2016届高三上学期理科数学周练一极坐标与参数方程及参考答案


2016 届高三上学期理科数学周练一

2015-8-08

2016 届高三上学期理科数学周练一
一、选择题:
1.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A、 ? x ? t (t 为参数) 2 ? y ? 2t ? 1

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? x ? 2t ? 1 B、 ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1
x ? sin ? D、 ? (t 为参数) ? ? y ? 2 sin ? ? 1
π 4 )

C、

? x ? t ?1 (t 为参数) ? ? y ? 2t ? 1

2. 在曲线 y=x2 上切线的倾斜角为 的点是(
A.(0,0) B.(2,4)

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?

?1 1? D.? , ? ?2 4?
)

?? ? 3.已知 M ? ? 5, ? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3? ?
A、 ? 5,?

? ?

??
? 3?

B、 ? 5,

? ?

4? ? ? 3 ?

C、 ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?

D、 ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?


4.极坐标系中,下列各点与点 P(ρ ,θ ) (θ ≠kπ ,k∈Z)关于极轴所在直线对称的是(
A. (-ρ ,θ )B. (-ρ ,-θ )C. (ρ ,2π -θ ) D. (ρ ,2π +θ )

5.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是
A、 ? 2,

?

?

(

) C、 ? 2,?

? ?

??
? 3?

B、 ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

? ?

??
? 3?

D、 ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

6.直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点 A,B 分别在曲线

? x ? 3 ? cos ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为( C1 : ? y ? sin ? ?
A.1 B.2 C.3 D.4

).

1 ? ?x ? t ? 7.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

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? x ? 1 ? 2t 8. 若直线 ? ?t为参数? 与直线4x ? ky ? 1垂直,则常数k ? ( ? y ? 2 ? 3t
A.-6 B. ?



1 6

C.6

D.

1 6
)

9.极坐标方程 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程是(
A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

B. x2 ? y 2 ? 4 D. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 )

10. 函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于(
A.2 B.3 C.4 D.5

11. 函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示,
则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

? 1 x? ? ? ? ? 2 12.曲线 2 ? ? 4sin( x ? ) 与曲线 ? 4 ?y ? 1 ? ? ? 2
A、 相交过圆心 B、相交

2 t 2 的位置关系是( 2 t 2
C、相切

) 。

D、相离

二、填空题:
13.在极坐标 ?? ,? ? ?0 ? ? ? 2? ? 中,曲线 ? ? 2 sin ? 与 ? cos? ? ?1 的交点的极坐标为
____________.

14.在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是

?

?

.

? ?x = 1+ cosθ ? x = ?2 2 + 3t 15. 圆 C: (θ 为参数)的圆心到直线 l: (t 为参数)的距离为 ? ? ? ? y = sinθ ? y = 1 ? 3t

.

16. A: (极坐标参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知曲线

C1 、 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 0, ? ?

?
3

,曲线 C3 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数,且 y ? 2 sin ? ?

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? ? ?? ,则曲线 C1 、 C2 、 C3 所围成的封闭图形的面积是 ? ? ?? , ? ) ? 2 2?

. 2015-8-08
10 11 12

2016 届高三上学期理科数学周练一(答题卷)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9

姓名:_____________________学号:_____________________分数:_____________________

13.________________

14.________________

15.________________

16. ________________

三、解答题:
17.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处, 极轴与 x 轴非负半轴重合. 直线
x ? ?1 ? t l 的参数方程为: ? ,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos? . ? 2 ( t 为参数) ? ?y ? 1 t ? 2 ? ? 3

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值.

? 2 t ?x ? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 18.已知直线 l 的参数方程是 ? 4 2 ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

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19.在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x-y+4=0, 曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? ? ? y ? sin?



(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为 极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

20. 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R .
3

(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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2016 届高三上学期理科数学周练一 (参考答案)
1.C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.A
3? ? ? 13. ? 2 , ? 4 ? ?

10.D 11.A 12.B

14.1

15.2

2 ? 16. 3

17.

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4x ,整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,---6 分 (2)把 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
设其两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3 3, t1t 2 ? 5 ,---8 分 所以 PQ ? t1 ? t 2 ?

7 .----10 分

18、解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? ,
?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ). 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

(

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 , 方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ,圆心 C 到 直线l 距离是

|

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5 ,∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 . 2
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P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 19.解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

?

2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 2 ,
cos(? ?
由此得,当

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

20、解:(1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2, x2 ?

2 …………………1 分

∴当 x ? ? 2或x ? 2时,f ?( x) ? 0;当? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,…………………2 分 ∴ f ( x) 的单调递增区间是 (??, ? 2)和( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ……3 分 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?

2, f ( x)有极小值 5 ? 4 2 .…………4 分

(2)由(1)可知 y ? f ( x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点,……6 分 即当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f ( x) ? ? 有三解. …………………………………7 分 (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x ? x ? 5) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1,??) 上恒成立. …………………………………………9 分
2

令 g ( x) ? x ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数,
2

∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 ……………………………………12 分

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