二次函数专题复习全面


二次函数专题复习 考点 1:二次函数的图象和性质 一、考点讲解: 2 1.二次函数的定义:形如 y ? ax ? bx ? c (a≠0,a,b,c 为常数)的函数为二次函数. 2.二次函数的图象及性质: ⑴ 二次函数 y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是 y 轴;当 a>0 时,抛物 线开口向上,顶点是最低点;当 a<0 时,抛物线开口向下,顶点是最高点;a 越小,抛物线开 口越大.y=a(x-h)2+k 的对称轴是 x=h,顶点坐标是(h,k) 。
2 4ac ? b b b ⑵ 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象是一条抛物线.顶点为(- 2 a , 4a ) ,对称轴 x=- 2 a ;当 a
2

2、 (2012?衢州)已知二次函数 y= ?

1 2 15 x -7x+ ,若自变量 x 分别取 x1,x2,x3,且 0<x1<x2<x3, 2 2

>0 时,抛物线开口向上,图象有最低点,且 x>- 2 a ,y 随 x 的增大而增大,x<- 2 a ,y 随 x 的增大而减小;当 a<0 时,抛物线开口向下,图象有最高点,且 x>- 2 a ,y 随 x 的增大而 减小,x<- 2 a ,y 随 x 的增大而增大. 注意:分析二次函数增减性时,一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称 轴同侧还是异侧,然后再根据具体情况分析其大小情况。 解题小诀窍:二次函数上两点坐标为( x1 , y ) , ( x2 , y ) ,即两点纵坐标相等,则其对称轴为直线
x? x1 ? x 2 。 2
b

b

b

b

b

则对应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系正确的是( ) A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1 2 3、 (2012?咸宁)对于二次函数 y=x -2mx-3,有下列说法:①它的图象与 x 轴有两个公共点; ②如果当 x≤1 时 y 随 x 的增大而减小,则 m=1;③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点,则 m=-1; ④如果当 x=4 时的函数值与 x=2008 时的函数值相等,则当 x=2012 时的函数值为-3. 其中正确的说法是 . 4、 .抛物线 y= ? 4(x+2)2+5 的对称轴是______ 2、 函数 y= x2-4 的图象与 y 轴的交点坐标是 ( ) 2 5、如果将抛物线 y ? 2 x 向右平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,平移后二次函数的关系式是( 6、已知直线 y=x 与二次函数 y=ax2 -2x-1 的图象的一个交点 M 的横标为 1,则 a 的值为( ) 7、抛物线 y=x2-4x+5 的顶点坐标是( ) .直线 y=x+2 与抛物线 y=x2 +2x 的交点坐标为____. 2 8、二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是 9、已知点 P (a,m)和 2Q(0,m)是抛物线 y=2x2+4x-3 上的两个不同点,则 a+b=______ 10. 已知二次函数 y1 ? ax ? bx ? c (a≠0) 与一次函数 y 2 =kx+m(k≠0) 的图象相交于点 A (-2, 4) ,B(8, 2),如图 1-2-7 所示,能使 y1>y2 成立的 x 取值范围是_______ 11、若直线 y=ax-6 与抛物线 y=x2-4x+3 只有一个交点,则 1 a 的值为( ) 12、已知 M、N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 y= 上,点 N 在直线上, 2x 设点 M 的坐标为(a,b),则抛物线 y=-abx2+(a+b)x 的顶点坐标为___. 考点三:抛物线的特征与 a、b、c 的关系 一、考点讲解: 1、a 的符号:a 的符号由抛物线的开口方向决定.抛物线开口向上,则 a>0;抛物线开口向下,则 a<0. 2、b 的符号由对称轴决定,若对称轴是 y 轴,则 b=0;若抛物线的顶点在 y 轴左侧,顶点的横坐标 - 2 a <0,即 2 a >0,则 a、b 为同号;若抛物线的顶点在 y 轴右侧,顶点的横坐标- 2 a >0,
b b b b

⑶ 当 a>0 时, 当 x=- 2 a 时, 函数有最小值

4ac ? b 2 4ac ? b 2 。 b ; 当 a < 0 时, 当 x= - 时, 函数有最大值 2a 4a 4a

即 2 a <0.则 a、b 异号.即“左同右异” . 3.c 的符号:c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定.若抛物线交 y 轴于正半,则 c>0,抛物线 交 y 轴于负半轴.则 c<0;若抛物线过原点,则 c=0. 4.△的符号:△的符号由抛物线与 x 轴的交点个数决定.若抛物线与 x 轴只有一个交点,则△=0; 有两个交点,则△>0.没有交点,则△<0 . 2 5、a+b+c 与 a-b+c 的符号:a+b+c 是抛物线 y ? ax ? bx ? c (a≠0)上的点(1,a+b+c)的纵坐标,a 2 -b+c 是抛物线 y ? ax ? bx ? c (a≠0)上的点(-1,a-b+c)的纵坐标.根据点的位置,可确 定它们的符号. 1、 (2012?玉林)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为 x=1,有如下结论: ①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2,则 x1+x2=2, 则正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 2. (2012?重庆)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为 x= ?

3.图象的平移:将二次函数 y=ax2 (a≠0)的图象进行平移,可得到 y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x -h)2+k 的图象. ⑴ 将 y=ax2 的图象向上(c>0)或向下(c< 0)平移|c|个单位,即可得到 y=ax2+c 的图象.其顶点是 (0,c) ,形状、对称轴、开口方向与抛物线 y=ax2 相同. ⑵ 将 y=ax2 的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位,即可得到 y=a(x-h)2 的图象.其顶点 是(h,0) ,对称轴是直线 x=h,形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同. ⑶ 将 y=ax2 的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单 位,即可得到 y=a(x-h)2 +k 的图象,其顶点是(h,k) ,对称轴是直线 x=h,形状、开口方向 2 2 与抛物线 y=ax 相同. 注意:二次函数 y=ax 与 y=-ax2 的图像关于 x 轴对称。平移的简记口 诀是“上加下减,左加右减” 考点二:二次函数图象上点的坐标特点 1 (2012?常州)已知二次函数 y=a(x-2)2+c(a>0) ,当自变量 x 分别取 2 、3、0 时,对应的 函数值分别:y1,y2,y3, ,则 y1,y2,y3 的大小关系正确的是( ) A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2

1 .下列结论中, 2

正确的是( ) A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a+c<2b 2 3.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点(-2,0) ,(x1,0)且 1<x1<2,与 y· 轴正半 轴的交点连点(0,2)的下方,下列结论:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c< 0,④2a-b+l>0.其

中的有正确的结论是(填写序号)__________. 4、 (2012?孝感)二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)图象的对称轴是直线 x=1,其图象 的一部分如图所示.对于下列说法:①abc<0;②a-b+c<0; ③3a+c<0;④当-1<x<3 时,y>0. 其中正确的是 (把正确的序号都填上) .

2 个不相等的实数根;当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有一个交点时,则一元二次方程 ax2

+bx+c=0 有两个相等的实数根;当二次函数 y=ax2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时,则一元 2 二次方程 y ? ax ? bx ? c 没有实数根. 解题小诀窍:抛物线与 x 轴的两个交点间的距离可以用| x1-x2|来表示。 1.已知函数 y=kx2-7x—7 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( ) 2.不论 m 为何实数,抛物线 y=x2-mx+m-2( ) A.在 x 轴上方 B.与 x 轴只有一个交点 C.与 x 轴有两个交点 D.在 x 轴下方 2 3.已知二次函数 y =x -x-6· (1)求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标; (2)画出函数图象 (3)观察图象,指出方程 x2-x—6=0 的解; (4)求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积 (5)x 取什么值时,函数值大于 0? (6)x 取什么值时,函数值小于 0? 【备考真题过关】 1. (2012?白银)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则函数值 y<0 时 x 的取值范围是( ) A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1 或 x>3 2 2. (2012?兰州)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相 等的实数根,则 k 的取值范围是( ) A.k<-3 B.k>-3 C.k<3 D.k>3

1 题图 2 题图 4 题图 考点 4:二次函数解析式求法 二次函数表达式的求法: 2 ⑴一般式法:若已知抛物线上三点坐标,可利用待定系数法求得 y ? ax ? bx ? c ;将已知的三个 点的坐标分别代入解析式,得到一个三元一次方程组,解这个方程组即可。 2 ⑵顶点式法:若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程,则可采用顶点式: y ? a( x ? h) ? k 其中 顶点为(h,k),对称轴为直线 x=h; ⑶交点式法:若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标,则可采用交点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中与 x 轴的交点坐标为(x ,0) , (x2,0) 。 1 解题小诀窍:在求二次函数解析式时,要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如,已知二 次函数的顶点在坐标原点可设 y ? ax2 ;已知顶点(0,c) ,即在 y 轴上时可设 y ? ax2 ? c ; 2 已知顶点(h,0)即顶点在 x 轴上可设 y ? a( x ? h) . 注意:当涉及面积周长的问题时,一定要注意自变量的取值范围。 1.二次函数的图象经过点(-3,2) , (2,7) , (0,-1) ,求其解析式. 2.已知抛物线的对称轴为直线 x=-2,且经过点(-l,-1) , (-4,0)两点.求抛物线的解析式. 3.已知抛物线与 x 轴交于点(1,0)和(2,0)且过点 (3,4),求抛物线的解析式. 2 4、已知抛物线 y=x2+(2n-1)x+n -1 (n 为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式; (2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过 A 作 x 轴的平行 线,交抛物线于另一点 D,再作 AB⊥x 轴于 B,DC⊥x 轴于 C. ①当 BC=1 时,求矩形 ABCD 的周长; ②试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并 指出此时 A 点的坐标;如果不存在,请说明理由. 考点 5:根据二次函数图象解一元二次方程的近似解 一、考点讲解: 1.二次函数与一元二次方程的关系: 2 (1)一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 就是二次函数 y ? ax ? bx ? c 当函数 y 的值为 0 时的情况. 2 (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有 2 交点;当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 2 2 (3) 当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有两个交点时, 则一元二次方程 y ? ax ? bx ? c 有两

3. (2012?德阳)设二次函数 y=x2+bx+c,当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0,那么 c 的 取值范围是( ) A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3 2 4、 (2012?西宁)如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象过(﹣1,1) 、 (2,﹣1)两点,下列关于这个 二次函数的叙述正确的是( ) A.当 x=0 时,y 的值大于 1 B. 当 x=3 时,y 的值小于 0 C. 当 x=1 时,y 的值大于 1 D.y 的最大值小于 0 2 5、 (2012?天门)已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的两个交点分别为(-1,0) , (3,0) .对于下列命题:①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 2 6. (2012?乐山) 二次函数 y=ax +bx+1 (a≠0) 的图象的顶点在第一象限, 且过点 (-1, 0) . 设 t=a+b+1, 则 t 值的变化范围是( ) A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.-1<t<1 2 7. (2012?陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线 y=x -x-6 向上(下)或向左(右)平移 m 个单位, 使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.6 8、 (2012?长春)在平面直角坐标系中,点 A 是抛物线 y=a(x-3)2+k 与 y 轴的交点,点 B 是这条 抛物线上的另一点,且 AB∥x 轴,则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 . ?1 ? 9、 (2010 湖北孝感, ) 如图, 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交, 其顶点坐标为 ? ,1? ,

?2 ?

下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b =4a;④a+b+c<0.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10 、 ( 2010 天 津 ) 已 知 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 的 图 象 如 图 所 示 , 有 下 列 结 论 : ① b2 ? 4ac ? 0 ;② abc ? 0 ;③ 8a ? c ? 0 ;④ 9a ? 3b ? c ? 0 . 其中,正确结论的个数是 A、1 B 、2 C 、3 D、4 y
?2 ?1 O

2

17、 (2010 安徽蚌埠)已知抛物线 y ?

1 2 x ? bx 经过点 A(4,0)。设点 C(1,-3) ,请在抛物线的 2

对称轴上确定一点 D,使得 AD ? CD 的值最大,则 D 点的坐标为_______。 18、抛物线 y= –(x–1) +2 关于 x 轴对称的抛物线的解析式是______________ 关于 y 轴对称的抛物线的解析式是________关于原点中心对称的抛物线的解析式是__________ 关于顶点中心对称的抛物线(或绕顶点旋转 180°)的解析式是________ 解答题
2

x

x ?1

9 题图

10 题图

11 题图

12 题图

1、 (2009 年重庆市江津区) 如图, 抛物线 y ? ? x 2 ? bx ? c 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3, 0)两点, (1) 求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的周 长最小?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P,使△PBC 的面积最大?,若存在,求 出点 P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.

11、 (2009 年甘肃庆阳)如图为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象,给出下列说法: 2 ① ab ? 0 ;②方程 ax ? bx ? c ? 0 的根为 x1 ? ?1 ,x2 ? 3 ;③ a ? b ? c ? 0 ;④当 x ? 1 时,y 随 x 值的增大而增大;⑤当 y ? 0 时, ?1 ? x ? 3 .其中,正确的说法有 . (写出序号) 2 12、 (2012 泰安)二次函数 y ? ax2 ? bx 的图象如图,若一元二次方程 ax ? bx ? m ? 0 有实数根, 则 m 的最大值为( ) A. ?3 B.3 C. ?6 D.9 (2011 山东潍坊,12,3 分)已知一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0??(a ? 0) 的两个实数根 x1 、 x2 满足 x1 ? x2 ? 4 和 x1 ?x2 ? 3 ,那么二次函数 y ? ax2 ? bx ? c?(a ? 0) 的图象有可能是( ) y
A(1,4) B(4,4) C D

O

x

C

(第 14 ) 题)
B
A

13、 (2011 广西崇左, 18, 3 分) 已知: 二次函数 y=ax2+bx+c

(a≠0)的图象如图所

示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b) (m≠1 的实数) ;④(a+c)2<b2;⑤a >1.其中正确的项是( ) A.①⑤ B.①②⑤ C.②⑤ D.①③④
2

14、 (2010 浙江台州市)如图,点 A,B 的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线 y ? a( x ? m) ? n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小值为 ? 3 ,则 点 D 的横坐标最大值为( ) A.-3 B.1 C.5 D.8

2、如图,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120° 至 OB 的位置. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过点 A.O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

15、 (2010 安徽蚌埠)已知函数 y ? 3 ? ( x ? m)(x ? n) ,并且 a, b 是方程 3 ? ( x ? m)( x ? n) ? 0 的两 个根,则实数 m, n, a, b 的大小关系可能是 A. m ? a ? b ? n B. m ? a ? n ? b C. a ? m ? b ? n D. a ? m ? n ? b

16、 (2011 湖北黄石,9,3 分)设一元二次方程(x-1) (x-2)=m(m>0)的两实根分别为 α,β, 且 α<β,则 α,β 满足 A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1 且 β>2

3、 (2009 威海) 如图, 在直角坐标系中, 点 A,B,C l 的坐标分别为(-1,0) , (3,0) 。 (0,3) ,过 A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线, D 为对称 轴 l 上一动点. y l (1) 求抛物线的解析式; C (2) 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标; (3) 以点 A 为圆心,以 AD 为半径作⊙A. ①证明:当 AD+CD 最小时,直线 BD 与⊙A 相切. x A O B ②写出直线 BD 与⊙A 相切时,D 点的另一个坐标:___________.

6、 (2009 年济南) 已知: 抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A,B 两点, 与 y 轴交于点 C, 其中 A ? ?3, 0? 、

C ? 0, ? 2?. (1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点 P,使得 △PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标. (3) 若点 D 是线段 OC 上的一个动点 (不与点 O、 点 C 重合) . 过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m , △PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由. y A O C B x

4、 (2010 山东聊城)如图,已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛物线经过 A(- 1,0) 、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,并求此 时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90? 的点 P 的坐标. 7. 已知抛物线 y=ax +bx+c 经过 A(-1, 0)、 B(3, 0)、 C(0, 3)三点, 直线 l 是抛物线的对称轴. (1)
E
2

2

求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使△MAC 为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点 M 的坐

3 2 2 5、 (2011 广东肇庆, (25,10 分)已知抛物线 y ? x ? mx ? m ( m ?0)与 x 轴交于 A 、 B 两 4 点. (1)求证:抛物线的对称轴在 y 轴的左侧;
(2)若

标;若不存在,请说明理由.

1 1 2 ? ? ( O 是坐标原点) ,求抛物线的解析式; OB OA 3


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