6x+10y≥54,

?x≥0,y≥0, ≥ , ≥ , ? ?3x+2y≥16, + ≥ , 即? + ≥ , ?x+y≥7, ? + ≥ ?3x+5y≥27.

作出

可行域如图, 可行域如图,

让目标函数表示直线2.5x+4y=z在可行域上平移, + = 在可行域上平移 在可行域上平移, 让目标函数表示直线 由此可知z= 处取得最小值. 由此可知 =2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. + 在 处取得最小值 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和 个单 个单位的午餐和3个单 因此,应当为该儿童预订 个单位的午餐和 位的晚餐,就可满足要求. 位的晚餐,就可满足要求.

【名师点评】 名师点评】 体步骤为: 体步骤为:

用图解法解线性规划应用题的具

(1)设元,并列出相应的约束条件和目标函数; 设元,并列出相应的约束条件和目标函数; 设元 (2)作图:准确作图,平移找点; 作图:准确作图,平移找点; 作图 (3)求解:代入求解,准确计算; 求解:代入求解,准确计算; 求解 (4)检验:根据结果,检验反馈. 检验:根据结果,检验反馈. 检验

变式训练2 变式训练

某公司计划2010年在甲、乙两个电 年在甲、 某公司计划 年在甲

视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费 分钟的广告, 视台做总时间不超过 分钟的广告 用不超过9万元, 用不超过 万元,甲、乙电视台的广告收费标准 万元 分别为500元/分钟和 分钟和200元/分钟 假定甲、 分钟. 分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告, 个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司 带来的收益分别为0.3万元和 万元 带来的收益分别为 万元和0.2万元.问该公司 万元和 万元. 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间, 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间,才能使 公司的收益最大.最大收益是多少万元? 公司的收益最大.最大收益是多少万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间 分钟, 分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意 得
?x+y≤300 + ≤ ? ?500x+200y≤90000, + ≤ , ? ≥ ?x≥0 ? ≥ ?y≥0 ?x+y≤300 + ≤ ? ?5x+2y≤900. + ≤ 即? ≥ ?x≥0 ? ≥ ?y≥0

目标函数为 z=3000x+2000y. = + 作出可行域如图所示: 作出可行域如图所示:

作直线l∶ 作直线 ∶3000x+2000y=0,即3x+2y=0. + = , + =

平移直线 l,由图可知当 l 过点 M 时,目标函数 z ,
?x+y=300 + = 取得最大值. 取得最大值. ? 由 , M(100, 200). 得 . + = ?5x+2y=900

∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). × + × = 元. 所以: 分钟广告, 所以:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙 分钟广告,公司的收益最大, 电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大 万元. 收益为 70 万元.

方法感悟 1.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 . (1)作出可行解、可行域.将约束条件中的每一个 作出可行解、可行域. 作出可行解 不等式当作等式,作出相应的直线, 不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不 等式表示的半平面, 等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交 集. (2)作出目标函数的等值线. 作出目标函数的等值线. 作出目标函数的等值线 (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数 求出最终结果. 求出最终结果 等值线.从图中能判定问题有唯一最优解, 等值线.从图中能判定问题有唯一最优解,或者 是有无穷最优解,或是无最优解. 是有无穷最优解,或是无最优解.

2.解答线性规划的实际应用问题时应注意 . (1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件 在线性规划问题的应用中, 在线性规划问题的应用中 较多,因此认真审题非常重要; 较多,因此认真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断 (3)结合实际问题,未知数x、y等是否有限制 ,如 结合实际问题,未知数 、 等是否有限制 结合实际问题 x、y为正整数、非负数等; 、 为正整数 非负数等; 为正整数、 (4)图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基 图对解决线性规划问题至关重要, 图对解决线性规划问题至关重要 本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确, 本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确, 图上操作尽可能规范. 图上操作尽可能规范.


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