高中数学必修一至必修五知识点总结


高中数学常用公式及结论大全(新课标) 必修 1
1、集合的含义与表示 集合的三大特性:确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:{元素|元素的特征},例如 {x | x ? 5, 且x ? N} 2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集 N(又称非负整数集) :0、1、2、3、?? (2)正整数集 N*或 N+ :1、2、3、?? (3)整数集 Z: (4)有理数集 Q:包含分数、整数、有限小数等 (5)实数集 R:全体实数的集合(6)空集Ф :不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于∈,不属于 ? 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 5、重要结论(1)传递性:若 A ? B , B ? C ,则 A ? C (2)Ф 是任何集合的子集,是任意非空集合的真子集. 6、含有 n 个元素的集合,它的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n –1 个; 非空子集有 2 n –1 个(即不计空集);非空的真子集有 2 n –2 个. 7、集合的运算:交集、并集、补集. (1)A∩B={x|x∈A,且 x∈B}(2)A∪B={x|x∈A,或 x∈B} . .(3) C U A ? ?x | x ? U, 且x ? A?

12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑) 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x) 在该区间上是增函数,图象从左到右上升; 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x) 在该区间上是减函数,图象从左到右下降。 函数 f (x) 在某区间上是增函数或减函数,那么说 f (x) 在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/ 减)区间 13、一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)

? b ? b 2 ? 4ac 2 (2)判别式: ? ? b ? 4ac 2a (3) ? ? 0 时方程有两个不等实根; ? ? 0 时方程有一个实根; ? ? 0 时方程无实根。 b c (4)根与系数的关系——韦达定理: x1 ? x2 ? ? , x1 ? x 2 ? a a
(1)求根公式: x1, 2 ? 14、二次函数:一般式 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ; 两根式 y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (a ? 0) y b b 4ac ? b 2 (1)顶点坐标为 (? , (2)对称轴方程为:x= ? ; ); 2a 2a 4a 0
2

x

4ac ? b 2 b (3)当 a ? 0 时,图象是开口向上的抛物线,在 x= ? 处取得最小值 4a 2a
当 a ? 0 时,图象是开口向下的抛物线,在 x= ?

4ac ? b 2 b 处取得最大值 4a 2a

注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了 A ? ? 的情况。
8、函数概念

(4)二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式 ? 的关系: ; ? ? 0 时,有两个交点; ? ? 0 时,有一个交点(即顶点) ? ? 0 时,无交点。 15、函数的零点

?2 x ? 1 9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如 y ? ? 2 ?? x ? 3
10、求函数的定义域的原则: (解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)

x?0 x?0

注:函数 y ? f ?x ? 有零点 ? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 方程 f ?x? ? 0 有实根 16、函数零点的判定:

使 f ( x) ? 0 的实数 x 0 叫做函数的零点。例如 x 0 ? ?1 是函数 f ( x) ? x ? 1 的一个零点。
2

1 , 则x ? 1 ? 0 x ?1 ②偶次方根的被开方数大于或等于零; 如 : y ? 5 ? x , 则5 ? x ? 0 ③对数的底数大于0且不等于1; 如 : y ? log a ( x ? 2), 则a ? 0且a ? 1
①分式的分母不为零; 如 : y ? ④对数的真数大于0; 如 : y ? log a ( x ? 2), 则x ? 2 ? 0 ⑤指数为0的底不能为零; 如 : y ? (m ? 1) ,则 m ? 1 ? 0 11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑) (1)奇函数满足 f (? x) ? ? f ( x) , 奇函数的图象关于原点对称;
x

如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 。那么,函数
y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ?, 使得f ?c ? ? 0 。

17、分数指数幂 ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 )
m 3

?

(1) a n ? n a m .如 x 3 ? x 2 ;(2) a

?

m n

?

1
m an

?

1
n

. 如
m

1 x
3

?x

?

3 2

; (3) ( n a ) ? a ;
n

a
n

(2)偶函数满足 f (? x) ? f ( x) ,

偶函数的图象关于 y 轴对称;
n n

注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则 f (0) ? 0 ③根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

n (4)当 n 为奇数时, a ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0
1

18、有理指数幂的运算性质( a ? 0, r , s ? Q ) (1) a r ? a s ? a r ? s ;
x

(2) (a ) ? a ;
r s rs

(3) (ab) ? a b
r r

r

26、对数函数 y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) :其中, x 是自变量, a 叫做底数,定义域是 (0,??)

19、指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) ,其中 x 是自变量, a 叫做底数,定义域是 R y

a ?1
图像 0 1 x 0

0 ? a ?1

a ?1
y 图 象 1 0 (1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) x

0 ? a ?1
y

x 1

1 0

x 性质

定义域:(0, ∞) 值域:R 过定点(1,0) 增函数 取值范围
x

(3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

减函数 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

0<x<1 时,y<0 x>1 时,y>0

20、若 a ? N ,则
b

叫做以

为底 N 的对数。记作: log a N ? b ( a ? 0, a ? 1 , N ? 0 )

其中, a 叫做对数的底数, N 叫做对数的真数。

27、指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数;它们图象关于直线 y ? x 对称. 28、幂函数 y ? x ( ? ? R ) ,其中 x 是自变量。要求掌握 ? ? ?1,
? ?

注:指数式与对数式的互化公式: log a N ? b ? a ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0)
b

1 ,1,2,3 这五种情况(如下图) 2

21、对数的性质 (1)零和负数没有对数,即 log a N 中 N ? 0 ; (2)1 的对数等于 0,即 log a 1 ? 0 ;底数的对数等于 1,即 log a a ? 1 22、常用对数 lg N :以 10 为底的对数叫做常用对数,记为: log10 N ? lg N 自然对数 ln N :以 e(e=2.71828?)为底的对数叫做自然对数,记为: log e N ? ln N 23、对数恒等式: a
log a N

29、幂函数 y ? x 的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数. (Ⅲ)当 ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.
3

3

2

y?x
2

y ? x2
2 1 1

y ? x3
y ? x ?1
1
-1 -2 2

1
1

1
1
-2 -1

y?
2

x
-2

1
-2

2

-2

?N

1
-1

必修 2
3 2 a 4
锥体体积: V锥 = S底 h

-3

24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0) (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (3) log a M ? n log a M (n ? R)
n

(2) log a

M ? log a M ? log a N ; N

30、边长为 a 的等边三角形面积 S 正? ? 31、柱体体积: V柱=S底h , 球表面积公式: S 球 ? 4?R ,
2

(注意公式的逆用)

25、对数的换底公式 推论①

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a 1 n n 或 log a b ? ; ② log am b ? log a b . log b a m

1 3 4 3 球体积公式: V ? ?R 3

32、四个公理: ① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 ② 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
2

③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 ④ 平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性) 。 33、等角定理: 1 2 3 空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图)
? (在同一平面内,没有公共点) ?平行: ? 34、两条直线的位置关系: ?共面直线?相交 : (在同一平面内,有一个公共点) ? ?异面直线   : (不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点) ?

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 且b1 ? b2     l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1

特殊情况: (1)当 k1 , k 2 都不存在时, l1 // l 2 ; (2)当 k 1 不存在而 k 2 ? 0 时, l1 ? l 2
42、直线的五种方程 : ①点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 ( x1 , y1 ) ,斜率为 k ). ②斜截式 y ? kx ? b ③两点式 ④截距式 (直线 l 在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k ).

直线与平面的位置关系: (1)直线在平面上; (2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交) 两个平面的位置关系: (1)两个平面平行; (2)两个平面相交 35、直线与平面平行: 定义 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。 判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。 性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 36、平面与平面平行: 定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。 判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平 行。 性质 ① 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 ② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。 37、直线与平面垂直: 定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。 性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。 ②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。 38、平面与平面垂直: 定义 两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。 判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 39、三角形的五“心” (1) O 为 ?ABC 的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等 (2) O 为 ?ABC 的重心(各边中线的交点).重心将中线分成 2:1 的两段 (3) O 为 ?ABC 的垂心(各边高的交点). (4) O 为 ?ABC 的内心(各内角平分线的交点). 内心到三边的距离相等 40、直线的斜率: (1) 过 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 两点的直线,斜率 k ?

y ? y1 x ? x1 (直线过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x 2 , y 2 ) ). ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ( a, b 分别是直线在 x 轴和 y 轴上的截距,均不为 0) a b A C x? B B

⑤一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0);可化为斜截式: y ? ?

2 2 43、 (1)平面上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 间的距离公式:|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 2 2 2 (2)空间两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 ) 距离公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )

(3)点到直线的距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

44、两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C 2 ? 0 间的距离公式: d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

注:求直线 Ax ? By ? C ? 0 的平行线,可设平行线为 Ax ? By ? m ? 0 ,求出 m 即得。 45、求两相交直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点:解方程组 ?A1x ? B1 y ? C1 ? 0 ?A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2

46、圆的方程: ①圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2

其中圆心为 (a, b) ,半径为 r

②圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

y 2 ? y1 , x1 ? x2 ) ( x 2 ? x1
0

(2)已知倾斜角为 ? 的直线,斜率 k ? tan? ( ? ? 90 ) 41、直线位置关系:已知两直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 ,则

D 2 ? E 2 ? 4F D E 2 2 ,其中 D ? E ? 4F >0 ,? ) ,半径为 r ? 2 2 2 2 2 2 47、直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆的 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 位置关系 (1) d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; Aa ? Bb ? C (2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; 其中 d 是圆心到直线的距离,且 d ? A2 ? B 2 (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
其中圆心为 (?
3

48、直线与圆相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点,求弦 AB 长度的公式: (1) | AB |? 2 r ? d
2
2 (2) | AB |? 1 ? k

2

注:回归直线一定过样本点中心( x, y )
52、事件的分类: 基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。 (1)必然事件:必然事件是每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=1 (2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0 (3)随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件 53、在 n 次重复实验中,事件 A 发生的次数为 m,则事件 A 发生的频率为 m/n,当 n 很大时,m 总是在 某个常数值附近摆动,就把这个常数叫做事件 A 的概率。 (概率范围: 0 ? P?A? ? 1 ) 54、互斥事件概念:在一次随机事件中,不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图 1) 。 如果事件 A、B 是互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 图1 B 55、对立事件(如图 2) :指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。 A

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 (结合韦达定理使用) ,其中 k 是直线的斜率
2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; 4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ;

49、两个圆的位置关系:设两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; 3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; 5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

必修③公式表
50、三种抽样方法的区别与联系 类别 共同点 各自特点 简单随机抽 从总体中逐个抽取 样 分层 抽样 抽取过程 中每个个体 被抽取的概 率相等 将总体分成几层 进行抽取 相互联系 适用范围 总体中个体数较少 各层抽样可采用 简单随机抽样或 系统抽样 总体有差异明显的几部 分组成

将总体平均分成 在起始部分抽样 几部分,按事先确 系统抽样 时采用简单随机 定的规则分别在各 抽样 部分抽取 51、 (1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距)

对立事件性质:P(A)+P( A )=1,其中 A 表示事件 A 的对立事件。 A B 56、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征: (1)基本事件个数是有限的; 图(2) (2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同. 57、设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件,则事件 A 的概率 P(A) 公式为
P?A ? ? A包含的基本事件的个数 m = 基本事件的总数 n

总体中的个体较多

运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的概 率,然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时,可转而先示对立事件的概率。 58、几何概型的概率公式: P?A ? ?
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积)

频数 频率 ? 极差 ? ? 频率 。 , 小矩形面积 ? 组距 ? 组数 ? ? ? , 频率 ? 样本容量 组距 ? 组距 ?
(2)数字特征 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 中位数:一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其平均数) 。
1 平均数: x ? ?x1 ? x2 ? ? ? xn ? n

必修④公式表
59、终边相同角构成的集合: ?? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z ? l 60、弧度计算公式: ? ? r 61、扇形面积公式: S ? )?

r
l

方差: s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ]
2
2 2 2 2

1 n

标准差: s ?

2 2 2 1? x ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ? 1 ? ? n?

?

? ?

?

?

?

62、三角函数的定义:已知 P?x, y ? 是 ? 的终边上除原点外的任一点 则 sin ? ?

1 1 lr ? ? ? r 2 ( ? 为弧度) 2 2

注:通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度;其值越小,数据越集中;其值越大,数据越分散。

y x y , ? ? , ? ? ,其中 r 2 ? x 2 ? y 2 cos tan r r x

P(x,y) r y )? x

? 回归直线方程: y ? bx ? a ,其中 b ?

?x y
i ?1 n i

n

63、三角函数值的符号
i

? nx y
, a ? y ? bx , + — + — — — + + — + + —

?x
i ?1

2 i

? nx

2

sin ?

cos?

tan?
4

64、 特殊角的三角函数值:

?
sin ?

0

? 6
1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2

? 2
1

2? 3
3 2
-

3? 4
2 2
-

5? 6 1 2
-

?
0

3? 2
-1

(3)函数 y ? tan(? x ? ? ) 的最小正周期 T ?

? . ?

71、正弦定理:在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等。
a b c ? ? ? 2R (R 是三角形外接圆半径) sin A sin B sin C

0

cos ?

1

1 2
3

0

1 2

2 2
-1

3 2

-1

0

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A,
72、余弦定理: b ? c ? a ? 2ca cos B,
2 2 2

推论

tan?

0

不存 在

- 3

3 3

0

不存 在

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C.

b2 ? c2 ? a2 cos ? A , 2bc c2 ? a2 ? b2 cos ? B , 2ca a2 ? b2 ? c2 cos ? C . 2ab

65、同角三角函数的关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, tan ? ? 66、和角与差角公式:

sin ? cos?

73、三角形的面积公式: S ?ABC ? 74、三角函数的图象与性质和性质 三角函数

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A. 2 2 2

二倍角公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin? cos?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? ? 67、诱导公式 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限;其中,奇偶是指 的个数 2 sin?? ? ? ? ? ? sin ? sin?? ? ? ? ? sin ? sin?? ? 2k? ? ? sin ? sin?? ? ? ? ? sin ? cos?? ? 2k? ? ? cos? cos?? ? ? ? ? ? cos ? cos?? ? ? ? cos ? cos?? ? ? ? ? ? cos ?
tan?? ? 2k? ? ? tan ?
tan?? ? ? ? ? tan ? tan?? ? ? ? ? tan ?

y ? sin x
y 1

y ? cos x
y 1 -? 0 ? ? 2 -1 2

y ? tan x
y x

图象

-?

0 ? -1 2

?

x

2?

2?

-? 0 ? 2 2

3? 2

x

定义域 值域 最大值 最小值 周期 奇偶性 在 [? 单调性

(??,??)
[-1,1]

(??,??)
[-1,1]

(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)

tan?? ? ? ? ? ? tan ?

(??,??)

sin( ? ? ) ? cos? 2

?

cos( ? ? ) ? sin ? 2
2 2

?

sin( ? ? ) ? cos? 2

?

cos( ? ? ) ? ? sin ? 2
?
6

?

x?

?
2

? 2k? , y max ? 1

x ? 2k? , y max ? 1

68、辅助角公式: a sin ? ? b cos? = a ? b sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限与点 (a, b) 的象限相同,且

x??

?
2

b tan ? ? ).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如 y ? a
69、半角公式(降幂公式): sin 2

? 2k? ,y min ? ?1

x ? ? ? 2k? , y min ? ?1 2?
偶函数

3 sin x ? cos x ? 2 sin(x ?

)

2?
奇函数

?
奇函数 在 (?

?
2

?

1 ? cos? ? 1 ? cos? , cos2 ? 2 2 2

?
2

70、三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的性质( A ? 0, ? ? 0 ) (1)最小正周期 T ?

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

在 [?? ? 2k? ,2k? ] 上是增函数

?
2

? k? ,

?
2

? 2k? )

2?

?

;振幅为 A;频率 f ?

对称轴:由 ?x ? ? ?

?
2

1 ;相位: ?x ? ? ;初相: ? ;值域: [? A, A] ; T

上是增函数 在[

上都是增函数

k ?Z

?
2

? 2k? ,

? k? 解得 x ;对称中心:由 ?x ? ? ? k? 解得 x 组成的点 (x,0)

3? ? 2k? ] 2

在 [2k? , ? ? 2k? ] 上是减函数 79、向量的平行平行四边形法则:

上是减函数 76、向量的三角形法则: a+b b a a b

(2)图象平移: x 左加右减、 y 上加下减。 例如:向左平移 1 个单位,解析式变为 y ? A sin[?( x ? 1) ? ? ] 向下平移 3 个单位,解析式变为 y ? A sin(?x ? ? ) ? 3

b-a

b a

a+b
5

-1

77、平面向量的坐标运算:设向量 a= ( x1 , y1 ) ,向量 b= ( x2 , y2 ) (1)加法 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)减法 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)数乘 ? a= ? ( x1 , y1 ) ? (?x1 , ?y1 )

(2)、解一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 的步骤:
2

(4)数量积 a·b=|a||b|cosθ = x1 x 2 ? y1 y 2 ,其中 ? 是这两个向量的夹角

①求判别式 ? ? b 2 ? 4ac ②求一元二次方程的解:
2

??0
两相异实根

??0
一个实根

??0
没有实根

(5)已知两点 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则向量 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) .
2 78、向量 a= ( x, y) 的模:|a|= ( a ) ?

??? ?

??? ??? ? ?

79、两向量的夹角公式

? ? a? b cos ? ? ? ? ? a b

a?a ?

x 2 ? y 2 ,即 | a | 2 ? a

2

③画二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

80、向量的平行与垂直 (b ? 0) a||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

记法: a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) 记法: a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ④结合图象写出解集

必修⑤公式表
81、数列前 n 项和与通项公式的关系:

ax2 ? bx ? c ? 0 解集 ax2 ? bx ? c ? 0 解集

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

,n ? 1; ?S1 ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? S n ? S n ?1 , n ? 2. ?
82、等差、等比数列公式对比

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

n? N?

等差数列
an ? an?1 ? d

等比数列
an (q a n ?1 ? q

注: ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 解集为 R ? ax ? bx ? c ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? ? 0
2 2

定义式 通项公式及 推广公式 中项公式

? 0)

(3)分式不等式:先移项通分,化一边为 0,再将除变乘,化为整式不等式,求解。 如解分式不等式

an ? a1 ? ?n ? 1?d an ? am ? ?n ? m?d

an ? a1q n ?1 an ? am q n ? m

x ?1 x ?1 ? ?1 :先移项 ? 1 ? 0; x x

通分

( x ? 1) ? x ? 0; x
Ax ? By ? C ? 0

a?b 若 a, A, b 成等差,则 A ? 2

再除变乘 (2 x ? 1) x ? 0 ,解出。
2

若 a, G, b 成等比,则 G ? ab 若 m ? n ? p ? q ? 2r ,则

运算性质

若 m ? n ? p ? q ? 2r ,则

84、线性规划: (1)一条直线将平面分为三部分(如图) : (2)不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0

直线

Ax ? By ? C ? 0
Ax ? By ? C ? 0

an ? am ? a p ? aq ? 2ar
n?a1 ? a n ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2 Sn ?

an am ? a p aq ? a

2 r

前 n 项和公 式

q ? 1, ?na1 ? S n ? ? a1 1-q n a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q , q ? 1. ?

?

?

一个性质

Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m 成等差数列

Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m 成等比数列

某一侧的平面区域,验证方法:取原点(0,0)代入不 等式,若不等式成立,则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点,则取其它点来验证,例如取点(1,0) 。 (3)线性规划求最值问题:一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标,代入目标函数 z ,最大的为最 大值。

83、解不等式 (1) 、含有绝对值的不等式
2 当 a > 0 时,有 x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a .
2

[小于取中间]

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .[大于取两边]
6


相关文档

更多相关文档

高中数学知识点总结(最全版)
精华经典版122页高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部内容精华版
中国膳食纤维市场发展趋势及投资策略分析报告2016-2021年
高中数学人教版必修4知识点总结
高中数学必修1-5知识点
电脑版