2014创新设计高中数学(苏教版)第十三章 第1讲 随机事件的概率


第1讲 随机事件的概率

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考点梳理
1.随机事件和确定事件

会发生 (1)在一定条件下,必然_______的事件叫做必然事件.
不会发生 (2)在一定条件下,肯定_________的事件叫做不可能事 件. 不可能 (3)必然事件与_______事件统称为确定事件. 不发生 (4)在一定条件下,可能发生也可能_______的事件,叫做

随机事件.

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2.频率与概率 (1)在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现, 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事 nA n 件A出现的比例fn(A)=____件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增 常数 频率 加,事件A发生的_____fn(A)稳定在某个常数上,把这个_____ 记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

3.互斥事件与对立事件
同时发生 (1)互斥事件:在任何一次试验中不能_________的两个事 P(A)+P(B) 件.若事件A与事件B互斥,则P(A+B)= ___________ .

一个发生 (2)对立事件:如果两个互斥事件必有_________,则这两个事
件为对立事件.若事件A与B对立,则P(A)=1-P(B).
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【助学· 微博】
一个考情解读 本讲知识点在每年高考中均有涉及,主要考查随机事件的

概率和互斥(或对立)事件有一个发生的概率加法公式.有
时也有解答题综合考查概率的有关应用,难度有所加大.

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考点自测
1.(1)在标准大气压下,把水加热到100 ℃沸腾; (2)导体通电,发热;

(3)同性电荷,互相吸引;
(4)实心铁块丢入水中,铁块浮起; (5)买一张福利彩票,中奖;

(6)掷一枚硬币,正面朝上.
上述事件中是确定性事件的是_____,是随机事件的是____. 解析 根据物理知识(1)(2)是必然事件,(3)(4)是不可能事件, 故(1)(2)(3)(4)为确定性事件;买一张彩票可能中奖也可能不中 奖,掷一枚硬币可能正面朝上也可能反面朝上,故(5)(6)是不确 定性事件,是随机事件. 答案 (1)(2)(3)(4) (5)(6)
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2.给出下列三个命题,其中正确命题的个数为________.
①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件, 必有 10 件是次品;②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出 3 现正面,因此正面出现的概率是 ;③随机事件发生的频 7 率就是这个随机事件发生的概率.
解析 3 ①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概 7

率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念.

答案

0
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3.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点, 1 1 事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B)= ,则出现奇数点 2 6 或 2 点的概率为________.

解析

“出现奇数点”的概率是事件 A,“出现 2 点”的

概率是事件 B,A、B 互斥,则“出现奇数点或 2 点”的概 1 1 2 率之和为 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . 2 6 3
2 答案 3

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4.(2011· 南通调研)已知射手甲射击一次,命中9环以上 (含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的 概率为0.1,则甲射击一次,命中6环以下(含6环)的概 率为________. 解析 0.2. 6环(含6环)及以下的概率为1-0.5-0.2-0.1=

答案

0.2

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5.(2010· 湖北卷改编)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子 各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点 数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概

率是________.
解析 1 1 由题意 P(A)= ,P(B)= ,事件 A、B 中至少有 2 6

1 5 7 一个发生的概率 P=1- × = . 2 6 12 7 答案 12

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考向一

事件的分类与事件关系的判断

【例1】 判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是 否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑

桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

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(1)是互斥事件,不是对立事件.

原因是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”与“抽 出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件,但是,

不能保证其中必有一个发生,这是由于还有可能抽出“方
块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件.

原因是:从40张扑克牌中,任意抽取1张.“抽出红色牌”
与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,但其中必有一 个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.

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(3)不是互斥事件,也不是对立事件. 原因是:从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出的牌点数为 5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发 生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不 可能是对立事件. [方法总结] 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对 立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些

也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果
写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给 事件的关系.

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【训练1】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事

件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事
件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事 件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互 斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A与C;(2)B与E;(3)B与C;(4)C与E.



(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲

报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不 是互斥事件.

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(2)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不

可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致
事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故B与 E还是对立事件. (3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只 订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有

这些可能:“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,
由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件. (4)由(3)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可

能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.

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考向二

随机事件的概率与频率

【例2】 (2012· 北京卷)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处 理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类, 并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投 放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活

垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余 垃圾 可回 收物 其他 垃圾 400 30 20 100 240 20
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100 30 60
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(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃 圾”箱的投放量分别为 a, c 其中 a>0, b, a+b+c=600.当数据 a, b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明),并 求此时 s2 的值. 1 (注:s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为数据 x1,
2

x2,?,xn 的平均数)



(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3
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(2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放 正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收 物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和 400+240+60 除以生活垃圾总量,即 P( A )约为 =0.7. 1 000 ∴P(A)约为 1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0 时,s2 取得最大值. 1 ∵ x = (a+b+c)=200(吨), 3 1 ∴s2= [(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000(吨 2). 3
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[方法总结] 利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事 件概率的基本方法,通过大量的重复试验,事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数,就用事件发生的频率趋近的

常数作为事件的概率.

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【训练2】 (2011· 湖南卷)某河流上的一座水力发电站,每年六
月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降 雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460; X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为: 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140, 110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 频率 70 1 20 110 140 160 200 220 4 2 20 20

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(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规 律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的 发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率. 解 (1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫 米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频 率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 频率 1 3 20 20 4 20 7 20 3 20 220 2 20

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X (2)由已知得 Y= +425, P(“发电量低于 490 万千瓦时 故 2 或超过 530 万千瓦时”)=P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 1 3 或 X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)= + 20 20 2 3 + = . 20 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时) 3 或超过 530(万千瓦时)的概率为 . 10

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考向三

互斥事件、对立事件的概率

【例3】 (2013· 盐城检测二)据统计,某食品企业在一个月内被

消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.
(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率; (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求 该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率. 解 法一 (1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”,

事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9. (2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”,事件Bi表示

“第i个月被投诉的次数为1”,事件Ci表示“第i个月被投诉的
次数为2”,事件D表示“两个月内共被投诉2次”.
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∴P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2),
∵两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率 为P(A1C2+A2C1),

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),
∴P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2) =P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2), 由事件的独立性得 P(D)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33.

法二

(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”,事件B表示“一

个月内被投诉的次数不超过1次”. ∵P(A)=0.1,∴P(B)=1-P(A)=1-0.1=0.9. (2)同法一.
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[方法总结] 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法: 一 是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的 事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间 接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A) =1-P( A ),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至 多”、“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.

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【训练3】 (2012· 温州高三模拟)甲、乙二人进行一次围棋比赛,
约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局 中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果 相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局. (1)求再赛2局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. 解 记Ai表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5,Bj表示事件: 第j局乙获胜,j=3,4. (1)记A表示事件:再赛2局结束比赛.A=A3A4+B3B4. 由于各局比赛结果相互独立,故

P(A)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=
P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.
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(2)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利. 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利

当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而
B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5, 由于各局比赛结果相互独立,故

P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)
P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+ 0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.

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规范解答20

互斥事件、独立事件概率的综合应用

互斥事件、相互独立事件等概率的求解是高考的热点与重 点.对事件类型的准确判断和对概率计算公式的熟练掌握是解

题的关键. 【示例】 (2012· 大纲全国卷)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双
方比分在10平前,一方连续发球2次后,对立再连续发球2次, 依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的

比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜
负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.
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[审题路线图] 首先要理解发球的具体情况,然后对事件的
情况进行分析、讨论,并结合独立事件的概率求解. [解答示范] 记Ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲 共得i分,i=0,1,2; A表示事件:第3次发球,甲得1分; B表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2. (1)B=A0· A+A1· , A
P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16, P(A1)=2×0.6×0.4=0.48, P(B)=P(A0· A+A1· ) A =P(A0· A)+P(A1· ) A
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(3 分)

=P(A0)P(A)+P(A1)P( A ) =0.16×0.4+0.48×(1-0.4) =0.352. (2)P(A2)=0.62=0.36,ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)=P(A2· A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144, P(ξ=2)=P(B)=0.352, P(ξ=3)=P(A0· )=P(A0)P( A )=0.16×0.6=0.096, A P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3) =1-0.144-0.352-0.096 =0.408.
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(6 分)

(10 分)
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Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3) =0.408+2×0.352+3×0.096 =1.400. (12 分)

[点评] 本题考查了关于独立事件的概率的求解,以及分布 列和期望值问题.试题选材上来源于生活中较熟悉的背 景,并在此基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及

结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情境比较亲
切,容易入手,但在讨论时,容易漏掉情况.

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高考经典题组训练
1.(2010· 上海卷)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取 1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”, 则概率P(A+B)=________(结果用最简分数表示).
解析 1 1 由题意,知 P(A)= ,P(B)= ,且 A 与 B 互 52 4

1 1 7 斥,故 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = . 52 4 26
7 答案 26

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2.(2010· 重庆卷)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相 16 同,且在两次罚球中至少命中一次的概率为 ,则该队员 25 每次罚球的命中率为________.

解析

16 设每次命中率为 p,则由题意得 1-(1-p) = , 25
2

2 2 解得 p= ,所以每次命中的概率为 . 5 5
2 答案 5

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3.(2010· 辽宁卷改编)两个实习生每人加工一个零件,加工 2 3 为一等品的概率分别为 和 , 两个零件是否加工为一等品 3 4 相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ________.

解析

恰有一个一等品即一个是一等品,另一个不是,

2 ? 3? ? 2? 3 5 ∴P= ×?1- ?+?1- ?× = . 3 ? 4? ? 3? 4 12
5 答案 12

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4.(2008· 浙江卷)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红 球.已知袋中共有 10 个球.从袋中任意摸出 1 个球,得到 2 黑球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白 5 7 球的概率是 .求: 9 (1)从中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率; (2)袋中白球的个数.

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2 (1)由题意知,袋中黑球的个数为 10× =4. 5

记“从袋中任意摸出两个球, 得到的都是黑球”为事件 A, C2 2 4 则 P(A)= 2 = . C10 15 (2)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事 件 B,设袋中白球的个数为 x, C2 -x 7 10 则 P(B)=1-P( B )=1- 2 = .解得 x=5. C10 9

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