二轮复习专题讲解数列


二轮复习专题讲解数列

1. (本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 32 , a8 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log 2 an ,求 Tn 的最大值及相应的 n 值.

1 , an ?1 ? an . 2

1 a 1 1 6 解:(Ⅰ) q ? 8 ? 2 ? , an ?1 ? an ,所以: q ? . a2 32 64 2
以 a1 ?

…(3 分)

a2 32 ……………(5 分) ? ? 64 为首项. 1 q 2 1 所以 通项公式为: an ? 64 ? ( ) n ?1 ? 27 ? n ( n ? N ? ) . ……(7 分) 2
(Ⅱ)设 bn ? log 2 an ,则 bn ? log 2 27 ? n ? 7 ? n . 所以 ?bn ? 是首项为 6,公差为 ?1 的等差数列. …………………(8 分) ………………(10 分)

Tn ? 6n ?

n(n ? 1) 1 13 1 13 169 . …………(12 分) (?1) = ? n 2 ? n ? ? (n ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 8

因为 n 是自然数,所以 n ? 6 或 n ? 7 时, Tn 最大,其最值是 T6 ? T7 ? 21. ……(14 分)

2. (本小题满分 12 分) 1 an 已知函数 f(x)=ax 的图象过点(1, ),且点(n-1, 2)(n∈N*)在函数 f(x)=ax 的图象上. 2 n (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 令 bn = an ?1 ?

1 an ,若数列{ bn }的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 5 . 2

1 x (Ⅰ) ∵函数 f(x)=a 的图象过点(1, ), 2 1 1 x ∴a= ,f(x)=( ) . 2 2

an an 1 n2 * x 又点(n-1, 2)(n∈N )在函数 f (x)=a 的图象上,从而 2= n-1,即 an= n-1. n n 2 2 2 2 ?n+1? n 2n+1 (Ⅱ) 由 bn= - n= n 得, n
2 2 2

Sn= + 2+…+
1 则 Sn= 2

3 2

5 2n+1 , n 2 2 3 5 2n-1 2n+1 + n+1 , 2+ 3+…+ n 2 2 2 2

1
1 3 1 1 1 2n+1 3 两式相减得: Sn= +2( 2+ 3+…+ n)- n+1 ? ? 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2n+5 ∴ S n =5- n , 2 又

2n ? 5 ? 0 ∴ S n <5 2n

1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2n ? 1 2 ? n ?1 1 2 1? 2

3. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1, an ? 0, S n 是 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 对 任 意 的 n ? N * , 有

2 S n ? 2 an ? an ? 1 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

2

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n

4. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 是递增数列, 且满足 a3 ? a5 ? 16, a2 ? a6 ? 10.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ( a n ? 7) ?

2n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 3

解: (Ⅰ)根据题意: a 2 ? a 6 ? 10 ? a 3 ? a5 ,又 a 3 ? a5 ? 16 , 所以 a 3 , a5 是方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,且 a 3 ? a5 , 解得 a5 ? 8, a 3 ? 2 ,所以 d ? 3 , a n ? 3n ? 7 . (Ⅱ) bn ? ( a n ? 7) ? ………………………… 6 分

2n ? n ? 2 n ,则 3
① ②

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n

2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? ( n ? 2) ? 2 n ?1 ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1
①一②,得 ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3 n ?1

? 2 ? n?2
n

n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n ?1 , 1? 2

所以 Tn ? n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 .

5.(14 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n 是 (1)求证:数列 {an } 是等差数列;

1 与 (an ? 1) 2 的等比中项. 4

(2)若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn ?1 ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)在(Ⅱ)的条件下,若 cn ? 解: (Ⅰ) ( S n ) 2 ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ? 3

1 1 (an ? 1) 2 即 S n ? (an ? 1) 2 ------1 分 4 4 1 当 n ? 1 时, a1 ? (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 ------2 分 4 1 当 n ? 2 时, S n ?1 ? (an ?1 ? 1) 2 4 1 2 2 ∴ an ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) ------3 分 4
即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ------4 分

∵ an ? 0

∴ an ? an ?1 ? 2

∴数列 {an } 是等差数列------5 分 (Ⅱ)由 bn ? 2bn ?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn ?1 ? 3) ------7 分 ∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2n ?1 ? ( a1 ? 3)2 n ?1 ? 2 n ?1 ∴ bn ? 2n ?1 ? 3 (Ⅲ) cn ? ------9 分 ------10 分

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

1 3 5 2n ? 1 ① ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ② 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2n ? 3 ------14 分 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ?

7. (本小题 13 分) 已知 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且 S n ? (1)求 a1 的值,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 (an ? 1)(n ? N ? ). 2

an (n ? N ? ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , (an ? 1)(an ?1 ? 1)

求证: Tn ?

1 (n ? N ? ) 为定值。 6an ? 2

(1) a1 ? 3, an ? 3n ; (2) bn ?

an 3n 1 1 1 ? n ? ( n ? n ?1 ) n ?1 (an ? 1)(an ?1 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 2 3 ? 1 3 ? 1

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? 2 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 ) ? 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 1 ( ? n ?1 ) ? ? 2 3 ? 1 3 ? 1 8 6 ? 3n ? 2

?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? (定值) n n 6an ? 2 8 6 ? 3 ? 2 6 ? 3 ? 2 8

8.(本题满分 15 分)已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 ,其中 n ? N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?an ?的通项公式 an ;

4an 1 , 数列 ?cn cn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? n ?1 cm cm ?1

对于 n ? N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由. (I)证明

bn ?1 ? bn ?

2 2a n ?1 ? 1

?

2 2a n ? 1

?

2 ? 1 2? ?1 ? 4 a n ? ? ? ? ?1 ?

?

2 2a n ? 1

?

4a n 2 ? ? 2, 2a n ? 1 2a n ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ? (II) c n ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . …………………………..8 分 2n

2 4 ] ? ?1 , cn cn?2 ? ? 2? ? ?, n n?n ? 2 ? ?n n? 2?

所以 Tn ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 ? ? ? ? ? 3, 2 n ?1 n ? 2 ?
m(m ? 1) 1 对于 n ? N * 恒成立,只需 ? 3, 4 c m c m ?1

依题意要使 Tn ?

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 …………………………….15 分

9. (本小题满分 14 分) 正项数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n 2 ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

5 n ?1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? . 2 2 64 (n ? 2) an

2 2 (1)解:由 S n ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 . ………2 分

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n 2 ? n . …………3 分 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n . ………5 分 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . …………………6 分

(2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . …………7 分 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . …………9 分 ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

……11 分

?
?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] …………13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2
1 1 5 . (1 ? 2 ) ? 16 2 64
…………14 分

10. (本小题满分 13 分)
2 2 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? an an ?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a 3 ?4 ,其中

n ? N *.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足 bn ?

nan 是否存在正整数 m、n(1<m<n) ,使得 b1 , bm ,b n (2n ? 1) ? 2 n

成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值,若不存在,请说明理由。

2 2 解析: (1)? ? 因为 a n ?1 ? 2a n ? a n a n ?1 ?即 (a n ?1 ? a n )(2a n ? a n ?1 ) ? 0 ? 又 a n ? 0 ?所以有 2a n ? a n ?1 ? 0 ?即 2a n ? a n ?1

所以数列 ?a n ?是公比为 2 的等比数列? 由 a 2 ? a 4 ? 2a3 ? 4 得 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4 ?解得 a1 ? 2 。 ( II ) ? ? ? bn ?
(

n 从而,数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 2 (n ? N ? ) 。……………………6 分

na n n , 若 b1 , bm , bn 成 等 比 数 列 , 则 n ? (2n ? 1) ? 2 2n ? 1

m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1 m2 n ? 即 2 . 4m ? 4m ? 1 6n ? 3



又 m ? N* ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 ?使得 b1 , bm , bn 成等比数列。……………………13 分
11. (本小题满分 15 分)已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, a n ?1 ? (1)求证: ?

m2 n 3 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? ? ,可得 , n m2 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 6 6 所以 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,解得: 1 ? 。 ? m ? 1? 2 2

an (n ? N * ) an ? 3

? 1 1? ? ? 是等比数列,并求 ?a n ? 的通项公式 a n ; ? an 2 ?
n ? a n , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式 2n

( 2 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? (3 n ? 1) ?

(?1) n ? ? Tn ?

n 2
n ?1

对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围。

(2) bn ?

n

2 n ?1 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2

Tn 1 1 1 1 ?    1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 1 n?2 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ? 2 ? n 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? Tn ? 4 ? n ?1 ---------------------------12 分 2 2 ? (?1) n ? ? 4 ? n ?1 2 2 若 n 为偶数,则? ? ? 4 ? n ?1 ,? ? ? 3 2 2 若 n 为奇数,则? ?? ? 4 ? n ?1 ,? ?? ? 2,? ? ? ?2 2 ? ?2 ? ? ? 3 ----------------------15 分

两式相减得

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是递增的等比数列, 满足 a1 ? 4 , 且 (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 成立,求实数 ? 的取值范围。 解(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q, 则 q ? 1, an ? 4q n ?1

5 a3是a2、a4 4 的等差中项,数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? bn ? 1 ,其前 n 项和为 sn ,且 s 2 ? s6 ? a4

(2) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Tn , 若不等式 nlog 2 (Tn ? 4) ? ? bn ? 7 ? 3n 对一切 n ? N ? 恒

5 ? a3 是 a2和 a4 的等差中项 4 5 ? 2 ? a3 ? a2 ? a4即2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 4
? q ? 1? q ? 2
? an ? 4 ? 2n ?1 ? 2n ?1
依题意,数列 ?bn ? 为等差数列,公差 d ? 1 又 s2 ? s6 ? 32 ? (2b1 ? 1) ? 6b1 ? (2)? an ? 2
n ?1

6?5 ? 32,? b1 ? 2 ? bn ? n ? 1 2

......6 分

?Tn ?

4(2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 4 . 2 ?1
2 *

不等式 nlog 2 (Tn ? 4) ? ? bn ? 7 ? 3n 化为 n ? n ? 7 ? ? (n ? 1) ? n ? N

......9 分

?? ?

n2 ? n ? 7 对一切 n ? N * 恒成立。 n ?1



n 2 ? n ? 7 (n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 9 9 9 ? ? (n ? 1) ? ( ) ? 3 ? 2 (n ? 1) ? ?3 ? 3 n ?1 n ?1 n ?1 (n ? 1)
9 即 n ? 2 时等式成立。? ? ? 3 n ?1
......12 分

当且仅当 n ? 1 ?

12. (本题共 12 分,第Ⅰ问 4 分,第Ⅱ问 8 分) 已知数列 ?an ? 满足递推式: an ?1 ?

2 2 ? an ? ? n ? 2, n ? N ? , a1 ? 1, a2 ? 3 . an an?1

(Ⅰ)若 bn ?

1 ,求 bn ?1 与 bn 的递推关系(用 bn 表示 bn ?1 ) ; 1 ? an

(Ⅱ)求证: a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ?? an ? 2 ? 3? n ? N? ? . (Ⅰ) an ?1 ?

2 2 2 2 ? an ? ? ? ? a2 ? ? 3 ? 2 ? 1 ? an?1 ? ? 1 an an?1 a1 an



bn ?

1 ? bn ?1 2bn 1 2 1 1 ?1 ? ?1? ? ?1 ? an ? ? 1 代入①式得 1 bn ?1 b 1 ? b 1 ? an bn n ? 1 n ?1 bn
1 1 bn ? . 2 2

即 bn ?1 ? ? (Ⅱ)

n 3 3 1 1? ? 1? ? 3 ? an ? 2 ? ?3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? an ? 1 ? n n n 1 ? an 3 ? ?2 ? ? 1 ? 1? ? 1? ? ? ? 2? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ? 2? 3 3 , a2 k ? 2 ? 2 k 对 n 分奇数与偶数讨论: a2 k ?1 ? 2 ? 2 k ?1 ,则 2 ?1 2 ?1

1 ? 22k ?1 ? 22 k ? 1 a2k ?1 ? 2 + a2 k ? 2 =3 ? 2k ?1 + 2 k ? =3 ? 4k ?1 2k ?1 2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1 2 ?1 ? ? 3? 22k ?1 ? 22 k 1 ? 1 ? 3 ? ? 2k ?1 + 2 k 4k ?1 2 2 ?2 ? ? ,则 ?
? ? ? 3; ?

1 ? 1 ?1 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ? ? a2 k ?1 ? 2 ? a2 k ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? 2 k ? ? 3 ? ?1 ? 2 k 2 ? ?2 2 ? 2

又 a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ? ? a2 k ?1 ? 2 ? a2 k ?1 ? 2 ? 3 ? ?1 ?

? ?

1 22 k

3 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 ?1

1 1 ? ? ? 3 ? ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ? ? 3 .综上所述,原不等式成立. ? 2 ?1 2 ?

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?
4a ? 1 5 ,且 an ? n ?1 2 an ?1 ? 2 (n ? 2, n ? N ? )

(1)设 bn ?

1 ,证明数列 ?bn ? 是等差数列; an ? 1

(2)求数列 ?bn ? 、 ?an ? 的通项公式; (3)设 cn ? an ? an ?1 , S n 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,证明 S n ? n ? 6(1 ? ln n) .
解:(1) 解法一: an ? 1 ?

3(an ?1 ? 1) a ?2 1 1 1 ,? ? n ?1 ? ? an ?1 ? 2 an ? 1 3(an ?1 ? 1) an ?1 ? 1 3
4分

1 2 ? bn ? bn ?1 ? , b1 ? , ??bn ? 为等差数列 3 3
解法二:

bn ? bn ?1 ?

1 1 1 1 ? ? ? 4 a ? 1 an ? 1 an ?1 ? 1 n ?1 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? 2

?

an ?1 ? 2 3 1 ? ? 3(an ?1 ? 1) 3(an ?1 ? 1) 3

1 2 2 1 又b1 ? ? ,?{bn }是以 为首相, 为公差的等差数列。 a1 ? 1 3 3 3
(2)由(1) bn ? b1 ? (n ? 1) ? (3)解法一: cn ?

……4 分

1 n ?1 n?4 ,从而 an ? ? 3 3 n ?1

6分

(n ? 4)(n ? 5) n 2 ? 9n ? 20 n?3 ? 2 ? 1? 6? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 3n ? 2 n ? 3n ? 2

? cn ? 1 ?

6(n ? 3) 6 6分 ? 1? , 2 n ? 3n n 1 1 1 S n ? n ? 6(1 ? ? ? ... ? ) 当 n ? 1 时, S1 ? 5 ,不等式的左边=7,不等式成立 2 3 n 1 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, S n ? n ? 6(1 ? ? ? ... ? ) 故只要证 1 ? ? ? ... ? ? 1 ? ln n( n ? 2) , 2 3 n 2 3 n
如下用数学归纳法给予证明:

①当 n ? 2 时, ln 2 ?

1 2 ? ln ? 0 ,? n ? 2 时,不等式成立; 2 e

1 1 1 ? ? ... ? ? 1 ? ln k (k ? 2) 成立 2 3 k 1 1 1 1 1 当 n ? k ? 1 时, 1 ? ? ? ... ? ? ? 1 ? ln k ? 2 3 k k ?1 k ?1 1 k ?1 1 只需证: 1 ? ln k ? ? 1 ? ln(k ? 1) ,即证: ln ? k ?1 k k ?1 1 1 令 ? x ? ? 0,1? ,则不等式可化为: ln ?x k ?1 1? x ?1 ?x 即 ln(1 ? x) ? ? x, x ? (0,1) 令 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,则 f ?( x) ? ?1 ? ?0 1? x 1? x
②假设当 n ? k 时, 1 ?

? f ( x) 在 (0,1) 上是减函数又 f ( x) 在 ? 0,1? 上连续, ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,故 ln(1 ? x) ? ? x
当x?

1 k ?1 1 时,有 ln ? 当 n ? k ? 1 时,所证不等式对 n ? 2 的一切自然数均成 ? k ?1 k k ?1
14 分

立综上所述, S n ? n ? 6(1 ? ln n) 成立. 解法二:同一法可得: cn ? 1 ? 下面证明: ln 记

6 n

n 1 ? , n ? N *成立 n ?1 n

1 ? x, x ? (0,1),同一法可证成立 n

? cn ? 1 ?

6 n ? 1 ? 6 ln ? 1 ? 6[ln n ? ln(n ? 1)] n n ?1 n ? 1时,s1 ? 5 ? 1 ? 6(1 ? 0) ? 7, 成立

n ? 2时,sn ? c1 ? c2 ? ?? ? cn ? n ? 6[1 ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ?? ? (ln n ? ln(n ? 1))] ? n ? 6(ln n ? 1) ? sn ? n ? 6(1 ? ln n)成立

13.(11 重庆)21. (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 设实数数列 {an } 的前 n 项和 S n ,满足 S n?1 ? an?1 S n (n ? N )
*

(I)若 a1 , S2 ? 2a2 成等比数列,求 S2 和 a3 ; (II)求证:对 k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ?

4 3

2 ? S2 ? ?2a1a2 , 2 (I)解:由题意 ? 得S2 ? ?2S2 , ? S2 ? a2 S1 ? a1a2 ,

由 S2 是等比中项知 S2 ? 0.因此S2 ? ?2. 由 S2 ? a3 ? S3 ? a3 S2 解得

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ?2 ? 1 3

(II)证法一:由题设条件有 Sn ? an?1 ? an?1Sn , 故 Sn ? 1, an?1 ? 1且an ?1 ? 从而对 k ? 3 有

Sn a , Sn ? n?1 , Sn ? 1 an?1 ? 1

ak ?1 2 Sk ?1 a ? Sk ?2 ak ?1 ? 1 ak ?1 ak ? ? k ?1 ? ? 2 . ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? Sk ? 2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ak ?1 ? ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?
因 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? ) ?
2 2



1 2

3 2 ? 0且ak ?1 ? 0 ,由①得 ak ? 0 4

要证 ak ?

2 ak 4 4 ?1 ,由①只要证 2 ? , 3 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3

2 2 即证 3ak (ak ?1 ? 2)2 ? 0. ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1),即

此式明显成立. 因此 ak ?

4 (k ? 3). 3
2 ak ? 2 ? ak , ak ? ak ? 1

最后证 ak ?1 ? ak . 若不然 ak ?1

又因 ak ? 0, 故

ak ? 1,即(ak ? 1)2 ? 0. 矛盾. a ? ak ? 1
2 k

因此 ak ?1 ? ak (k ? 3).

证法二:由题设知 Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an?1 Sn , 故方程 x2 ? Sn?1 x ? Sn?1 ? 0有根Sn 和an?1 (可能相同).
2 因此判别式 ? ? Sn ?1 ? 4Sn?1 ? 0.

又由 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? an ? 2 ? an ? 2 Sn ?1得an ? 2 ? 1且Sn ?1 ?
2 an 4an?2 2 ?2 ? ? 0,即3an ? 2 ? 4an ? 2 ? 0 , 2 an? 2 ? 1 (an?2 ? 1)

an? 2 . an? 2 ? 1

因此

解得 0 ? an ? 2 ? 因此 0 ? ak ? 由 ak ?

4 . 3 (k ? 3).

4 3

Sk ?1 ? 0 (k ? 3) ,得 Sk ?1 ? 1
Sk Sk ?1 S ? ak ? ak ( ? 1) ? ak ( 2 k ?1 ? 1) Sk ? 1 ak Sk ?1 ? 1 S k ?1 ?1 S k ?1 ? 1 S
2 k ?1

ak ?1 ? ak ?

??

ak ?? ? Sk ?1 ? 1

ak ? 0. 1 2 3 ( Sk ?1 ? ) ? 2 4

因此 ak ?1 ? ak

(k ? 3).

14.(12 重庆)21、 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 。 (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列; (II) 若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件。 2

【解析】 (1)证明:由 S2 ? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 。 因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

a2 ? a2 , a1

又由题设条件知 Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1

两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? ,即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 an ?1
n (a1 ? an ) ,等号成立。 2

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 S n ?

设 n ? 3 , a2 ? ?1且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2n?1 ,所以要证的不等式化 为:

n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 2 n 1 ? a2 n ? ? n ? 2 ? 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立。

, 2 1, 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1 与 a2n?r ?1 , ( r ?3
当 a2 ? 1 时,

1? n ? )同为负;

, 2 1 , 1? n ? )同为正; ( r ?3 a2r ?1与 a2n?r ?1 ,

因此当 a2 ? ?1且 a2 ? 1 时,总有 ( a2r ?1 ) ( a2n?r ?1 )>0,即

, 2 1 , 1? n ? ) ( r ?3 。 a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n ,
2 n?r n 上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2 ) ? (n ? 1) 1 ? a2

?

?

n ?1 1 ? a2 n ? ? 2 n 综上,当 a2 ? ?1且 a2 ? 0 时,有 S n ? (a1 ? an ) ,当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成立。 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

15.(12 分 ) 已 知 Sn 是 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 且 对 任 意 n ? N? , 有
a 2 1 (1 ? ? ) Sn ? ?? an ? ? 4n ? .记 cn ? n .其中 ? 为实数,且 0 ? ? ? 4 . 4n 3 3

(1)当 ? ? 4 时,求数列 {an } 的通项; (2)当 0 ? ? ? 4 时,若 | cn |? 4 对任意 n ? N? 恒成立,求 ? 的取值范围.
n ? 1 时, (1 ? ? )a1 ? ?? a1 ? 3 ∴ a1 ? 3

2 1 ? (1 ? ? ) Sn ? ?? an ? ? 4n ? ? ? 3 3 n ? 2时? 相减 ?(1 ? ? ) S ? ?? a ? 1 ? 4n ? 1 n ?1 n ?1 ? 6 3 ?

1 ∴ an ? ? an ?1 ? ? 4n . 2

则: (1)

an ? an ?1 1 ? n ? 4n 4 2

∴ cn ?

?
4

cn ?1 ?

1 2

??4



,

1 3 3 1 1 1 cn ? cn ?1 ? , c1 ? , cn ? ? (n ? 1) ? ? n ? 2 4 4 2 2 4



an ? (2n ? 1) ? 4n?1
(2) 由
cn ? 2 ? 2 2 3? ? 4 ? (cn?1 ? ), c1 ? ? ? ?4 4 ? ?4 ? ? 4 4(? ? 4)



cn ?

2 3? ? 4 ? ? ? ( )n?1 ? ? 4 4(? ? 4) 4 3? ? 4 ? 2 ? ( )n ? ? (? ? 4) 4 ? ?4

则: cn ?

1° 当

4 2 3? ? 4 ? ? ? 4 时, ?0, ? 0, ? 3 ? ?4 ? (? ? 4)

4 2 4 7 ? 4, ∴ ? ? ? ∴ cn ? 0 只需 ? ? ?4 3 2 3 4 3 2° 当 ? ? 时, cn ? 符合条件 3 4

∴ {cn } 递增,而 c1 ?

3° 当0 ? ? ?

4 3? ? 4 2 ? 0, ? ?0, 时, 3 ? (? ? 4) ? ?4

4 4 ∴ {cn } 递减. c1 ? , 0 ? cn ? , | cn |? 4 成立. 3 3 7 综上所述 ? ? (0, ] . 2

16.(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 {a n } 满足: (1)求 a n 的通项公式
a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan (an ? 1)an ? (n ? N * ) 。 n 3

ln ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 1 1 1 ? ?? ? ? ln a1 ln a2 ln an ?1 ln a1 ? ln an ?1 解: (1) a1 ? 2, a2 ? 3, a3 ? 4 ,猜测: an ? n ? 1 。下用数学归纳法证明:
(2)当 n ? 2 时,求证:

①当 n ? 1时, a1 ? 1 ? 1 ? 2 ,猜想成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时猜想成立,即 ak ? k ? 1 , n(an ? 1)an 由条件 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? , 3 (n ? 1)(an ?1 ? 1)an ?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ?1 ? (n ? 2) , 3 n(an ? 1)an (n ? 1)(an ?1 ? 1)an ?1 ? 两式相减得: nan ? ,则当 n ? k ? 1 时, 3 3 (k ? 1)(ak ?1 ? 1) k (ak ? 1)ak (k ? 1)ak ?1 ? ? ? ak2?1 ? 2ak ?1 ? k (k ? 2) ? 0 , 3 3 ? ak ?1 ? k ? 2, 即当n=k+1 时,猜想也成立。 故对一切的 n ? N * , an ? n ? 1 成立。

ln ? 2 ? 3 ?? ? n ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n 1 1 1 (2) 即证: ? ?? ? ? ? ? an ? n ? 1 , ln 2 ln 3 ln n ln 2 ln n ln 2 ln n
对 k ? 1 , 2 , ? , n ? 2 ,令 ? k ( x) ?
ln( x ? k ) ( x ? 1) ,则 ln x

ln x ln( x ? k ) ? x ln x ? ( x ? k ) ln( x ? k ) x ? k x ? k ' ( x) ? ? , 2 (ln x) x( x ? k )(ln x) 2
显然 1 ? x ? x ? k , 0 ? ln x ? ln( x ? k ) ,所以 x ln x ? ( x ? k ) ln( x ? k ) , 所以 ? k ' ( x) ? 0 , ? k ( x) 在 (1 , ? ?) 上单调递减. ln n ln(2 ? k ) 由 n ? k ? 2 ,得 ? k (n ? k ) ? ? k (2) ,即 . ? ln(n ? k ) ln 2 所以 ln 2 ln n ? ln(2 ? k ) ln(n ? k ) , k ? 1 , 2 , ? , n ? 2 .

? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ??? ? ? ??? ? ? 所以 2? ??? ??? ? ? ? ln n ? ? ln 2 ln n ? ? ln 3 ln(n ? 1) ? ? ln 2 ln 3 ? ln n ln 2 ?

?
?

ln n ? ln 2 ln(n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 3 ln(n ? 1) ln n ln 2
ln n ? ln 2 ln(n ? 1) ? ln 3 ln 2 ? ln n ? ??? ln 2 ln n ln 2 ln n ln 2 ln n

? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? 2? ?. ln 2 ln n ? ?

得证


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