等比数列的前n项和教学设计2


等比数列的前 n 项和教学设计
上传: 康显平
一、教学内容 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书· 数学(5)》(北师大版)第一章第三节第三课时。从在教材 中的地位与作用来看《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着 广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨 论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 二、教学情况 从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比,方便 教学。但本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导存在本质不同。另外,对于 q = 1 这一特殊情况, 学生易忽视,这样导致在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二的学生,虽然具有一定的分析、解 决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,思维虽活跃、敏捷,但缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨。 三、设计思想 《新课程改革纲要》提出,要培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力 以及交流合作的能力。实际上更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。高中 生正好处于创新思维的培养期,作为数学教师应因势力导。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。 在师生互动交流的过程中,体现对学生更多的关心。 四、教学目标 1、理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关 的问题。 2、通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养 学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。 3、通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩 证唯物主义观点。 五、教学重点、难点 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用。 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一, 它蕴含了重要的数学思想, 所以既是重点也是难点。 教学准备:包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等 1.全日制普通高级中学教科书(必修)第一册(上) 2.普通高中课程标准实验教科书数学(必修)5 及配套光盘 3.两种教材的主要差异对比 4.课件《等比数列的前 n 项和》改编 六、教学过程: 学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过 程,结合本节课的特点,教学过程设计如下: (一)创设情境,提出问题 一天,小林和小明做“贷款”游戏,他们签订了一份合同。从签订合同之日起,在整整一个月(30 天)中, 小明第一天贷给小林 1 万元,第二天贷给小林 2 万元……以后每天比前一天多贷给小林 1 万元.而小林按这 样的方式还贷:小林第一天只需还 1 分前,第二天还 2 分钱,第三天还 4 分……以后每天还的钱数是前一天的 两倍.

更新时间:2013-11-29 14:44:44

合同开始生效了,第一天小林支出 1 分钱,收入 1 万元; 第二天他支出 2 分钱,收入 2 万元;第三天他支出 4 分 钱,收入 3 万元……到了 第 10 天,他共得到 55 万元,付出的总数只有 10 元 2 角 3 分.到了第 20 天, 小林共得 到 210 万元,而小明才得到 1048575 分,共 1 万元多一点.小明想:要是合同订两个月、三个月该多好!果真是 这样吗? 【设计意图】:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性。故事内 容紧扣本节课的主题与重点。 此时我问:同学们,你们觉得小明的想法怎么样?认同吗?引导学生写出双方得到的钱数:30 天后,小林 得到的钱数: 小明得到的钱数: 带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和。这时我对他 们的这种思路给予肯定。 【设计意图】:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急 急忙忙地抛出“错位相减法”, 这样做有悖学生的认知规律: 求和就想到相加, 这是合乎逻辑顺理成章的事, 教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造 知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍。同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于 寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔。 (二)师生互动,探究问题 在肯定他们的思路后,我接着问: 【学情预设】:探讨 1:设 一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项, (1)式两边同乘以 2 则有 式。比较(1)(2)两式,你有什么发现? 【设计意图】:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”,在教师 看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培 养学生的辩证思维能力的良好契机。 经过比较、 研究, 学生发现: (1 ) 、 (2 ) 两式有许多相同的项, 把两式相减, 相同的项就消去了, 得到: 老师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 【设计意图】:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,让学生在探索过程中,充分感受到成功的情 感体验,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。 (三)类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列 和 ,首项为 ,公比为 ,如何求前 n 项 。 ,记为(2) 是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢?

,记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后

?这里,让学生自主完成,并请一名学生上黑板,然后对个别学生进行指导。

【设计意图】:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学生自己探究公式, 从而体验到学习的愉快和成就感。

【学情预设】:在学生推导完成后,我再问:由 数列中的公比能不能为 1?



对不对?这里的 ?(这里引导学生对

能不能等于 1?等比 进行分类讨论,得

时是什么数列?此时

出公式,同时为后面的例题教学打下基础。) 再次追问:结合等比数列的通项公式 生得出公式的另一形式) 【设计意图】:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,另一方面使学生由简单 地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要, 尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用。 (四)讨论交流,延伸拓展 在此基础上,我提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗?我们知道, 否利用这个关系而求出 呢? 【设计意图】:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两 种方法都可以化归到 , 这其实就是关于 的一个递推式, 递推数列有非常重要的研究价值, 是研 呢?根据等比数列的定义又有 那么我们能 ,如何把 用 、 、 表示出来?(引导学

,能否联想到等比定理从而求出

究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用. (五)变式训练,深化认识 例 5:(2)求等比数列 变式 1、等比数列 变式 2、等比数列 变式 3、等比数列 前 10 项和; 前多少项的和是 ;

求第 5 项到第 10 项的和; 求前 2n 项中所有偶数项的和。

首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同学进行评价,然后师生共 同进行总结。 【设计意图】:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直接套用公式、变式运用公 式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式,让全体学 生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识。 (六)例题讲解,形成技能 补充:求和 【设计意图】:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养学生对含有参数的问题进行 分类讨论的数学思想。 (七)总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再从知识点及数学思想 方法两方面总结。 【设计意图】:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。

(八)故事结束,首尾呼应 最后我们回到前面的问题,我们可以计算小林得到的钱数 465 万元,小明得到的钱数 1073.741823 万元。 相信小林会吓出一身冷汗。 【设计意图】:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续积极思维。 (九)课后作业,分层练习 必做:p28 练习 1:(1)、(2)、(3)(4);2 思考题:求和 【设计意图】:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生有思考的空间。 七、教学反思:对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式的 成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,我采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈 现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。


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