高二数学选修2-1第三单元质量检测试题


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高二数学选修 2-1 第三单元质量检测试题
学校:宝鸡高新实验中学 命题人:秦天武
(90 分钟完卷,总分 150 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分) 1.对于椭圆 C1:

A. 0 ? a ?

3 2 2
1 3

B. 0 ? a ?

3 2 82 或a ? 2 2

C. 0 ? a ?

D.

x2 y2 ? ? 1 ( a?b?0)焦点为顶点,以椭圆 C1 的顶 a2 b2


3 2 82 ?a? 2 2

二、填空题: (5 分×4=20 分)

点为焦点的双曲线 C2,下列结论中错误的是( A. C2 的方程为

x y ? 2 ?1 2 a ?b b
2

2

2

11. 与椭圆

B. C1、C2 的离心率 D.短轴长等于虚轴

x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的 4 3

的和是 1 C. C1、C2 的离心率的积是 1 长 2、双曲线

椭圆的标准方程是 。 12.双曲线的实轴长为 2a,F1, F2 是它的左、右两个焦点,左支上 的弦 AB 经过点 F1 ,且 |AF2| 、 |AB| 、 |BF2| 成等差数列,则 |AB| = .
2 2 13. 设 F 1 、 F2 是双曲线 x ? y ? 4 的两焦点,Q 是双曲线上任意

y2 x2 ? ? 1 的渐近线方程是( 3 4

)

一点,从 F 1 2 平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹 1 引 ?FQF C.

A.

y??

3 x 2

B.

y??

2 3 x 3

3 y?? x 4

方程是



4 D. y ? ? x 3 1 2 3、抛物线 y ? ? x 的准线方程是( 8 1 A. x ? B. y ? 2 32
D. y ? ?2

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命 14.若方程 4 ? t t ?1
题: ①若 C 为椭圆,则 1<t<4; t<1; ③曲线 C 不可能是圆; 轴上,则 1 ? t ? ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 ④若 C 表是椭圆,且长轴在 x

). C.

y?

1 32

3 . 2

4 、已知 | AB |? 4 ,点 P 在 A 、 B 所在的平面内运动且保持 ( ) | PA | ? | PB |? 6 ,则 | PA | 的最大值和最小值分别是 A. 5 、3 B.10、2 C.5、1 D.6、4

5 、抛物线 y 2 ? 12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是 ( A、2 ) B、3 C、4 D、5

其中真命题的序号为 (把所有正确命题的 序号都填在横线上)新课 标 第一 网 三 、解答题: (本大题共 4 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15. (本题 15 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双 曲线有共同的焦点 F1,F2,且 F1 F2 ? 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲 线的半实轴之差为 4,离心率之比为 3:7。求这两条曲线的方程。

6、若双曲线与 x 2 ? 4 y 2 ? 64有相同的焦点,它的一条渐近线方 程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的方程是( )

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 B. ? ?1 A. 36 12 36 12
y2 x2 ? ? ?1 36 12

x2 y2 ? ? ?1 C. 36 12

D. 16.(本小题 20 分)设双曲线:

y2 x2 ? ? 1 的焦点为 F1,F2.离心 3 a2

率为 2。 (1)求此双曲线渐近线 L1,L2 的方程;
0

7.若双曲线的两条渐进线的夹角为 60 ,则该双曲线的离心率为 A.2

6 B. 3
2 2

6 C.2 或 3

2 3 D.2 或 3

(2)若 A,B 分别为 L1,L2 上的动点,且 2 AB ? 5 F1 F2 ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

8、与圆 x +y -4y=0 外切, 又与 x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). 2 2 A. y =8x B. y =8x (x>0) 和 y=0 2 2 C. x =8y (y>0) D. x =8y (y>0) 和 x=0 (y<0)

x2 x2 ? y 2 ? 1 (m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有 m n 相同的焦点 F1、F2,P 是两曲线的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是
9、若椭圆 ( A.4 ) B.2
2

C.1

D.

1 2

17. (本小题 15 分)抛物线 y 2 ? 4 x 上有两个定点 A、B 分别在对 称轴的上下两侧,F 为抛物线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛 物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最大,并求这个最 大面积.

10、已知椭圆 x ?
2

y ? a 2 (a ? 0) 与 A(2,1) ,B(4,3)为端 2


点的线段没有公共点,则 a 的取值范围是(

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1 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 10 3
设 AB 的中点 M 的坐标为 (x , y) , 则 x= 所以 x1+x2=2x , x1-x2=2 3 y
x2 3y 2 1 2 ? ?1 所以 (2 3 y) ? ? 4 x ? 10 整理得: 75 25 3
2

x1 ? x 2 x ? x2 , y= 1 2 2 3

18. (本小题 20 分)如图:直线 L : y ? mx ? 1 与椭圆 C :

ax2 ? y 2 ? 2(a ? 0) 交于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作平行
四边形 OAPB。 (1) 求证: 椭圆 C:ax2 ? y 2 ? 2(a ? 0) 与直线 L: y ? mx ? 1 总有两个交点。 (2) 当 a ? 2 时,求点 P 的轨迹方程。 (3)是否存在直线 L,使 OAPB 为矩形?若存在,求出此时直线 L 的方程;若不存在,说明理由。

所以线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: 椭圆。

x2 3y 2 ? ? 1 ,轨迹是 75 25

17、解:由已知得 F (1,0) ,不妨设点 A 在 x 轴上方且坐标为

( x1 , y1 ) ,
由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1 所以 A(1,2),同理 B(4,-4), 所以直线 AB 的方程为

高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试参考答案: 1---10 BABCD 11、 ADDCB

2x ? y ? 4 ? 0 .
设 在 抛 物 线 AOB 这 段 曲 线 上 任 一 点 P( x0 , y0 ) , 且

y2 x2 x2 y 2 ? ?1 ? ? 1或 25 25 8 6 3 4

1 ? x0 ? 4,?4 ? y0 ? 2 .
则 点 d= P 到 直 线 AB 的 距 离

12、4a 13、 x ? y ? 4
2 2

14、 (2)
2 x2 y 15 、 解:设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线得方程为 a1 b1

2 x0 ? y 0 ? 4 1? 4

2? ?

2 y0 ? y0 ? 4 4

5

1 9 ( y 0 ? 1) 2 ? 2 2 ? 5

x y ? 2 ? 1 ,半焦距 c= 13 2 a 2 b2
由已知得:a1-a2=4
c c : ? 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2

2

2

所以当 y0 ? ?1 时,d 取最大值

9 5 ,又 AB ? 3 5 10 1 9 5 ?3 5 ? ? 27, 2 10

所 以 △ PAB 的 面 积 最 大 值 为 S ? 此时 P 点坐标为 ( ,?1) .

1 4

所以:b12=36,b22=4,所以两条曲线的方程分别为:
x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ?1 49 36 9 4

16、解: (1)由已知双曲线的离心率为 2 得:

a2 ? 3 ?2 a

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解得 a2=1,所以双曲线的方程为
y2 ? x2 x ? 1 ,所以渐近线 L1,L2 的方程为 y ? ?0和 3 3

y?

x 3

=0

(2)c2=a2+b2=4,得 c=2 ,所以 F1 F2 ? 2c ? 4 ,又 2 AB ? 5 F1 F2 所以 AB =10 设 A 在 L1 上,B 在 L2 上,设 A(x1 ,
x1 3 ) ,B(x2,- x2 3 )





( x1 ? x2 ) 2 ? (

x1 3

?

x2 3

) 2 ? 10



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