山东省泰安市2015届高三上学期期中考试数学(理)试题word版含答案(已解析)


山东省泰安市 2015 届高三上学期期中考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? x 2 x ? 1 ? 3 ,集合 B ? x y ? 1g ? x ? 1? ,则 A ? B 等于( A. ?1, 2 ? 【答案】C 【解析】 B. ?1, 2? C. ?1, 2? D. ?1, 2 ?

?

?

?

?



A ? ? x 2 x ? 1 ? 3? ={x x ? 2} , B ? ? x y ? 1g ? x ? 1?? ={x x ? 1}
所以 A ? B = ?1, 2? , 故答案为:C 【考点】集合的运算 【难度】 1 2.如果命题“ ? ? p ? q ? ”为真命题,则( A. p, q 均为真命题 C. p, q 中至少有一个为真命题 【答案】B 【解析】 因为 ? ? p ? q ? 为真命题,则 p ? q 为假命题,所以 p, q 均为假命题, 故答案为:B 【考点】命题及其关系 【难度】 1 3.设 a ? sin 31 ,b ? cos 58 , c ? tan 32 ,则(
o o o



B. p, q 均为假命题 D. p, q 中一个为真命题,一个为假命题



A. a ? b ? c C. c ? a ? b 【答案】B 【解析】
? ?

B. c ? b ? a D. b ? c ? a

因为 tan32 ? tan30 ? 3 ? 1 ,cos 58 =sin 32 >sin 31 且小于 1, 所以 c ? b ? a , 故答案为:B 【考点】三角函数的图像与性质 【难度】 1 4.若点 ?16, 2 ? 在函数 y ? log a x ? a ? 0且a ? 1? 的图象上,则 tan A. ? 3 B. ?

?

?

?

a? 的值为( 3



3 3

C.

3 3

D. 3

【答案】D 【解析】 ∵点(16,2)在函数 y ? loga x (a>0 且 a≠1)的图象上, ∴ 2 ? log a 16 ,∴ a ? 16 ,a=4,∴ tan
2

4? ? a? =tan =tan = 3 3 3 3

故答案为:D 【考点】对数与对数函数 【难度】 2 5.设数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则“ 0 ? q ? 1 ”是“ ?an ? 为递减数列”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 ∵数列{an}是公比为 q 的等比数列, 则“0<q<1”,∴当 a1 ? 0 时,“{an}为递增数列”, 又∵“0<q<1”是“ ?an ? 为递减数列”的既不充分也不必要条件, 故答案为:D 【考点】等比数列 【难度】 2
x ?1 6.给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ? x ? 1? ,③ y ? x ? 1 ,④ y ? 2 ,其中在区间 ? 0,1? 上
2



1 2

单调递减的函数序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【答案】B 【解析】 ①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求; ②中的函数是由函数 y ? log 1 ? x ? 1? 向左平移 1 个单位长度得到的,
2

因为原函数在(0,+∞)内为减函数,故此项符合要求; ③中的函数图象是由函数 y=x-1 的图象保留 x 轴上方, 下方图象翻折到 x 轴上方而得到的,故由其图象可知该项符合要求; ④中的函数图象为指数函数,因其底数大于 1,故其在 R 上单调递增,不合题意. 故答案为:B 【考点】函数的单调性与最值 【难度】 2 7.设 ? 是第二象限角, P ? x, 4 ? 为其终边上的一点,且 cos ? ? A. ?

1 x ,则 tan 2? 等于( 5



24 7

B. ?

12 7

C.

12 7

D.

24 7

【答案】D 【解析】 ∵α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点, 且 cosα=

1 x x= ,x<0,∴x=-3, 5 4 ? x2

∴tanα= ?

4 2 tan ? 24 则 tan2α= = 2 3 1 ? tan ? 7

故答案为:D 【考点】同角三角函数的基本关系式;诱导公式 【难度】 2 8. 在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an ?1 ? an ? an ?1 ? 0 ? n ? 2 ?,则S 2 n ?1 ? 4n 等于
2

( ) A. ?2 【答案】A 【解析】

B.0

C.1

D.2

设公差为 d,则 an?1 ? an ? d , an?1 ? an ? d , 由 an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2)
2

可得 2an ? an ? 0 ,解得 an ? 2 (零解舍去) ,
2

故 S2 n?1 ? 4n ? 2 ? (2n ?1) ? 4n ? ?2 , 故答案为:A 【考点】等差数列 【难度】 2 9.若函数 f ? x ? ? ka ? a
x ?x

? ? ? 上既是奇函数又是增函数,则函数 ? a ? 0且a ? 1? 在 ? ??,


g ? x ? ? log a ? x ? k ? 的图象是(

【答案】C 【解析】 ∵函数 f ( x) ? ka ? a
x ?x x

, (a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是奇函数
x ?x

则 f(-x)+f(x)=0 即(k-1) ( a ? a )=0 则 k=1

又∵函数 f(x)=k a ? a , (a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上是增函数,则 a>1
x ?x

则 g(x)= loga ( x ? k ) = log a ( x ? 1) 函数图象必过原点,且为增函数 故答案为:C 【考点】函数图像 【难度】 2 10.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? e x ? 称的点,则 a 的取值范围是( A. ??, e 【答案】A 【解析】 由题意可得:存在 x0 ∈(-∞,0), 满足 x0 ? e 0 ?
2 x

1 ? x ? 0 ? 与g ? x ? ? x 2 ? ln ? x ? a ? 的图象上存在关于 y 轴对 2
) C. ? ?

?

?

B. ? ??,

? ?

1 ? ? e?

? ?

1 ? , e? e ?

D. ? ? e ,

? ?

1 ? ? e?

1 ? (? x0 ) 2 ? ln(? x0 ? a ) , 2

即e 0 ?
x

1 ? ln(? x0 ? a) ? 0 有负根, 2

∵当 x 趋近于负无穷大时,

1 ? ln(? x0 ? a ) 也趋近于负无穷大, 2 1 x 且函数 h(x)= e ? ? ln(? x ? a ) 为增函数, 2 1 1 ∴h(0)= -lna>0,∴lna<ln ,∴0<a< e , 2 2 e x0 ?
故答案为:A 【考点】函数的单调性与最值 【难度】 3 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知 sin ? ? ? 【答案】 ? 【解析】 因为 sin ? ? ? 所以 cos ? =-

? ?

3? 2

? 1 ? ? ,则 cos 2? ? ? 3

.

7 9

? ?

3? 2

? 1 ? ? =-cos ? , ? 3

1 7 2 ,则 cos 2? ? 2cos ? ? 1 = ? , 3 9

故答案为: ?

7 9

【考点】倍角公式 【难度】2 12.已知向量 a,b 的夹角为 45°,且 a ? 1, 2a ? b ? 10,则 b ? 【答案】3 2 【解析】 因为 a 、 b 的夹角为 45 ,且| a |=1,|2 a - b |= 10 ,
?

.

?

?

?

? ?

所以 4a ? 4 a ? b + b 2=10,即 b ? 2 2 | b |-6=0, 解得| b |=3 2 或| b |=- b (舍) 故答案为:3 2 【考点】数量积的应用 【难度】 2 13.由曲线 y ? 【答案】

?2

? ? ?
?

?2

?

?

?

x ,直线 y ? x ? 2及y 轴所围成的图形的面积为

.

16 3

【解析】 如图所示:

联立 ?

? ?x ? 4 ?y ? x ? 2 解得 ? ,∴M(4,2). ? ?y ? 2 ? y? x

由曲线 y=

x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积
2 3 1 x 2 - x 2 +2x) 3 2
4 0

S=

?

4 0

[

x -(x-2)]dx =(

=

16 . 3

故答案为:

16 3

【考点】积分 【难度】 2 14.数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? log 0.1 ?1 ? n ? ,则 a10 ? a11 ? ??? ? a99 ? 【答案】 ?1 【解析】 ∵数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? log0.1 (1 ? n) , ∴ a10 ? a11 ? ? ? a99 ? S99 ? S9 .

? log0.1 (1 ? 99) ? log0.1 (1 ? 9) ? log0.1 100 ? log0.1 10 ? 2 ? (?1) ? ?1.
故答案为: ?1 【考点】数列综合应用 【难度】 2 15.定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? , 且 在 ? 0, 2? 上f ? x ? ?

? x ?1 ? x ? , 0 ? x ? 1 ? ,则 ? ? ?sin ? x, 1 ? x ? 2
【答案】

? 29 ? f ? ?? ? 4 ?

? 41 ? f ? ?? ? 6?

.

5 16

【解析】 由 f(x+4)=f(x),得函数的周期是 4,

29 3 3 )=f(8- )=f(- ), 4 4 4 3 3 3 1 3 ∵f(x)是奇函数,∴,f(- )=-f( )=- × =, 4 4 4 4 16 41 7 7 7 7? ? 1 f( )=f(8- )=f(- )=-f( )=-sin =sin = , 6 6 6 6 6 6 2 29 41 1 3 5 则 f( )+f( )= = , 4 2 16 16 6 5 故答案为: 16
则 f( 【考点】函数的奇偶性;函数的周期性与对称性 【难度】 3 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 16.(本小题满分 12 分)

? 1? . 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A ?1, 4 ?,B ? ?2,3?,C ? 2,

(I)求 AB ? AC及 AB ? AC ; (II)设实数 t 满足 AB ? tOC ? OC ,求 t 的值. 【答案】见解析 【解析】 解:(1)∵A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). ∴ AB =(-3,-1), AC =(1,-5), AB + AC =(-2,-6), ∴ AB ? AC =-3×1+(-1)×(-5)=3,
2 2 | AB + AC |= ( ?2) ? ( ?6) =2 10 .

uuu r uuu r

uuu r

uuur

?

uuu r

uuu r

?

uuu r

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

? ??? ? ???

? ??? ? ???

(2)∵( AB ? tOC )⊥ OC ,∴ ( AB ? tOC) ? OC =0, 即 AB ? OC - OC =-3×2+(-1)×(-1)=-5,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ?2 OC = 22 ? (?1)2 =5,∴-5-5t=0,∴t=-1.
【考点】数量积的应用 【难度】3 17.(本小题满分 12 分)

A? B ? 4sin A sin B ? 3,AC ? 8 , 2 1 点 D 在 BC 边上, 且 BD ? 2, cos ?ADB ? .求角 C 的大小及边 AB 7
如图, 在 ?ABC 中, 已知 4sin 2 的长. 【答案】见解析 【解析】 解:∵4sin
2

A? B +4sinAsinB=3, 2

∴2[1-cos(A-B)+4sinAsinB=3, ∴2-2(cosAcosB+sinAsinB)+4sinAsinB=3, ∴cos(A+B)=-

1 1 ? ,∴cosC= ,∴C= . 2 2 3

∵cos∠ADB=

1 1 4 3 ,∴cos∠ADC=,∴sin∠ADC= , 7 7 7

在△ADC 中,由正弦定理可得 AD=

AC ?sinC =7 sin ?ADC

∴AB=

49 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 ?

1 =7. 7

【考点】解斜三角形

【难度】3 18.(本小题满分 12 分) 已知 a ?

r

?

r r r 3, cos ? x , b ? ? sin ? x, ?1? , ? 0 ? ? ? 3, x ? R ? . 函 数 f ? x ? ? a ? b , 若 将 函 数

?

f ? x ? 的图象向左平移

?
3

个单位,则得到 y ? g ? x ? 的图像,且函数 y ? g ? x ? 为偶函数.

(I)求函数 f ? x ? 的解析式及其单调增区间; (II)若 f ?

2 ? ?? ? 1 ?? ? ? , ? ? ? ? ? ? ,求 sin ? 的值. 3 ? ?2? 2 ?6

【答案】见解析 【解析】

? ), 6 ? ? ? ? ? ∴g(x)=f(x+ )=2sin[ω(x+ )- ]=2sin(ωx- π - ), 3 3 6 3 6 ? ? ? ? 又∵g(x)是偶函数,∴sin(-ωx+ π - )=sin(ωx+ π - ), 3 6 3 6 ? ? ? ? ? ∴sinωxcos( π - )=0 对任意 x∈R 恒成立,∴ π - = +kπ ,k∈Z, 3 6 3 6 2 ? 整理,得 ω=2+3k,k∈Z,又 0<ω<3,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x- ), 6 ? ? ? ? ? 令- +2kπ≤2x - ≤ +2kπ ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 2 6 2 6 3 ? ? ∴函数 f(x)的单调增区间为[- +kπ , +kπ ],k∈Z. 6 3 ? ? ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f( )=2sin(2? - )=2sin(α - ), 2 2 6 6 ? 1 ? 1 ? 2 又 f( )= ,∴sin(α - )= ,又 < α < π , 2 4 3 2 6 6
解:(Ⅰ)f(x)= a ? b = 3 sin ωx-cosωx=2sin(ωx∴0 < α -

? ?

? ? ? 15 < ,∴cos(α - )= , 6 2 6 4

∴sinα=sin*(α -

? ? ? ? ? ? )+ ] =sin(α - )cos +cos(α - )sin 6 6 6 6 6 6

=

1 3 15 1 3 ? 15 × + × = . 4 2 2 4 8

【考点】三角函数的图像与性质 【难度】3 19.(本小题满分 12 分) 某工厂为提高生产效益, 决定对一条生产线进行升级改造, 该生产线升级改造后的生产效益

y 万元与升级改造的投入 x ? x ? 10 ? 万元之间满足函数关系:

y ? m ln x ?

1 2 101 x ? x ? ln10 (其中 m 为常数) 100 50

若升级改造投入 20 万元, 可得到生产效益为 35.7 万元.试求该生产线升级改造后获得的最大 利润.(利润=生产效益 ? 投入) (参考数据: ln 2 ? 0.7, ln 5 ? 1.6 ) 【答案】见解析 【解析】

101 ×20+ln10, 50 1 2 101 x + 解得,m=-1,则 y=-lnxx+ln10,(x>10) 100 50 1 2 101 x + 设利润为 f(x)=y-x=-lnxx+ln10-x 100 50 1 2 51 x + x+ln10,(x>10) =-lnx100 50 1 x 51 ( x ? 50)( x ? 1) 易得, f ?( x ) =- + = , x 50 50 50 x
解:由题意可得,35.7=mln20-4+ 又∵x>10,∴当 10<x<50 时, f ?( x ) <0, 当 x>50 时, f ?( x ) >0,则 x=50 时,函数 f(x)有最大值, 即 f(50)=-ln50-

1 51 2 ×(50) + ×50+ln10=24.4(万元) 100 50

答:该生产线升级改造后获得的最大利润为 24.4 万元. 【考点】函数模型及其应用 【难度】3 20.(本小题满分 13 分) 已知首项都是 1 的数列 ?an ? , ?bn ? bn ? 0, n ? N * 满足 bn ?1 ?

?

?

an ?1bn an ? 3bn

(I)令 Cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn

(II) 若数列 ?bn ? 为各项均为正数的等比数列, 且 b32 ? 4b2 ? b6 , 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 【答案】见解析 【解析】 解:(Ⅰ)由题意得 an?1 ? bn ? an ? bn?1 ? 3bn ? bn?1 , 两边同时除以 bnbn?1 ,得

an?1 an ? ?3 bn?1 bn

又 cn =

an a ,∴ cn?1 ? cn ? 3 ,又 c1 = 1 =1 , bn b1

∴数列 ?cn ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列, ∴ c n =1+3(n-1)=3n-2,n∈ N . (Ⅱ)设数列{bn}的公比为 q,q>0, ∵ b3 ? 4b2 ? b6 ,∴ b1 ? q ? 4b1 ? q ,
2 2 4 2 6
?

1 1 ,∴q= , 4 2 1 n?1 1 n?1 ? 又 b1 ? 1∴ bn ? ( ) ,n∈ N , an ? cnbn ? (3n ? 2) ? ( ) , 2 2 1 0 1 1 1 2 1 n?1 ∴ S n ? 1? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) ① 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 n ∴ Sn ? 1? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) ② 2 2 2 2 2
整理,得 q ?
2

①-②,得:

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 3 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? 3 ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n?1 1 n 1 n?1 1 n =1+3[ +( ) +…+( ) ]-(3n-2)×( ) =1+3[1-( ) ]-(3n-2)×( ) 2 2 2 2 2 2 n 1 1 n 1 n =4-(6+3n-2)×( ) =4-(3n+4)×( ) ,∴Sn=8-(6n+8)×( ) . 2 2 2
【考点】数列综合应用 【难度】3 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x, a ? R . (I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 g ? x ? ?

x 在交点处有共同的切线,求 a 的值;
2

(II)若对任意 x ? ?1, e ? ,都有 f ? x ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x 恒成立,求 a 的取值范围; (III)在(I)的条件下,求证: xf ? x ? ?

xe1? x ?1 . 2

【答案】见解析 【解析】 解:(I)函数 f(x)=alnx 的定义域为(0,+∞),

f ?( x ) =

a 1 , g ?( x ) = . x 2 x

设曲线 y=f(x)与曲线 g(x)=

x 交点( x0 , y0 ),

由于在交点处有共同的切线,∴

a 1 = , x0 2 x0

解得 x0 ? 4a 2 ,a>0.由 f( x0 )=g( x0 )可得 aln x0 =
2 ? e ? x0 ? 4a 联立 ? ,解得 a= . 2 ? ?a ln x0 ? x0

x0 .

(II)对任意 x∈[1,e],都有 f(x)≥ ? x +(a+2)x 恒成立, 2 化为 a(x-lnx)≤ x ? 2 x .(*).
2

令 h(x)=x-lnx, h?( x) =1-

1 x ?1 = , x x

∵x∈[1,e],∴ h?( x) ≥0,∴函数 h(x)单调递增, ∴h(x)≥h(1)=1.∴(*) 可化为 a≤

x2 ? 2x ,x∈[1,e]. x ? ln x x2 ? 2x ( x ? 1)[ x ? 2(1 ? ln x)] . F ?( x) = . x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 F(x)=

∵x∈[1,e],∴x-1≥0,2(1-lnx)>0, ∴当 x∈[1,e]时, F ?( x) ≥0, ∴函数 F(x)在 x∈[1,e]上单调递增,

1? 2 =-1,∴a≤-1. 1? 0 e (III)在(I)的条件下 f(x)= lnx . 2
∴F(x)≥F(1)=

xe1? x 1? x 要证明 xf(x)> -1.即证明 exlnx> xe ? 2 . 2
令 H(x)=exlnx,可得 H ?( x) =e+elnx=e(1+lnx), 令 H ?( x) >0,解得 x ∈ (

1 , +∞) , e

此时函数 H(x)单调递增;令 H ?( x) <0, 解得 x ∈ (0 , ∴当 x=

1 ) ,此时函数 H(x)单调递减. e

1 1 时,函数 H(x)取得极小值即最小值,H( ) =-1. e e
1? x

令 G(x)= xe

? 2 ,可得 G?( x) = (1 ? x)e1?x ,

令 G?( x) >0,解得 0<x<1,此时函数 H(x)单调递增; 令 G?( x) <0,解得 x>1,此时函数 G(x)单调递减. ∴当 x=1 时,函数 G(x)取得极大值即最大值,G(1)=-1. ∴H(x)>G(x),因此 xf(x)> 【考点】导数的综合运用 【难度】4

xe1? x -1. 2


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