课时提升卷(九) 1.5.1&1.5.2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程


课时提升卷(九)
曲边梯形的面积 (45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是( A.y=x2 C.y= B.y=|x| D.y= ) ) 汽车行驶的路程 100 分)

2.把区间[a,b](a<b)n 等分后,第 i 个小区间是( A. B. C. D.
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3.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值 ( A.可以是左端点的函数值 f(xi) B.可以是右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内的任一函数值 f(ξ i)(ξ i∈[xi,xi+1]) D.以上答案均正确

)

4. 直线 y=2x+1 与直线 x=0,x=m,y=0 围成图形的面积为 6, 则正数 m=( A.1 ) B.2 C.3 D.4

5.在等分区间的情况下,f(x)=

(x∈[0,2])及 x 轴所围成的曲边梯 )

形的面积和式的极限形式正确的是(

A. B. C. D. 二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 f(x)=x2+4 所围成的曲边梯形,将区间 4 等分,则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是 .

7.汽车以 v=(3t+2)m/s 做变速直线运动,在第 1s 到第 2 s 间的 1 s 内 经过的路程是 .
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8.在求由 y=0,x=a,x=b(0<a<b),与曲线 y=f(x)=x2 围成的曲边梯形的 面积 S 时,在区间[a,b]上等间隔地插入 n-1 个分点,分别过这些分点 作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,以每一个小区间的左 端点的函数值为高的小矩形的面积和为 S′,下列说法: ①n 个小曲边梯形的面积和等于 S; ②n 个小曲边梯形的面积和大于 S; ③n 个小矩形的面积和 S′小于 S; ④n 个小矩形的面积和 S′等于 S. 其中,所有正确结论的序号为 .

三、解答题(9~10 题各 14 分,11 题 18 分) 9.(2013· 潍坊高二检测)求由直线 x=0,x=1,y=0 及曲线 f(x)= x2 所围

成的图形的面积. 10.已知做自由落体的物体的运动速度 v=gt,求在时间区间[0,t]内物 体下落的距离. 11.( 能力挑战题 ) 弹簧在拉伸的过程中 , 力与伸长量成正比 , 即力 F(x)=kx(k 为常数,x 是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长 b 所做的 功.
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答案解析
1.【解析】选 D.由连续函数的定义及图象特点,可以判断 A,B,C 都是 连续函数,D 不是连续函数. 2.【解析】选 D.每个小区间长为 二 个 小 区 间 为 ,第一个小区间为 ,第

, 第 三 个 小 区 间 为 , ? ? , 第 . i 个 小 区 间 为

3. 【解析】 选 D.由于当 n 很 大,即Δx 很小时,在区间[xi,xi+1]上,可以 认为函数 f(x)的值变化很小,近似地等于一个常数,所以可以是该区 间内的任一函数值(含端点函数值). 4.【解析】选 B.由题意,直线围成梯形的面积为 S= ( 1+2m+1)m=6,解 得 m=2,m=-3(舍).

5.【解题指南】将区间 n 等分后,每个小区间的长度为Δx= ,第 i 个 小区间为 高,即可解决.
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,取每个小区间右端点对应的函数值作为小矩形的

【解析】选 B.将区间 n 等分后,每个小区间的长度为Δx= ,第 i 个小 区间为 (i=1,2,3,?,n),则由求曲边梯形的面积的步骤可得 . , , , .以每

曲边梯形的面积和式的极限形式为 6.【解析】将区间 4 等分,得 4 个小区间

个小区间右端点的函数值为高,4 个小矩形面积和为曲边梯形面积的 近似值. S= × = .

答案: 【举一反三】若取每个区间的左端点,则是多少? 【解析】 将区间 4 等分,得 4 个 小区间 , , , .以每个

小区间左端点的函数值为高,4 个小矩形面积和为曲边梯形面积的近 似值. S= × = .

7. 【解析】 将[1,2]n 等分,并取每个小区间的左端点的速度近似代替, 则Δt= , v(ξi)=v =3 +2= (i-1)+5.

所以 sn= = = · 所以 s= 答案:6.5m +5=

· · +5,

sn= +5=6.5(m).

8.【解析】n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此 其面积和为 S,①正确;由于以每一个小区间的左端点的函数值为高的 小矩形的面积小于小曲边梯形的面积,所以小矩形的面积和 S′小于 曲边梯形的面积 S,③正确,②④错误. 答案:①③ 9.【解析】(1)分割 将区间[0,1]等分成 n 个小区间: , , ?, ,?, .

每个小区间的长度为Δx= . 过各分点作 x 轴的垂线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,它们的面积 分别记作ΔS1,ΔS2,?,ΔSn. (2)近似代替 在区间 上 ,用 处的函数值 作为高,以小区间的长度Δ

x= 作为底边长的小矩形的面积近似代替第 i 个小曲边梯形的面积, 即ΔSi≈ (3)求和 曲边梯形的面积为 · .

Sn=

ΔSi≈ ·+ · .

· · +?+ · ·= [12+22+?+(n-1)2]

=0· + · = (4)取极限

曲边梯形的面积为 S=

= .

10. 【解题指南】 将时间区间进行 n 等分,利用分割、 近似代替、 求和、 取极限的方法步骤求解. 【解析】(1)分割 将时间区间[0,t]分成 n 等份. 把时间[0,t]分成 n 个小区间 每个小区间所表示的时间段Δ t= 离记作 Δsi(i=1,2,?,n). (2)近似代替 在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程. 在 上任取一时刻ξi(i=1,2,?,n),可取ξi 使 v(ξi)=g t近 (i=1,2,?,n), t= ,在各小区间物体下落的距

似代替第 i 个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体Δt= 内所经过的路程可近似表示为Δsi≈g (3)求和 sn= = Δsi≈ g · · (i=1,2,?,n).

[0+1+2+?+(n-1)]

= gt2 (4)取极限 s= gt2

.

= gt2.

即在时间区间[0,t]内物体下落的距离为 gt2. 11.【解题指南】利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、 求和、取极限的方法求解. 【解析】将物体用常力 F 沿力的方向拖动距离 x,则所做的功 W=F·x. (1)分割 在区间[0,b]上等间隔地插入 n-1 个点,将区间[0,b]等分成 n 个小区 间: , , ?, (i=1,2,?,n),其长度为Δx= ,?, 上所做的功分别记作: = .

记第 i 个区间为 把在分段 ,

ΔW1,ΔW2,?,ΔWn. (2)近似代替 取 各 小 区 间 的 左 端 点 函 数 值 作 为 小 矩 形 的 高 , 由 条 件 知 : Δ Wi ≈ F Δx=k· (3)求和 Wn= = ΔWi≈ k· · × · · (i=1,2,?,n).

[0+1+2+?+(n-1)]=

=

. .

从而得到 W 的近似值 W=Wn≈ (4)取极限 W= W n= ΔWi= =

. .

所以将弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为


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